Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[Vanleers]

J’ouvre le fil pour présenter la démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel qui figure dans Le théorème de Gödel de Jean-Yves Girard, Kurt Gödel, Jean-Baptiste Scherrer, Ernest Nagel, James R. Newman. (Seuil 1989)

Je me limiterai à signaler les principales étapes de la démonstration en laissant au lecteur le soin de consulter le livre pour la présentation complète.
La démonstration est facile à comprendre dans son principe et ne demande pas de connaissances mathématiques étendues.
Les deux auteurs de cette démonstration simplifiée sont Ernest Nagel et James R. Newman qui seront désignés dans ce qui suit par Nane.

Un système formalisé de l’arithmétique S(A)

L’arithmétique étant la science des nombres naturels, Nane décrit un système formalisé de l’arithmétique S(A).

Qu’est-ce qu’un système formel ?

Un système formel est défini par :
- un vocabulaire, c’est-à-dire un ensemble de signes élémentaires.
- des règles de formation de formules, c’est-à-dire de suites de signes considérées comme ayant un sens.
- des formules initiales (ou axiomes).
- des règles de déduction : une suite de formules est une démonstration si toute formule de la suite est, soit un axiome, soit déductible à partir des axiomes et des formules précédentes.

Le discours qui porte sur le système S(A) est qualifié de métamathématique.
Les assertion métamathématiques portent sur les signes du système S(A), sur leurs associations quand ils sont combinés pour former des formules ou sur les relations entre formules.
Il sera très important dans ce qui suit d’avoir en tête la distinction entre système formel et métamathématique.

Le système S(A) est construit de façon telle que les assertions métamathématiques vraies correspondent à des formules vraies du système S(A).
Les formules qui sont déduites formellement des axiomes, c’est-à-dire les formules qui  sont formellement démontrables sont des formules vraies par définition.

Le vocabulaire du système S(A)

Les signes élémentaires du vocabulaire fondamental sont de 2 sortes : les constantes et les variables.

Nane pose qu’il y a exactement 10 constantes :

« ~ »….Non
« V »….Ou
« ⊃ »….Si…, alors...
« ∃ »….Il existe
« = »….Égale
« 0 »…. Zéro
« s »….Successeur immédiat de
« ( »….Signe de ponctuation
« ) »….Signe de ponctuation
« , »….Signe de ponctuation


Il y a 3 sortes de variables :

- les variables numériques, « x », « y », « z », etc., auxquelles on peut substituer des chiffres et des expressions numériques.
- les variables propositionnelles « p », « q », « r », etc., auxquelles on peut substituer des formules (des propositions).
- les variables de prédicat « P », « Q », « R », etc., auxquelles on peut substituer des prédicats comme « premier », « plus grand que ».

Notons que les signes du système S(A) sont désignés par des expressions entre guillemets pour les distinguer des objets du discours métamathématique.
Notons aussi que les nombres de l’arithmétique ne sont pas désignés dans le système S(A) par des nombres mais par des chiffres (des noms de nombres).
Le nombre 3, par exemple, est désigné dans le système S(A) par « 3 », c’est-à-dire « le chiffre pour 3 », ou encore par « sss0 », « s » étant la constante du vocabulaire signifiant « le successeur immédiat de ».

La numérotation de Gödel

Gödel associe à chaque signe, chaque formule, chaque démonstration du système S(A) un nombre, dit nombre de Gödel.
Ce système de numérotation est simple et très performant car, connaissant le nombre de Gödel, on peut déterminer sans ambiguïté le signe, la formule ou la démonstration auquel il correspond.
Cette détermination est obtenue par décomposition du nombre de Gödel en produit de facteurs premiers, sachant que :

Le théorème fondamental de l'arithmétique permet d'affirmer que tout entier strictement positif possède une unique décomposition en facteurs premiers. C'est-à-dire qu'il peut s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombres premiers à une puissance adéquate.

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers

(à suivre)

[Zhongguoren]

Je me limiterai à signaler les principales étapes de la démonstration en laissant au lecteur le soin de consulter le livre pour la présentation complète.
|...]
Un système formel est défini par :
- un vocabulaire, c’est-à-dire un ensemble de signes élémentaires.
- des règles de formation de formules, c’est-à-dire de suites de signes considérées comme ayant un sens.
- des formules initiales (ou axiomes).
- des règles de déduction : une suite de formules est une démonstration si toute formule de la suite est, soit un axiome, soit déductible à partir des axiomes et des formules précédentes.

(J'ai mis en italique ce qui me paraît contestable)

1) Les règles de formation de propositions valides dans un système formel et les règles d'inférence dans ce même système de propositions nouvelles à partir de propositions préalablement admises n'ont aucun sens dans la mesure où elles ne s'appuient sur aucune intuition préalable. Par exemple, celle que vous citez plus bas et qui concerne la numérotation de Gödel est un instrument purement arbitraire et parfaitement contre-intuitif, donc dépourvu de sens dans l'acception courante de ce terme (cf. ce que dit Wittgenstein des propositions de la logique en général dans le Tractatus).

