Re: Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[neopilina]

à Zhongguoren,

Je suis d'abord un naturaliste. Ensuite un amateur de philosophie. Il y a un usage scientifique de cette suite de signes " expérience ", et un usage philosophique. A priori, sur ce forum, on sait bien qu'on cause du second. Soit dit en passant, hks connait la différence, hein.

Sinon, ci-dessus, tu as commis une erreur : c'est moi qui n'ai pas lu et qui ne lirais pas Wittgenstein, pas hks.

[benfifi]

Contradiction. Paradoxe.

Paradoxe de Russell : "l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ?"

Question : quelle est la définition de "l'appartenance d'un ensemble A à un ensemble B" ?
Est-ce : "Un ensemble A appartient à un ensemble B quand l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B" ?
Si oui alors l'énoncé de la question devient : "l'ensemble des ensembles n'étant pas inclus dans eux-mêmes est-il inclus dans lui-même ?"

Toto dit :
"Tout ensemble, dont l'ensemble vide, est inclus dans lui-même. Il n'existe pas un ensemble qui ne soit pas inclus dans lui-même. Donc l'ensemble E des ensembles n'étant pas inclus dans eux-mêmes est vide. Comme tout ensemble est inclus dans lui-même, E est inclus dans E.
La réponse est : oui."

Bob dit :
"Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble ne sont pas inclus dans eux-mêmes, il n'est pas inclus dans lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour être inclus dans lui-même : contradiction à nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend paradoxale l'existence d'un tel ensemble."

Conclusion :
Tout dépend du type de métalangage utilisé. Et donc de son auteur.
Quelqu'un comme Bob qui cherche le paradoxe le trouvera et le formulera.
Quelqu'un comme Toto qui ne cherche pas le paradoxe ne le trouvera pas et ne le formulera pas.
Tout est dans l'intention.

[Zhongguoren]

Il y a un usage scientifique de cette suite de signes " expérience ", et un usage philosophique. A priori, sur ce forum, on sait bien qu'on cause du second. Soit dit en passant, hks connait la différence, hein.

Désolé, mais on ne peut pas comprendre l'enjeu philosophique d'un problème (que ce soit de théologie, de morale, d'économie, d'esthétique, d'histoire, de mathématiques ou de quoi que ce soit d'autre) sans avoir, au préalable, approfondi ledit problème et en avoir mis en lumière les principaux ressorts et les principales difficultés. Dit d'une autre manière, la pertinence du métalangage (en l'occurrence, philosophique) présuppose la maîtrise du langage. Ce qui n'est précisément pas le cas à propos de la présentation par Vanleers du théorème de Gödel (et que j'essaie de réhabiliter tant bien que mal).

Sinon, ci-dessus, tu as commis une erreur : c'est moi qui n'ai pas lu et qui ne lirais pas Wittgenstein, pas hks.

Vous avez dit que vous ne liriez pas Wittgenstein. Dont acte. Tandis que les énormités qu'hks répand à propos de Wittgenstein montrent qu'il ne l'a pas lu. Nuance.

[Zhongguoren]

Question : quelle est la définition de "l'appartenance d'un ensemble A à un ensemble B" ?
Est-ce : "Un ensemble A appartient à un ensemble B quand l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B" ?

Aïe ! Vous mettez le doigt sur ce qui fait mal : le changement subreptice de paradigme (autrement dit, on passe d'une théorie avec ses propres règles à une autre théorie qui a d'autres règles et, du coup, on ne sait plus trop à quel saint se vouer !). En l'occurrence, pour Cantor, l'appartenance est une relation entre des éléments et un ensemble (ex. : l'élément 2 appartient à l'ensemble des entiers naturels), l'inclusion une relation entre ensembles (ex. : l'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des réels). Tandis que pour Zermelo Fraenkel, l'appartenance est aussi une relation entre ensembles (valable pour tout x en général, par exemple on dira que l'ensemble des entiers naturels appartient à l'ensemble des réels). Quant à Hausdorff, il distingue l'inclusion stricte (qui exclut l'identité), auquel cas on ne pourra dire qu'un ensemble E est inclus dans E, de l'inclusion au sens large (qui autorise que E soit inclus dans E). D'où, effectivement :

Contradiction. Paradoxe.

Tout ensemble, dont l'ensemble vide, est inclus dans lui-même. Il n'existe pas un ensemble qui ne soit pas inclus dans lui-même. Donc l'ensemble E des ensembles n'étant pas inclus dans eux-mêmes est vide. Comme tout ensemble est inclus dans lui-même, E est inclus dans E.