2) Attention à ne pas confondre "démonstration" et "déduction" : une démonstration est un raisonnement qui porte sur un discours et qui requiert, à chacune de ses étapes, l'assentiment de l'interlocuteur ; une déduction est un raisonnement qui porte sur des propositions qui s'enchaînent mécaniquement en conformité avec des règles de syntaxe et des axiomes préalablement posés (c'est, en fait, un calcul sur des propositions). Vous allez faire une démonstration des théorèmes de Gödel parce que vous allez vous mettre (du moins l'espère-t-on) à la portée de vos lecteurs. Mais les théorèmes de Gödel, par eux-mêmes, sont purement déductifs (ce qui les rend difficiles à comprendre pour le non-mathématicien). Du coup, dans le quatrième alinéa, il faudrait écrire "une suite de formules est une déduction si ...".

[Vanleers]

Nous allons maintenant exploiter la notion de nombre de Gödel, introduite à la fin du post précédent, en définissant une assertion métamathématique et un nombre qui sont représentés dans le système S(A) par, respectivement, une formule : « Dem » et le nom d’un nombre : « Sub ».
Nous serons alors en mesure de comprendre comment Gödel construit la formule G qui représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
Ce post est sans doute la partie la plus délicate de la présentation et il est recommandé de le lire lentement.
J’ajoute que je n’ai pas parfaitement compris la construction de la formule G et que je serais heureux si un lecteur pouvait m’apporter ses lumières.

Définition de « Dem »

Considérons l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x fait partie de la démonstration qui porte le nombre de Gödel z »
Nous pouvons savoir si cette assertion est vraie ou fausse en analysant les nombres x et z par le moyen de leurs décompositions en facteurs premiers.
Cette analyse est très simple dans son principe et Nane l’illustre dans le livre.
L’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x fait partie de la démonstration qui porte le nombre de Gödel z » est représentée dans le système S(A) par la formule : « Dem(x,z) »

Définition de « Sub »

Nane introduit « sub » à partir d’un exemple simple puis généralise et pose :

L’expression « sub (y,13,y) » est l’image, reflétée à l’intérieur du système S(A), de la caractérisation métamathématique : « Le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel y, quand on substitue à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 le chiffre pour y ».

Notons que, dans la numérotation exposée par Nane, c’est la variable numérique « y » qui porte le nombre de Gödel 13.
Notons aussi que l’expression « sub (y,13,y) » n’est pas une formule mais qu’elle a la forme d’un nom de nombre.

La formule G de Gödel

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable »

Considérons maintenant la formule :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable »
Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

(à suivre)

PS Je répondrai aux observations à la fin de la présentation (il y a encore un troisième et dernier post)

[Vanleers]

Nous sommes maintenant en mesure de tirer les conséquences de l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
Ce sont les deux théorèmes de Gödel.

La formule G n’est pas formellement démontrable

Nane se borne à dire que la démonstration de Gödel repose sur un raisonnement simple qui consiste à montrer que si la formule G était démontrable, alors sa négation formelle ~ G le serait également ; et, inversement, que si la négation formelle de G était démontrable, alors G le serait aussi.
En conséquence, si les axiomes du système S(A) sont consistants, G est formellement indécidable, au sens technique précis où ni G ni sa négation ne peuvent être déduits formellement à partir des axiomes.

Nane esquisse néanmoins la partie du raisonnement de Gödel qui montre que si G est démontrable, alors ~ G l’est aussi :
Si G est démontrable, il doit y avoir, à l’intérieur du système S(A) une suite de formules qui constitue une démonstration de G.
Soit k le nombre de Gödel de cette démonstration et rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de G.
Compte tenu de la définition de « Dem » déjà donnée, la formule « Dem (k, sub (n,13,n) » serait donc vraie dans l’hypothèse de G Démontrable
On montre que, dans ce cas, la formule est également démontrable et, en conséquence, à l’aide des règles de transformation de la logique élémentaire, on en déduit immédiatement que :
«  ~ (x) ~ Dem (x,sub (n,13,n)) », c’est-à-dire ~ G, est démontrable.
On a donc montré que si la formule G est démontrable, sa négation formelle l’est aussi. Il en résulte que si le système S(A) est consistant, la formule G n’est pas démontrable.

La formule G est vraie

Le raisonnement est le suivant, en 3 étapes :

1) En démontrant que la formule G n’est pas formellement démontrable, on a montré que l’assertion métamathématique « La formule " (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) " n’est pas démontrable » est vraie.
2) Cette assertion est représentée, à l’intérieur du système S(A), par la formule même qu’elle cite.
3) Le système S(A) est construit de façon telle que les assertions métamathématiques vraies correspondent à des démonstrations du système S(A).

Il s’ensuit que la formule G, qui correspond à une assertion métamathématique vraie est vraie
Notons que nous avons établi cette vérité de G non pas en la déduisant formellement à partir des axiomes du système S(A), mais grâce à un raisonnement métamathématique.
G est vraie, c’est-à-dire que G exprime une propriété numérique complexe mais bien déterminée qui vaut nécessairement pour tous les entiers naturels.

Le système S(A) est incomplet

La formule G étant vraie et, pourtant, non formellement démontrable, le système S(A) est incomplet (à condition que les axiomes soient consistants).

C’est le premier théorème de Gödel.

La consistance du système S(A) est formellement indémontrable

La constante « ⊃ » signifiant « Si …, alors... », Nane rappelle d’abord le théorème : « p ⊃ (~ p ⊃ q) »
Supposons qu’il existe une formule S que l’on puisse déduire des axiomes en même temps que sa négation. En substituant S à p dans le théorème rappelé ci-dessus on a :
« S ⊃ (~ S ⊃ q) »
S étant supposé démontrable, on a, par la règle du détachement (modus ponens) : « ~ S ⊃ q »
~ S étant supposé démontrable, on a, en appliquant une deuxième fois la règle du détachement : « q »
Mais si la formule composée de la variable « q » est démontrable, il s’ensuit immédiatement qu’en substituant n’importe quelle formule à « q », n’importe quelle formule est déductible des axiomes.
Or, ce résultat possède une réciproque : s’il existe au moins une formule non démontrable, alors le système est consistant.
Une telle formule non démontrable est représentée dans le système S(A) par la formule C :
« (∃y) (x) ~ Dem(x, y) »
Interprétée métamathématiquement, cette formule affirme : « Il existe au moins une formule de S(A) pour laquelle aucune suite de formules ne constitue une démonstration ».
Or, nous avons vu précédemment que si le système S(A) est consistant, il est incomplet.
Mais s’il est incomplet, cela signifie qu’il existe une formule vraie du système S(A) qui n’est pas formellement démontrable.
Comme nous l’avons vu, c’est le cas de la formule G.
En conséquence, l’assertion métamathématique conditionnelle « Si le système S(A) est consistant, il est incomplet » est représentée par la formule :
« (∃y) (x) ~ Dem(x, y) ⊃ ~ Dem (x,sub (n,13,n)) »
que, pour plus de brièveté, nous pouvons symboliser par la formule :
« C ⊃ G »

Nane indique simplement que cette formule est formellement démontrable.
En conséquence, si C était démontrable, G le serait également par la règle du détachement (modus ponens)
Comme G n’est pas démontrable, C ne l’est pas non plus.
« La consistance du système S(A) est donc formellement indémontrable »

C’est le deuxième théorème de Gödel.

Fin de la présentation

[Vanleers]

Dans l’avant-dernier post, j’écrivais que je n’avais pas parfaitement compris la construction de la formule « G » de Gödel.
Je pense l’avoir mieux comprise en faisant le raisonnement suivant.

Nane  pose :

L’expression « sub (y,13,y) » est l’image, reflétée à l’intérieur du système S(A), de la caractérisation métamathématique : « Le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel y, quand on substitue à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 le chiffre pour y ».
Notons que, dans la numérotation exposée par Nane, c’est la variable numérique « y » qui porte le nombre de Gödel 13.
La substitution en question consiste donc à substituer, dans la formule, à la variable numérique « y » le chiffre pour y, nombre de Gödel de la formule.
Notons que ce nombre y est indéterminé.

Nane considère ensuite la formule :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »

Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
C’est ici que je fais le raisonnement que le nombre y étant indéterminé, il faut considérer que, dans la substitution envisagée, y, qui, jusqu’ici, était le chiffre pour le nombre y, désigne en fait la variable numérique « y » qui porte le nombre de Gödel 13.
Un nombre indéterminé est en effet une variable numérique.
Ceci explique que sub(y,13,y) se transforme en sub (n,13,n) et que la formule « G » s’écrive :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

J’espère que le raisonnement est correct.

[benfifi]

Notons aussi que les nombres de l’arithmétique ne sont pas désignés dans le système S(A) par des nombres mais par des chiffres (des noms de nombres).
Le nombre 3, par exemple, est désigné dans le système S(A) par « 3 », c’est-à-dire « le chiffre pour 3 », ou encore par « sss0 », « s » étant la constante du vocabulaire signifiant « le successeur immédiat de ».

... à la différence de... quoi par exemple ?

[hks]

[

[Vanleers]

Je me limiterai à signaler les principales étapes de la démonstration en laissant au lecteur le soin de consulter le livre pour la présentation complète.
|...]
Un système formel est défini par :
- un vocabulaire, c’est-à-dire un ensemble de signes élémentaires.
- des règles de formation de formules, c’est-à-dire de suites de signes considérées comme ayant un sens.
- des formules initiales (ou axiomes).
- des règles de déduction : une suite de formules est une démonstration si toute formule de la suite est, soit un axiome, soit déductible à partir des axiomes et des formules précédentes.

(J'ai mis en italique ce qui me paraît contestable)

1) Les règles de formation de propositions valides dans un système formel et les règles d'inférence dans ce même système de propositions nouvelles à partir de propositions préalablement admises n'ont aucun sens dans la mesure où elles ne s'appuient sur aucune intuition préalable. Par exemple, celle que vous citez plus bas et qui concerne la numérotation de Gödel est un instrument purement arbitraire et parfaitement contre-intuitif, donc dépourvu de sens dans l'acception courante de ce terme (cf. ce que dit Wittgenstein des propositions de la logique en général dans le Tractatus).

2) Attention à ne pas confondre "démonstration" et "déduction" : une démonstration est un raisonnement qui porte sur un discours et qui requiert, à chacune de ses étapes, l'assentiment de l'interlocuteur ; une déduction est un raisonnement qui porte sur des propositions qui s'enchaînent mécaniquement en conformité avec des règles de syntaxe et des axiomes préalablement posés (c'est, en fait, un calcul sur des propositions). Vous allez faire une démonstration des théorèmes de Gödel parce que vous allez vous mettre (du moins l'espère-t-on) à la portée de vos lecteurs. Mais les théorèmes de Gödel, par eux-mêmes, sont purement déductifs (ce qui les rend difficiles à comprendre pour le non-mathématicien). Du coup, dans le quatrième alinéa, il faudrait écrire "une suite de formules est une déduction si ...".