Paradoxe de Russell : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ?

Sauf qu'une réponse satisfaisante ne peut être :

l'énoncé de la question devient : l'ensemble des ensembles n'étant pas inclus dans eux-mêmes est-il inclus dans lui-même ?
La réponse est : oui.

Et ce, pour deux raisons :

1) pour Russell, tout ensemble ne s'appartient pas : certains ensemble appartiennent à eux-mêmes, d'autres non. Autrement la réponse à la question posée ne serait pas paradoxale : si l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas appartient à lui-même, c'est qu'il n'appartient pas à lui-même, et si l'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas appartient à lui-même c'est qu'il n'appartient pas à lui-même

2) votre réponse est aussi paradoxale que celle de Russell parce que si tout ensemble s'appartient et donc si l'ensemble des ensembles ne s'appartiennent pas est vide, cela implique que l'ensemble vide appartient à l'ensemble vide qui, du coup, n'est plus vide.

Le paradoxe de Gödel selon lequel la formule G n'est démontrable que si et seulement si elle ne l'est pas est, comme nous allons le voir, beaucoup plus subtil.

[Vanleers]

Dit d'une autre manière, la pertinence du métalangage (en l'occurrence, philosophique) présuppose la maîtrise du langage. Ce qui n'est précisément pas le cas à propos de la présentation par Vanleers du théorème de Gödel (et que j'essaie de réhabiliter tant bien que mal).

Et plutôt mal que bien, il faut le dire.
Vos interventions intempestives ont embrouillé le texte limpide de E. Nagel et J. Newman.
Je ne puis qu’encourager, à nouveau, les lecteurs à aller y voir par eux-mêmes (le livre a été réédité en livre de poche).
Comme dit neopilina sur ce fil (page 6), c’est le foutoir sur le forum.

[benfifi]

À Zhongguoren,
Je suis désolé mais j'ai édité à 8:51 mon post de 0:04. Or votre post de 9:15 édite une partie de mon ancien post. Je tiens ici à vous le préciser.
Il tient à vous de maintenir votre post en l'état, ou non.

[Zhongguoren]

Vos interventions intempestives ont embrouillé le texte limpide de E. Nagel et J. Newman.

... auquel vous n'avez manifestement rien compris !

Comme dit neopilina sur ce fil (page 6), c’est le foutoir sur le forum.

Tout à fait d'accord !

[Zhongguoren]

Conclusion :
Tout dépend du type de métalangage utilisé. Et donc de son auteur.
Quelqu'un comme Bob qui cherche le paradoxe le trouvera et le formulera.
Quelqu'un comme Toto qui ne cherche pas le paradoxe ne le trouvera pas et ne le formulera pas.
Tout est dans l'intention.

Effectivement, nos messages se sont croisés. Votre conclusion est parfaite : tout est dans l'intention.

[Vanleers]

Vos interventions intempestives ont embrouillé le texte limpide de E. Nagel et J. Newman.

... auquel vous n'avez manifestement rien compris !

Merci pour ce compliment tellement nuancé.
Je pense, au contraire, avoir assez bien compris la démarche des auteurs, sauf sur un point qui a fait l’objet d’un échange avec benfifi.
Avez-vous seulement lu le livre pour porter un jugement aussi outrancier ?
Je pensais que votre voyage en Chine, comme vous l’expliquiez, vous avait assagi et que vous n’étiez plus sujet à des réactions pavloviennes à la frustration.
Je constate qu’il n’en est rien, que ce soit avec moi ou avec d’autres intervenants sur le forum.

[Zhongguoren]

Vos interventions intempestives ont embrouillé le texte limpide de E. Nagel et J. Newman.

... auquel vous n'avez manifestement rien compris !

Merci pour ce compliment tellement nuancé.
Je pense, au contraire, avoir assez bien compris la démarche des auteurs, sauf sur un point qui a fait l’objet d’un échange avec benfifi.
Avez-vous seulement lu le livre pour porter un jugement aussi outrancier ?
Je pensais que votre voyage en Chine, comme vous l’expliquiez, vous avait assagi et que vous n’étiez plus sujet à des réactions pavloviennes à la frustration.
Je constate qu’il n’en est rien, que ce soit avec moi ou avec d’autres intervenants sur le forum.