Sur le point 1) :

L’intérêt de la formalisation est de nous permettre « de voir le modèle structural des « chaînes » de signes « vides de sens », leurs connexions, leurs combinaisons, leurs intrications... » (op. cit. p. 37).

Une page recouverte des signes « vides de sens » de ces mathématiques formalisées n’affirme rien – c’est simplement une figure abstraite, ou une mosaïque, qui possède une structure déterminée. Cependant il est clair qu’il est possible de décrire les configurations de ces systèmes et d’affirmer quelque chose à leur sujet et au sujet de leurs diverses relations. (ibid.)

La numérotation de Gödel est un outil, conçu pour établir la démonstration des théorèmes.

Sur le point 2)

Il s’agit de démonstration ou de déduction formelles qui répondent à la même définition : « enchaînement de formules composé de formules déjà déduites et d’axiomes ».
Bien entendu, il existe aussi des démonstrations non formelles que Nane, en référence à Hilbert, appelle « métamathématiques » mais qu’il vaudrait mieux appeler « métaformelles ».
La démonstration des théorèmes de Gödel se réfère à ce deuxième sens.

[Zhongguoren]

L’intérêt de la formalisation est de nous permettre « de voir le modèle structural des « chaînes » de signes « vides de sens », leurs connexions, leurs combinaisons, leurs intrications... » (op. cit. p. 37).

Un langage formel est vide de sens par définition (= constitué de tautologies)

Il s’agit de démonstration ou de déduction formelles qui répondent à la même définition : « enchaînement de formules composé de formules déjà déduites et d’axiomes ».
Bien entendu, il existe aussi des démonstrations non formelles que Nane, en référence à Hilbert, appelle « métamathématiques » mais qu’il vaudrait mieux appeler « métaformelles ».
La démonstration des théorèmes de Gödel se réfère à ce deuxième sens

O.K.

Notons aussi que les nombres de l’arithmétique ne sont pas désignés dans le système S(A) par des nombres mais par des chiffres (des noms de nombres).
Le nombre 3, par exemple, est désigné dans le système S(A) par « 3 », c’est-à-dire « le chiffre pour 3 », ou encore par « sss0 », « s » étant la constante du vocabulaire signifiant « le successeur immédiat de ».

... à la différence de... quoi par exemple ?

C'est la différence (héritée de Frege) entre mention (entre guillemets) et usage (sans guillemets). Cette distinction est le propre d'un métalangage.

[neopilina]

Je numérote les deux assertions citées par Vanleers :

L’intérêt de la formalisation est de nous permettre « de voir le modèle structural des « chaînes » de signes « vides de sens », leurs connexions, leurs combinaisons, leurs intrications... » (op. cit. p. 37).

1 - Une page recouverte des signes « vides de sens » de ces mathématiques formalisées n’affirme rien – c’est simplement une figure abstraite, ou une mosaïque, qui possède une structure déterminée.
2 - Cependant il est clair qu’il est possible de décrire les configurations de ces systèmes et d’affirmer quelque chose à leur sujet et au sujet de leurs diverses relations. (ibid.)

J'imagine très bien une page remplie de symboles mathématiques choisis au hasard. Chacun d'entre eux a un sens, mais l'ensemble n'en a aucun, et donc, je ne vois pas très bien ce qu'on pourrait en dire, ce que prétend l'assertion numéro 2. Elle : " Il est clair que ... " Je reste donc perplexe. L'exemple me rappelle le manuscrit de Voynich, toujours pas déchiffré. Dans les anciennes méthodes de chiffrement, on a la méthode des caches. On le pose sur les pages et seule la partie restant visible est effectivement chiffrée, ce qui est caché, c'est des symboles choisis au hasard. On peut varier les plaisirs, en faisant varier la position du cache d'une page à l'autre selon convenance (on le tourne d'un quart dans le sens des aiguilles d'une montre, etc.).

La numérotation de Gödel est un outil, conçu pour établir la démonstration des théorèmes.

Tous les formalismes sont des outils, des convenances, etc. On peut d'abord dire, on en a tous la plus solide des expériences, les formalismes, ça marche : ça exprime, transmet, véhicule, etc., du sens (l'oxydation de certains métaux, formalisées chimiquement) ou du Sens (cette femme est belle).

à Vanleers,

Faut-il le dire ? Il est bien sûr évident que je n'ai pas pu suivre le fil du raisonnement (le faire Mien) que tu nous a proposé. J'espère que d'autres en profiteront. Déjà quand je raconte une anecdote autobiographique, il faut j'aille vérifier la date !!    

On sait tous très bien, tout de même, que les deux théorèmes d'incomplétude de Gödel ont des conséquences philosophiques plus que notoires : extrêmement intéressantes. A ce sujet, je vais citer ma source préférée ici, le " Vox Zenonis " de Jean Zafiropulo, qui y consacre le dernier chapitre, " XIII L'objection de Kurt Goedel ", avant la conclusion générale, de son ouvrage. Le dit chapitre se termine ainsi, c'est moi qui ajoute entre crochets :

A cause des " cartes arithmétiques " que l'on peut toujours faire correspondre à n'importe quel domaine formalisé, l'objection de Goedel est absolument générale : aucun système axiomatique (et l'homme n'en peut construire d'autre) ne pourra jamais englober dans son domaine toutes les propositions que l'on peut tirer de ses axiomes, à moins que ses axiomes ne soient pas compatibles.
Il viendra donc toujours un moment où toute théorie de la connaissance devra être rejetée, soit que nous tombions sur une proposition qu'elle ne peut trancher et qui s'avère extérieure à son domaine devenu, de ce fait, trop étroit, soit que nous découvrions une contradiction dans les axiomes admis, lors de l'édification de notre théorie.
Tout système [formel] porte lui-même son principe de mort [à titre personnel, je dirais " ses limites "] ".

Petite précision. Parfois je suis obligé de croire Zafiropulo (ou autre) " sur parole ", de la même façon que je n'ai pas pu faire Mien ce que nous a proposé Vanleers. Parfois, je suis d'accord, je peux faire Mien son discours. Mais parfois, je ne suis pas d'accord avec Zafiropulo (ou autre), et là, je peux argumenter. Et il me semble que l'on vit tous ça.

[Vanleers]

Notons aussi que les nombres de l’arithmétique ne sont pas désignés dans le système S(A) par des nombres mais par des chiffres (des noms de nombres).
Le nombre 3, par exemple, est désigné dans le système S(A) par « 3 », c’est-à-dire « le chiffre pour 3 », ou encore par « sss0 », « s » étant la constante du vocabulaire signifiant « le successeur immédiat de ».

... à la différence de... quoi par exemple ?

Gödel est platonicien en mathématiques.
Il soutient que les nombres existent réellement, au-delà des signes qui les désignent.
Le nombre 3 existe.
En chiffres arabes, il est désigné par le chiffre 3.
En chiffres romains, il est désigné par le chiffre III.
Dans le système formel S(A), il est désigné par la suite de signes sss0.
Rappelons qu’un système formel est une mosaïque de signes vides de sens.
Peuvent avoir un sens les discours sur la mosaïque.

[Vanleers]

Considérons l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x fait partie de la démonstration qui porte le nombre de Gödel z »
Nous pouvons savoir si cette assertion est vraie ou fausse en analysant les nombres x et z par le moyen de leurs décompositions en facteurs premiers.

je ne comprends pas pourquoi on parle d'assertion métamathématique .
alors que

On montre que, dans ce cas, la formule est également démontrable et, en conséquence, à l’aide des règles de transformation de la logique élémentaire,

...on va dire que je n'ai pas trop fait d'efforts sur une question dont je ne vois pas vraiment l'intérêt (pragmatique).

J’ai reproduit quasi intégralement le passage du livre afin que le lecteur comprenne le raisonnement.

Les théorèmes de Gödel ont eu un succès médiatique  indéniable.
Citons par exemple le Gödel, Escher, Bach : Les Brins d'une Guirlande Éternelle (1979) de Douglas Hofstadter qui a obtenu le prix Pulitzer.
On a pu parler de « gödélite », de spéculations sur le fait que Gödel aurait démontré qu’il y a des vérités indémontrables.
Il n’en est rien, Gödel ayant simplement mis en évidence les « limitations internes des formalismes », pour reprendre le titre de l’ouvrage de Jean Ladrière.
Le livre que j’ai présenté sur ce fil est accessible au lecteur, même dépourvu de connaissances mathématiques (il suffit qu’il admette sans démonstration le théorème de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de tout nombre entier).
Le lecteur peut donc juger par lui-même de la portée des théorèmes de Gödel et de la façon dont ils ont été établis.

[Vanleers]

A neopilina

Je suis, hélas, le déplorable auteur des propos que vous attribuez à Zhongguoren, pensant que ce n’est pas de ça que je veux vous parler présentement.

Je n’ai pas lu le dernier chapitre du livre de Zafiropulo mais, à première vue, je crains qu’il ne relève de la « gödélite ». A voir.

[neopilina]

(

A neopilina

Je suis, hélas, le déplorable auteur des propos que vous attribuez à Zhongguoren, pensant que ce n’est pas de ça que je veux vous parler présentement.

Je n’ai pas lu le dernier chapitre du livre de Zafiropulo mais, à première vue, je crains qu’il ne relève de la « gödélite ». A voir.

Oulà !! J'ai corrigé !!   Trois fois !!

)

[neopilina]

Rappelons qu’un système formel est une mosaïque de signes vides de sens. Peuvent avoir un sens les discours sur la mosaïque.

Le propos est désarmant ! Chaque signe a un sens ! Non !? Comment " 1 + 4 = 5 ", peut-il avoir un sens si " 4 " n'en a pas !?

Il n’en est rien, Gödel ayant simplement mis en évidence les « limitations internes des formalismes », pour reprendre le titre de l’ouvrage de Jean Ladrière.

Et c'est ce à quoi je pensais. Ce n'est pas rien !!

[hks]

Rappelons qu’un système formel est une mosaïque de signes vides de sens.

Wittgenstein et en conséquence ZGren disent la même chose. C'est une affirmation dogmatique .
Pour moi cette position est kantienne.
Elle suggère que la logique est  une condition transcendantale de la pensée, mais qu'elle n'a pas de sens en elle même.