Je me suis procuré cet ouvrage, effectivement passionnant, et je suis en train de le lire (lentement parce que je lis une dizaine d'ouvrages en même temps et j'écris beaucoup). De ce petit livre, vous n'avez manifestement lu que la première partie traduite de Nagel et Newman et intitulée "la démonstration de Gödel" à laquelle vous ne faites d'ailleurs référence que par copier-coller. Rien sur la troisième partie ("le champ du signe ou la faillite du réductionnisme" de Jean-Yves Girard) et, surtout ... rien sur la deuxième partie ("sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés") qui est la traduction du fameux mémoire de 1931 d'un certain ... Kurt Gödel !

Parler des "théorèmes de Gödel" sans jamais faire référence à Gödel himself, il fallait le faire !

Alors, stop ou encore ?

PS : "donner un coup de poing dans l'estomac d'un homme est intolérable, sauf si cela doit le guérir de la constipation" (Proverbe chinois).

[Vanleers]

Vos interventions intempestives ont embrouillé le texte limpide de E. Nagel et J. Newman.

... auquel vous n'avez manifestement rien compris !

Merci pour ce compliment tellement nuancé.
Je pense, au contraire, avoir assez bien compris la démarche des auteurs, sauf sur un point qui a fait l’objet d’un échange avec benfifi.
Avez-vous seulement lu le livre pour porter un jugement aussi outrancier ?
Je pensais que votre voyage en Chine, comme vous l’expliquiez, vous avait assagi et que vous n’étiez plus sujet à des réactions pavloviennes à la frustration.
Je constate qu’il n’en est rien, que ce soit avec moi ou avec d’autres intervenants sur le forum.

Je me suis procuré cet ouvrage, effectivement passionnant, et je suis en train de le lire (lentement parce que je lis une dizaine d'ouvrages en même temps et j'écris beaucoup). De ce petit livre, vous n'avez manifestement lu que la première partie traduite de Nagel et Newman et intitulée "la démonstration de Gödel" à laquelle vous ne faites d'ailleurs référence que par copier-coller. Rien sur la troisième partie ("le champ du signe ou la faillite du réductionnisme" de Jean-Yves Girard) et, surtout ... rien sur la deuxième partie ("sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés") qui est la traduction du fameux mémoire de 1931 d'un certain ... Kurt Gödel !

Parler des "théorèmes de Gödel" sans jamais faire référence à Gödel himself, il fallait le faire !

Alors, stop ou encore ?

PS : "donner un coup de poing dans l'estomac d'un homme est intolérable, sauf si cela doit le guérir de la constipation" (Proverbe chinois).

Vous vous êtes enfin décidé à lire l’ouvrage.
Vous tiendrez peut-être des propos plus intelligents et constructifs qui feront avancer le sujet.
J’avais commencé à lire la traduction du mémoire de 1931 de Gödel avant de reconnaître que c’était au-dessus de mes forces.
J’ai lu le texte de Girard et y ai fait implicitement référence en parlant de gödélite mais ce n’était pas mon sujet qui était de présenter le texte de « Nane ».

Je trouve détestable l’esprit négatif dont vous faites preuve dans vos interventions.
Vous ne pouvez pas vous empêcher d'essayer d'abaisser vos interlocuteurs lorsque leurs idées ne vous conviennent pas.
A partir de maintenant, je ne vous répondrai plus sauf si je vois que votre façon de faire sur le forum évolue.

[Zhongguoren]

Après ces quelques innocentes escarmouches, concluons donc ce fil de discussion qui, par la faute de l'incompétence et de la propension au bavardage de la plupart des intervenants n'a que trop duré.

Or donc ...

Gödel n'a pas "découvert" l'incomplétude de l'arithmétique. Il a commencé par en avoir l'intuition générale. Il a alors formulé l'hypothèse, hardie pour l'époque, que, contrairement aux programmes de Russell-Whitehead et de Hilbert, l'arithmétique n'est pas entièrement axiomatisable et, par conséquent, n'est pas une pratique entièrement mécanisable (calculable), contrairement à ce que prévoit le programme de Turing. Il ne restait plus alors que qu'à essayer d'établir une démonstration de la validité de son hypothèse en considérant celle-ci comme la conclusion d'un raisonnement dont il fallait, régressivement, remonter les inférences jusqu'aux prémisses.