« La logique n'est point une théorie, mais une image qui reflète le monde. La logique est trans­cendantale »

du moins dan le tractatus, je doute qu'il, soit revenu sur ce point de doctrine. On a donc des condition formelles ( une forme ) mais qui ne signifie rien en elle même.

ce qui n'est pas mon point de vue.
..........................................;
Contre exemple pour illustrer ma position

Russel explique dans les principia mathematica


que

L’adaptation des règles du symbolisme aux processus de déduction aide l’intuition dans des régions trop abstraites pour que l’imagination présente rapidement à l’esprit la véritable relation entre les idées employées. Car les diverses
collocations de symboles deviennent familières en ce qu’elles représentent des

collocations importantes d’idées ; et à leur tour, les relations possibles — selon
les règles du symbolisme — entre ces collocations de symboles deviennent familières, et ces nouvelles collocations représentent encore plus de relations compliquées entre les idées abstraites. Et ainsi l’esprit est fi nalement conduit à construire
des séries [trains] de raisonnements dans des régions de la pensée dans laquelle
l’imagination serait entièrement incapable de se soutenir elle-même sans l’aide
du symbolisme. Le langage ordinaire ne procure aucune aide de ce genre. Sa
structure grammaticale ne représente pas de façon univoque les relations entre
les idées impliquées. Ainsi, « la baleine est grosse » et « 1 est un nombre » se
ressemblent tous les deux, de sorte que le regard n’aide pas l’imagination.

On voit bien que pour Russell il y a rapport aux idées c' est à dire au sens , au sens des idées signifiantes.

Ce qui est peut être platonisant mais pas rédhibitoire.
........................................................

On voudrait que la logique n'ait pas de sens et seulement une utilité (l'outil à priori).
Est -ce le principe premier A=A n'a pas de sens .

Moi je le trouve porteur d'un sens à la fois éminent et énigmatique .

[Zhongguoren]

Le livre que j’ai présenté sur ce fil est accessible au lecteur, même dépourvu de connaissances mathématiques (il suffit qu’il admette sans démonstration le théorème de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de tout nombre entier).
Le lecteur peut donc juger par lui-même de la portée des théorèmes de Gödel et de la façon dont ils ont été établis.

Certainement pas !

Admettons qu'il ne faille pas être Field's Medal pour aborder Gödel. Toutefois, on ne saisira ni le contenu, ni les enjeux ni, cela va de soi, les limites des théorèmes de Gödel si l'on n'est pas philosophiquement familiarisé(e) d'une part avec le logicisme formel (notamment chez Frege, Russell, Wittgenstein, Vuillemin, Quine ou Bouveresse), d'autre part avec les débats qui ont agité les mathématiciens du début du XX° siècle à propos du statut des objets mathématiques (Lobatchevski, Bolyai, Riemann pour la géométrie, Hilbert, Peano pour l'arithmétique). Les diverses "réactions" sur ce fil de discussion (et sur d'autres ...) en sont la preuve la plus éclatante. A cet égard, je trouve Vanleers fort courageux d'avoir osé aborder ce sujet sur ce forum.

Illustration :

(C'est moi qui souligne) A cause des " cartes arithmétiques " que l'on peut toujours faire correspondre à n'importe quel domaine formalisé, l'objection de Goedel est absolument générale : aucun système axiomatique (et l'homme n'en peut construire d'autre) ne pourra jamais englober dans son domaine toutes les propositions que l'on peut tirer de ses axiomes.

Non, non et non ! La portée de la découverte de Gödel est tout sauf "générale" : elle ne concerne que les systèmes tout à la fois, formalisés, consistants, décidables et "péaniques" ! Ce qui fait beaucoup de conditions à satisfaire conjointement ! Si on ignore ce cadre, extrêmement restreint, on est dans le délire !

D'où la "renommée" médiatique que l'incomplétude Gödélienne a effectivement eue auprès d'une intelligentsia aussi ignorante qu'arrogante. Cf. Impostures Intellectuelles (Alan Sokal et Jean Bricmont), qu'appellent-ils "penser" ? (Jacques Bouveresse) à propos, notamment, de la captation par Régis Debray des théorèmes de Gödel (dont il ne connaît d'ailleurs pas l'existence du second !) pour "démontrer" (sic !) l'"incomplétude" (re-sic !) des systèmes politiques. Ou quand on veut absolument trouver du sens à ce qui n'en a pas !!!

Le mépris des règles les plus élémentaires de l'argumentation et de la discussion critique [...] est effectivement devenu, chez certains philosophes contemporains, une véritable manière de penser et un style philosophique imposé. [Par exemple, s'agissant de Gödel]
1) monter systématiquement en épingle les ressemblances les plus superficielles, en présentant cela comme une découverte révolutionnaire
2) ignorer de façon aussi systématique les différences profondes [notamment s'agissant de la portée et des limites de ses théorèmes], en les présentant comme des détails négligeables qui ne peuvent intéresser et impressionner que les esprits pointilleux, mesquins et pusillanimes. C'est de cette façon, mais ce n'est, bien entendu, qu'un exemple parmi beaucoup d'autres possibles, que procède Debray dans l'application qu'il fait du théorème de Gödel à la théorie des systèmes sociaux et politiques"(qu'appellent-ils Penser ?)

PS : cf. les cours de Jacques Bouveresse au Collège de France sur Gödel (https://autourdejacquesbouveresse.blogspot.com/2021/05/jacques-bouveresse-resumes-des-trois.html?m=1) comme antidote à la bêtise ...

[Vanleers]

A ce sujet, je vais citer ma source préférée ici, le " Vox Zenonis " de Jean Zafiropulo, qui y consacre le dernier chapitre, " XIII L'objection de Kurt Goedel ", avant la conclusion générale, de son ouvrage. Le dit chapitre se termine ainsi, c'est moi qui ajoute entre crochets :

A cause des " cartes arithmétiques " que l'on peut toujours faire correspondre à n'importe quel domaine formalisé, l'objection de Goedel est absolument générale : aucun système axiomatique (et l'homme n'en peut construire d'autre) ne pourra jamais englober dans son domaine toutes les propositions que l'on peut tirer de ses axiomes, à moins que ses axiomes ne soient pas compatibles.
Il viendra donc toujours un moment où toute théorie de la connaissance devra être rejetée, soit que nous tombions sur une proposition qu'elle ne peut trancher et qui s'avère extérieure à son domaine devenu, de ce fait, trop étroit, soit que nous découvrions une contradiction dans les axiomes admis, lors de l'édification de notre théorie.
Tout système [formel] porte lui-même son principe de mort [à titre personnel, je dirais " ses limites "] ".

Petite précision. Parfois je suis obligé de croire Zafiropulo (ou autre) " sur parole ", de la même façon que je n'ai pas pu faire Mien ce que nous a proposé Vanleers. Parfois, je suis d'accord, je peux faire Mien son discours. Mais parfois, je ne suis pas d'accord avec Zafiropulo (ou autre), et là, je peux argumenter. Et il me semble que l'on vit tous ça.

J’ai lu ce chapitre XIII.
Il est trop succinct et trop vague pour que le lecteur non averti puisse vraiment comprendre les théorèmes de Gödel.
En comparaison, le texte que j’ai présenté sur le fil est détaillé, clair et précis et constitue une remarquable aide à leur intelligence.
Vous avez apporté, à juste titre, des précisions à la conclusion de Zafiropulo.
Il reste que relève de la « gödélite » son assertion : « Il viendra donc toujours un moment où toute théorie de la connaissance devra être rejetée... »

[Vanleers]

Rappelons qu’un système formel est une mosaïque de signes vides de sens. Peuvent avoir un sens les discours sur la mosaïque.

Le propos est désarmant ! Chaque signe a un sens ! Non !?    Comment " 1 + 4 = 5 ", peut-il avoir un sens si " 4 " n'en a pas !?

Un système formalisé de l’arithmétique ne traite pas de nombres mais de signes.

Quel est le sens d’un cavalier ou d’un fou aux échecs ? Aucun : ils ne signifient rien.
Je cite, de façon plus complète, un texte dont j’ai donné le début sur un autre fil.

Aux échecs, il y a 32 pièces spécifiques sur un échiquier de 64 cases, évoluant selon des règles bien déterminées. On peut très bien jouer sans assigner aucune « interprétation » aux diverses pièces ou à leurs diverses positions sur l’échiquier mais on peut cependant, si on le souhaite, développer une telle interprétation. Par exemple, on peut convenir que tel pion représente tel régiment d’une armée, que telle case représente telle région géographique, et ainsi de suite. Mais ces conventions (ou interprétations) ne sont pas d’usage ; et ni les pièces, ni les cases, ni les positions des pièces sur l’échiquier ne signifient quoi que ce soit en dehors du jeu. En ce sens, les pièces et leurs dispositions sur l’échiquier ne « signifient rien ». Ce jeu est ainsi analogue à un calcul mathématique formalisé. Les pièces et les cases sur l’échiquier correspondent aux signes élémentaires du calcul ; la position réglementaire des pièces sur l’échiquier aux formules du calcul ; la position initiale des pièces sur l’échiquier aux axiomes ou aux formules initiales du calcul ; les position possibles des pièces sur l’échiquier pendant la partie aux formules dérivées des axiomes (c’est-à-dire aux théorèmes) ; et les règles du jeu aux règles d’inférence (ou de dérivation) du calcul. (op. cit. pp. 42-43)

[hks]

Un système formalisé de l’arithmétique ne traite pas de nombres mais de signes.

Convenez que s'il ne traite plus ou pas de nombres alors il ne traite pas de l'arithmétique du tout.

Maintenant hors de toute application à un sujet ( l'arithmétique par exemple, ou le langage ordinaire ) un système de signes a pour moi du sens
je veux dire que ce n'est en rien un effet du hasard.
Un système formel ne tient pas lui seul tout seul, hors de, autoposé au milieu de la nature, système venant de rien et n' allant vers rien. Privé de toutes relations à.

Sinon ...la science ...point final (sciences plus ou moins dures)
aveugle à ses sources, mais bref, elle va son chemin en dépit de cette cécité.

On file droit s'installer dans un scepticisme stérile ou la foi.
Pour moi il y a place entre les deux pour une philosophie consistante  fut elle métaphysique.
.................................................

PS je  ne vois pas  cité PEIRCE Charles Sanders Peirce
On fait assez justement le partage entre deux mode de pensées
celui  de Peirce, Frege, Russell, Wittgenstein
bref  la philosophie analytique
et ...la phénoménologie (Husserl)

[Zhongguoren]

Un système formalisé de l’arithmétique ne traite pas de nombres mais de signes.

Quel est le sens d’un cavalier ou d’un fou aux échecs ? Aucun : ils ne signifient rien.
Je cite, de façon plus complète, un texte dont j’ai donné le début sur un autre fil.