Gödel est un logicien autrichien de la première moitié du XX° siècle. Précision importante car, bien entendu, il connaît parfaitement les ambitions philosophiques des programmes logicistes de Frege, de Russell et du Cercle de Vienne, lesquels s'appuient sur les recherches techniques très poussées des mathématiciens Cantor, Hilbert, Zermelo, Fraenkel et Peano, entre autres. Tout cela pour dire, à la fois que l'enjeu de son intuition de départ est pleinement philosophique (cf. Jacques Bouveresse, https://autourdejacquesbouveresse.blogspot.com/2021/05/jacques-bouveresse-resumes-des-trois.html?m=1), et que sa méthode sera pleinement logiciste tout en portant portant sur un objet pleinement mathématique.

Donc, ce que Gödel va appeler méthode "métamathématique" et qui se distinguera de l'objet mathématique proprement dit (l'arithmétique) de son mémoire de 1931 (sur les Propositions Formellement Indécidables des Principia Mathematica et des Systèmes Apparentés), ce ne sera rien d'autre que la méthode de logique propositionnelle et de logique des prédicats du premier ordre qu'avaient employée avant lui Frege et Russell en montrant sa puissance herméneutique. En particulier, il va faire usage d'un accessoire logique dont Russell a montré la redoutable efficacité : l'antinomie (appelée aussi "paradoxe" ou "contradiction") considérée (à tort, mais ce n'est ni le lieu ni le moment d'en discuter) comme juridiction de dernière instance pour toute démarche logique depuis Aristote.

Après avoir, au préalable, démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre, Gödel va donc s'attacher à démontrer l'incomplétude de l'arithmétique. La conclusion à laquelle il s'agit de parvenir est donc la suivante : l'arithmétique n'est pas complètement axiomatisable. Etant donné que la complétude logique au sens des logiciens dont nous avons fait état s'entend comme la propriété d'un système formel, décidable et consistant, Gödel va partir de l'arithmétique de Peano qui est, effectivement un système formel, décidable et consistant.

Qu'est-ce qu'un système formel, décidable et consistant ? Dans un langage "naturel" (humain ou non, peu importe), les règles 1) sont imposées par l'usage pragmatique qui en est fait et qui vise vers la survie de l'individu et la perpétuation de l'espèce ;  2) sont implicites dans le sens où elles se confondent avec la régularité de l'usage. Dans un langage "formel", c'est-à-dire un langage créé par des hommes afin de résoudre un type très spécialisé de problèmes (par opposition aux langages naturels qui sont polyvalents car tournés vers la vie en général), en revanche, les règles 1) déterminent l'usage et ne sont pas déterminées par lui, 2) sont arbitraires dans le sens où elles sont imposées par un tout petit nombre d'individus (un seul à la limite), donc, 3) sont explicites et, pour cela, formulées dans un métalangage, c'est-à-dire un langage supérieur qui organise et interprète l'usage qui doit être fait du langage de base, lequel métalangage est toujours exprimé dans un langage naturel dont on aura simplement détourné ou spécifié explicitement l'usage qui doit être fait de certains termes. A partir de quoi, un système formel est dit décidable si et seulement s'il existe une procédure mécanique (un calcul) pour démontrer, en un nombre fini d'étapes, qu'une expression valide dans S est, soit un axiome, soit un théorème, c'est-à-dire une chaîne d'inférences qui commence par un axiome et qui progresse jusqu'à une conclusion en n'utilisant que les règles formelles déjà spécifiées. Et un tel système sera, de plus, réputé consistant dès lors que, pour toute expression e formellement démontrée, non-e est indémontrable. Autrement dit, un système formel est consistant si et seulement s'il est possible de démontrer soit la vérité d'une expression e soit la vérité de sa négation non-e mais pas les deux à la fois, parce qu'alors, de la conjonction des deux, nécessairement fausse, on pourrait déduire n'importe quoi (ex falso quodlibet sequitur).

En ce sens, Gödel fait remarquer que l'arithmétique de Peano (qui ne contient que cinq axiomes, dont le symbole "0", la fonction "successeur" et les lois de composition additive et multiplicative) est un système formel, décidable et consistant particulièrement simple à manipuler (en plus d'être un système remarquablement élégant). Afin de démontrer que le système de Peano (appelons-le S) est incomplet au sens sus-défini, Gödel va donc s'attacher, comme jadis Russell l'avait fait à l'égard de Frege, à démontrer qu'il recèle une contradiction. Cette contradiction doit être la suivante : soit G, une proposition métamathématique qui énonce (en langage naturel, donc) : G = "G est formellement indémontrable dans S".

Pour parvenir à cette antinomie, et c'est là sa trouvaille géniale, Gödel va "arithmétiser" G, c'est-à-dire va faire correspondre à G un nombre (dit, justement, "nombre de Gödel", appelons-le n) atteignable par les étapes de la démonstration, elles-mêmes "arithmétisées" en ne suivant que les axiomes de Peano. En conséquence, Gödel, considérant que les étapes métamathématiques (c'est-à-dire, rappelons-le, logiques) de la démonstration sont parfaitement reflétées par les étapes mathématiques (c'est-à-dire arithmétiques au sens de Peano), ce nombre n étant effectivement atteint par le calcul (je passe ur le détail de ce calcul, l'important c'est qu'il soit atteint arithmétiquement), G est réputée démontrée.

En conséquence de quoi G (rappelons que G = "G est formellement indémontrable dans S") étant démontrée, alors G est à la fois vraie et indémontrable ! Il existe donc, au sein de S (l'arithmétique de Peano) au moins une formule arithmétique (la proposition G  en tant qu'elle a été "arithmétisée" de la façon sus-décrite) parfaitement valide mais indémontrable puisqu'il a été démontré qu'elle était indémontrable ! D'où premier théorème de Gödel : il existe, dans l'arithmétique de Peano, au moins une formule G valide mais indémontrable. Du coup, puisqu'il est établi depuis le début que S est consistant, on admet aussi que c'est parce que S est consistant qu'il a pu être établi que G est vraie (tout en étant indémontrable). Appelons à présent H la proposition : H = "S est consistant". Si H est démontrable, alors toutes les formules vraies (mais pas leurs négations) dans S doivent être démontrables dans S. Or, avons-nous dit, G est vraie mais non démontrable. Conclusion : H n'est pas démontrable non plus. Et, deuxième théorème de Gödel : si l'arithmétique de Peano est consistante, alors cette consistance est indémontrable dans l'arithmétique de Peano. Donc, l'arithmétique de Peano est un système formel, décidable mais dont la consistance est indémontrable. Bref, l'arithmétique de Peano est incomplète.

Quod erat demonstrandum.

Fermez le ban !

[Vanleers]

Discours pompeux, boursouflé de suffisance, hors sujet de ce fil : la démonstration concrète des théorèmes de Gödel.

[Zhongguoren]

Discours pompeux, boursouflé de suffisance, hors sujet de ce fil : la démonstration concrète des théorèmes de Gödel.

Ne sutor ultra crepidam !

[benfifi]

Pour parvenir à cette antinomie, et c'est là sa trouvaille géniale, Gödel va "arithmétiser" G, c'est-à-dire va faire correspondre à G un nombre (dit, justement, "nombre de Gödel", appelons-le n) atteignable par les étapes de la démonstration, elles-mêmes "arithmétisées" en ne suivant que les axiomes de Peano. En conséquence, Gödel, considérant que les étapes métamathématiques (c'est-à-dire, rappelons-le, logiques) de la démonstrations sont parfaitement reflétées par les étapes mathématiques (c'est-à-dire arithmétiques au sens de Peano). Ce nombre n étant effectivement atteint par le calcul (je passe sur le détail de ce calcul, l'important c'est qu'il soit atteint arithmétiquement), G est réputée démontrée.

Je m'interroge sur l'articulation de la deuxième phrase avec la suite.
Est-ce :
"En conséquence, Gödel, considérant que les étapes métamathématiques (c'est-à-dire, rappelons-le, logiques) de la démonstrations sont parfaitement reflétées par les étapes mathématiques (c'est-à-dire arithmétiques au sens de Peano), ce nombre n étant effectivement atteint par le calcul (je passe sur le détail de ce calcul, l'important c'est qu'il soit atteint arithmétiquement), G est réputée démontrée." ?

[Zhongguoren]

Pour parvenir à cette antinomie, et c'est là sa trouvaille géniale, Gödel va "arithmétiser" G, c'est-à-dire va faire correspondre à G un nombre (dit, justement, "nombre de Gödel", appelons-le n) atteignable par les étapes de la démonstration, elles-mêmes "arithmétisées" en ne suivant que les axiomes de Peano. En conséquence, Gödel, considérant que les étapes métamathématiques (c'est-à-dire, rappelons-le, logiques) de la démonstrations sont parfaitement reflétées par les étapes mathématiques (c'est-à-dire arithmétiques au sens de Peano). Ce nombre n étant effectivement atteint par le calcul (je passe sur le détail de ce calcul, l'important c'est qu'il soit atteint arithmétiquement), G est réputée démontrée.

Je m'interroge sur l'articulation de la deuxième phrase avec la suite.
Est-ce :
"En conséquence, Gödel, considérant que les étapes métamathématiques (c'est-à-dire, rappelons-le, logiques) de la démonstrations sont parfaitement reflétées par les étapes mathématiques (c'est-à-dire arithmétiques au sens de Peano), ce nombre n étant effectivement atteint par le calcul (je passe sur le détail de ce calcul, l'important c'est qu'il soit atteint arithmétiquement), G est réputée démontrée." ?

Au temps pour moi ! Je corrige (y compris la faute d'orthographe : la démonstrations !)

[benfifi]

Je complète.
Voici ce que dit Bob:

Erratum :
Soit "sub (a,b,c)" l’image, reflétée à l’intérieur du système S(A), de la caractérisation métamathématique : « Le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel a, quand on substitue au corps (variable, constante, formule,...) qui porte le nombre de Gödel b le chiffre pour c.
Dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » j'estime que la substitution du chiffre pour "y", au corps qui porte le nombre de Gödel 13 (il se trouve que c'est une variable), a eu lieu. En conséquence la formule ne contient plus désormais la variable qui porte le nombre de Gödel 13, mais à la place le chiffre pour "y". Soit n le nombre de Gödel de cette formule et i le nombre de Gödel du chiffre pour "y". Ainsi quand dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » on substitue le chiffre pour "n" au corps qui porte le nombre de Gödel "i", on obtient la formule G : « (x) ~ Dem (x, sub (n,i,n)) ».
De "sub (n,i,n)" on peut dire que c'est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, quand on substitue au corps qui porte le nombre de Gödel "i" le chiffre pour "n". Or la formule G est justement obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, quand on substitue au corps qui porte le nombre de Gödel "i" le chiffre pour "n".

Et voici ce que dit Toto:
Je retire le troisième paragraphe et je corrige ci-dessous la dernière phrase du deuxième paragraphe :
Ainsi quand dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » on substitue le chiffre pour "n" au corps qui porte le nombre de Gödel "i", on obtient la formule G : « (x) ~ Dem (x,sub (sub (y,13,y),i,n)) ».

Bon...
Le fait est que je n'arrive pas à me prononcer. J'hésite entre les deux : Toto ou Bob. Voyons que dit mon horoscope ? Contradiction ou pas ?

[Vanleers]

A benfifi

J’apprécie votre persévérance à essayer de comprendre comment Gödel construit la formule G.
C’est effectivement le point central de la démonstration et E. Nagel et J. Newman sont passés un peu vite en estimant évident le passage de :
(x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)), formule dont le nombre de Gödel est n
à
(x) ~ Dem (x,sub (n,13,n)), par substitution de n à la variable numérique « y »

J’ai trouvé sur internet une confirmation de ce que pense être la clef de ce passage.
C’est en :
https://ncgovote.org/fr/comment-fonctionne-la-preuve-de-g%C3%B6del/

L’auteur écrit (je transpose) que « la formule avec le nombre de Gödel sub(y, 13, y) est celle obtenue en prenant la formule avec le nombre de Gödel y (une certaine variable inconnue) et en substituant cette variable y partout où il y a un symbole dont le nombre de Gödel est 13 (c’est-à-dire partout où il y a un y) ».
Il écrit que « les choses deviennent triviales » car, en effet, substituer une certaine variable y inconnue à la variable y, c’est ne rien substituer du tout, mais il parle ensuite d’un « dernier tour de substitution » qui aboutit à G.
Ceci confirme mon hypothèse que, dans la formule (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)), y désigne bien la variable numérique dont le nombre de Gödel est 13, ce qui rend légitime le passage, par substitution, à (x) ~ Dem (x,sub (n,13,n))

[benfifi]

Merci Vanleers pour le document.

Voici où j'en suis (en gardant, c'est un détail, la valeur 13 à la variable y et non pas 17) :
Je comprends que sub (y,13,y) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel valeur-prise-par-y, quand on substitue au corps (variable ou nombre/chiffre) qui porte le nombre de Gödel 13, la variable y. Comme c'est la variable y qui porte le nombre de Gödel 13, la substitution, vous le rappelez, ne change strictement rien. La formule avant substitution, et celle après substitution, étant égales, leurs nombres de Gödel respectifs sont égaux, c'est à dire : y = sub (y,13,y).
Quand dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » on substitue le chiffre pour "n" à la variable y,  la formule sur laquelle est opérée la substitution n'est plus celle portant le nombre de Gödel valeur-prise-par-y, mais désormais celle portant le nombre de Gödel sub (y,13,y). On obtient donc la formule G : « (x) ~ Dem (x,sub (sub (y,13,y),13,n)) ».
Comme y = sub (y,13,y) et après substitution du chiffre pour "n" à la variable y, on obtient finalement la formule G : « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) ».

[Zhongguoren]

A benfifi

J’apprécie votre persévérance à essayer de comprendre comment Gödel construit la formule G.
C’est effectivement le point central de la démonstration et E. Nagel et J. Newman sont passés un peu vite en estimant évident le passage de :
(x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)), formule dont le nombre de Gödel est n
à
(x) ~ Dem (x,sub (n,13,n)), par substitution de n à la variable numérique « y »

J’ai trouvé sur internet une confirmation de ce que pense être la clef de ce passage.
C’est en :
https://ncgovote.org/fr/comment-fonctionne-la-preuve-de-g%C3%B6del/

L’auteur écrit (je transpose) que « la formule avec le nombre de Gödel sub(y, 13, y) est celle obtenue en prenant la formule avec le nombre de Gödel y (une certaine variable inconnue) et en substituant cette variable y partout où il y a un symbole dont le nombre de Gödel est 13 (c’est-à-dire partout où il y a un y) ».
Il écrit que « les choses deviennent triviales » car, en effet, substituer une certaine variable y inconnue à la variable y, c’est ne rien substituer du tout, mais il parle ensuite d’un « dernier tour de substitution » qui aboutit à G.
Ceci confirme mon hypothèse que, dans la formule (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)), y désigne bien la variable numérique dont le nombre de Gödel est 13, ce qui rend légitime le passage, par substitution, à (x) ~ Dem (x,sub (n,13,n))

Tout ça, c'est du copier-coller. Et c'est répétitif, répétitif ... Cela ne montre rien, n'explique rien, n'approfondit rien ... et c'est mortellement ennuyeux ! Bref, c'est absolument sans intérêt !

[benfifi]

Tout ça, c'est du copier-coller. Cela ne montre rien, n'explique rien, n'approfondit rien. C'est absolument sans intérêt ! Voyons plutôt quel est l'enjeu philosophique des paradoxes en général, paradoxe dont nous avons vu que Gödel, entre autres, faisait un usage herméneutique virtuose.

Tous les chemins mènent à Rome.
Je suis sensible à diverses sources. Je ne dis pas toutes car, comme tout le monde, j'ai des goûts et des couleurs qui ne se discutent pas. Même si parfois il faut se forcer pour essayer d'atteindre le but qu'on s'est fixé. C'est ainsi qu'on s'ouvre au monde.

[Zhongguoren]

Tout ça, c'est du copier-coller. Cela ne montre rien, n'explique rien, n'approfondit rien. C'est absolument sans intérêt ! Voyons plutôt quel est l'enjeu philosophique des paradoxes en général, paradoxe dont nous avons vu que Gödel, entre autres, faisait un usage herméneutique virtuose.

Tous les chemins mènent à Rome.
Je suis sensible à diverses sources. Je ne dis pas toutes car, comme tout le monde, j'ai des goûts et des couleurs qui ne se discutent pas. Même si parfois il faut se forcer pour essayer d'atteindre le but qu'on s'est fixé. C'est ainsi qu'on s'ouvre au monde.

Disons alors qu'aller de Paris à Rome en passant par Vladivostok plutôt que par Vintimille n'est pas très rationnel ... et montre en outre que le pilote est perdu ! Cela dit, le passager, lui, voit du pays, certes, il "s'ouvre au monde", si l'on veut.

[Vanleers]

A benfifi

Les nombres de Gödel des variables numériques sont les premiers nombres premiers disponibles après les nombres de Gödel des constantes.
Pour Nane, il y a 10 constantes dont les nombres de Gödel vont de 1 à 10.
Le premier nombre premier après 10 est 11 et ce sera le nombre de Gödel de la variable numérique « x ».
13 sera donc le nombre de Gödel de la variable « y ».
L’auteur de l’article ajoute 2 constantes : il y aura donc 12 constantes dont les nombres de Gödel vont de 1 à 12.
Le premier nombre premier après 12 est 13 et ce sera le nombre de Gödel de la variable numérique « x ».
17 sera donc le nombre de Gödel de la variable « y ».

[Zhongguoren]

Les nombres de Gödel des variables numériques sont les premiers nombres premiers disponibles après les nombres de Gödel des constantes.
Pour Nane, il y a 10 constantes dont les nombres de Gödel vont de 1 à 10.

Ah non. C'est pour Gödel qu'il y a dix constantes (l'implication, le quantificateur existentiel et la virgule sont dans les axiomes).

[benfifi]

À Vanleers,
Oui j'ai bien compris que pour Nane la variable y portait le nombre de Gödel 13 , et 17 pour l'auteur de l'article sur NCGO blog.
Pour moi c'est un détail en ce que ça ne change rien à l'articulation que j'ai du mal à comprendre :

C’est effectivement le point central de la démonstration et E. Nagel et J. Newman sont passés un peu vite en estimant évident le passage de :
(x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)), formule dont le nombre de Gödel est n
à
(x) ~ Dem (x,sub (n,13,n)), par substitution de n à la variable numérique « y »

J'avoue avoir du mal à suivre votre résolution:

Ceci confirme mon hypothèse que, dans la formule (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)), y désigne bien la variable numérique dont le nombre de Gödel est 13, ce qui rend légitime le passage, par substitution, à (x) ~ Dem (x,sub (n,13,n))

Que pensez-vous donc de ma façon de comprendre cette articulation en utilisant : y = sub (y,13,y) ?

... Je dis "ma" façon alors que...
Dixit Bob partisan du paradoxe.

Car Toto partisan du non-paradoxe peut tout aussi bien remettre en cause la dernière phrase arguant que dans l'égalité "y = sub (y,13,y)" seul le troisième y est la variable y (contenant), alors que les deux premiers y sont la valeur prise par y (contenu). De sorte que la substitution du chiffre pour "n" à la variable y aboutit en fait à la formule G : « (x) ~ Dem (x, sub (y,13,n)) ».

[neopilina]

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Il est à noter que la notion de continu était déjà connue des Grecs puisqu'il était présupposé par Zénon puis explicitement employé par Aristote lorsque celui-ci, dans le livre VI de la Physique (http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/phys614.htm), déconstruit les fameux paradoxes de Zénon (https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Zénon) au moyen, précisément, de l'argument du continu. Soit, par exemple, le paradoxe d'Achille et de la tortue : Zénon prétend qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue au motif que, quelle que soit la fraction de distance (Zénon prend 1/2, mais il est facile de montrer qu'on peut prendre n'importe quel rationnel non nul inférieur ou égal à 1) qui les sépare au départ, si on nie l'unité indivisible de l'espace, il existera une infinité de parties à parcourir (et entre deux parties contiguës, une infinité de sous-parties, etc.) avant d'accomplir ladite fraction de distance. Et comme, si on nie l'unité indivisible du temps, même la plus infime de ces parties requiert une certaine durée pour être parcourue, Achille, qui aurait donc besoin d'une durée infinie pour atteindre son but, ne l'atteindra jamais. Or, objecte Aristote, même si on nie l'unité indivisible de l'Être, ni la distance, ni la durée ne sont des quantités discrètes, c'est-à-dire composées par contiguïté, ou, si l'on préfère, par addition ou composition de parties. L'une et l'autre ont, comme le dirait Cantor, la puissance du continu dans le sens où, quelle que soit la partie du tout d'une durée ou d'une distance, la partie ne pré-existe pas à ce tout qui en serait la composition mais, à l'inverse, c'est ce tout qui pré-existe à la partie, laquelle n'en est qu'une division a posteriori.

Le traitement par Aristote de tous les paradoxes de Zénon d'Elée est loin d'être idéal : sinon, on n'en parlerait plus. Les paradoxes de Zénon, effectivement, contraignent au concept du continu. On en a beaucoup parlé ici, sur de nombreux fils, dont celui-ci, https://digression.forum-actif.net/t1852-le-paradoxe-de-la-dichotomie-de-zenon, contrairement au titre, tous les paradoxes de Zénon sont abordés. Les quatre arguments, ou paradoxes, cinématiques (liés au mouvement), forment un tout absolument remarquable, cohérent, redoutable, qui sont la marque d'un génie. Zénon a monté en épingles les difficultés les plus radicales, foncières, de la pensée grecque de son temps, et aucun de ses successeurs n'en viendra à bout, ne trouvera d'issues.

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