Aux échecs, il y a 32 pièces spécifiques sur un échiquier de 64 cases, évoluant selon des règles bien déterminées. On peut très bien jouer sans assigner aucune « interprétation » aux diverses pièces ou à leurs diverses positions sur l’échiquier mais on peut cependant, si on le souhaite, développer une telle interprétation. Par exemple, on peut convenir que tel pion représente tel régiment d’une armée, que telle case représente telle région géographique, et ainsi de suite. Mais ces conventions (ou interprétations) ne sont pas d’usage ; et ni les pièces, ni les cases, ni les positions des pièces sur l’échiquier ne signifient quoi que ce soit en dehors du jeu. En ce sens, les pièces et leurs dispositions sur l’échiquier ne « signifient rien ». Ce jeu est ainsi analogue à un calcul mathématique formalisé. Les pièces et les cases sur l’échiquier correspondent aux signes élémentaires du calcul ; la position réglementaire des pièces sur l’échiquier aux formules du calcul ; la position initiale des pièces sur l’échiquier aux axiomes ou aux formules initiales du calcul ; les position possibles des pièces sur l’échiquier pendant la partie aux formules dérivées des axiomes (c’est-à-dire aux théorèmes) ; et les règles du jeu aux règles d’inférence (ou de dérivation) du calcul. (op. cit. pp. 42-43)

Tout système de signes est formalisable : il faut et il suffit pour cela d'évoquer les règles d'usage de ce système. Pour autant, il ne suffit pas d'avoir affaire à un système formalisé pour que celui-ci soit justiciable des théorèmes d'incomplétude.

La philosophie de la logique ne parle pas de phrases ou de mots en un sens différent de celui que nous leur donnons dans la vie quotidienne lorsque nous disons "il y a là une phrase écrite en chinois", ou "on dirait des signes écrits, mais c'est en réalité un ornement", etc. [...] Mais nous parlons du langage comme nous parlerions des pièces du jeu d'échecs, en donnant les règles du jeu qui concernent les pièces, et non en décrivant leurs propriétés physiques. La question "qu'est-ce que la vérité ?" est analogue à celle-ci : "qu'est-ce qu'une pièce du jeu d'échecs ?""(Recherches Philosophiques, §108)

[neopilina]

J’ai lu ce chapitre XIII.
Il est trop succinct et trop vague pour que le lecteur non averti puisse vraiment comprendre les théorèmes de Gödel.
En comparaison, le texte que j’ai présenté sur le fil est détaillé, clair et précis et constitue une remarquable aide à leur intelligence.
Vous avez apporté, à juste titre, des précisions à la conclusion de Zafiropulo.
Il reste que relève de la « gödélite » son assertion : « Il viendra donc toujours un moment où toute théorie de la connaissance devra être rejetée... »

Merci Vanleers. Et grâce à l'exemple fourni, j'ai compris ce que tu entendais par " gödélite ". Donc acte. Pour le " reste ", je réagirais plus tard.

PS. à Zhongguoren,

De même, merci, pour la même raison. Mais ce n'est pas la peine de s'enflammer de la sorte. A la perfection nul n'est tenu, et c'est pour ça qu'à plusieurs c'est forcément mieux. Homère : " Deux têtes valent mieux qu'une ".
Re : attention à tes liens, pas forcément visibles en tant que tels.

[hks]

Mais ces conventions (ou interprétations) ne sont pas d’usage ; et ni les pièces, ni les cases, ni les positions des pièces sur l’échiquier ne signifient quoi que ce soit en dehors du jeu. En ce sens, les pièces et leurs dispositions sur l’échiquier ne « signifient rien ».

Je soutiens que en dehors de ce jeu là : les cases , les pièces, la position des pièces  signifient.

Si je vous montre des cases noires et blanches cela signifie;

Une intention décorative par exemple.



Les idées générales de pièces et de positions, de déplacements, signifient au delà (et en deçà) de ce jeu là.
Si on passe des dames ou des petits chevaux aux échecs ou au jeu de GO on n'a pas tout a réapprendre .

[Zhongguoren]

attention à tes liens, pas forcément visibles en tant que tels.

O.K. Je posterai l'URL désormais (possibilité de copier/coller).

[Vanleers]

D’entrée de jeu, j’avais prévenu qu’il serait très important, dans ce qui allait suivre, d’avoir en tête la distinction entre système formel et métamathématique.

Il semble que cette distinction soit problématique pour certains lecteurs et constitue même un pont infranchissable alors que, n’en déplaise à Zhongguoren, aucun bagage en connaissances mathématiques ne soit nécessaire pour le passer.
J’essaierai, une fois encore, de faciliter le franchissement en citant un autre passage du livre que je présente.

Au début du XX° siècle et devant « la crainte grandissante que les formulations classiques de plusieurs systèmes mathématiques puissent toutes présenter des contradictions internes », Hilbert proposa une nouvelle solution consistant à formaliser complètement un système déductif.

Cela implique que l’on vide les expressions figurant dans le système de toute signification : il faut les envisager simplement comme des signes vides. La façon dont ces signes peuvent être combinés et manipulés doit être spécifiée par un ensemble de règles précisément établies. Le but de cette procédure est de construire un système de signes (appelé « calcul ») où il n’y ait plus rien de caché et qui ne contienne que ce que nous y avons mis explicitement. Les postulats et les théorèmes d’un système entièrement formalisé sont des « chaînes » (ou des suites finies) de signes dépourvus de signification construites selon les règles combinatoires du système. En outre, dès lors qu’un système a été entièrement formalisé, la déduction des théorèmes à partir des postulats n’est rien de plus que la transformation (conformément aux règles) d’un ensemble de « chaînes » en un autre ensemble de « chaînes ». De cette manière, on ne court plus le risque d’utiliser des principes de raisonnement subreptices. La formalisation est une tâche ardue et délicate, mais dont l’utilité est incontestable. Elle permet de faire ressortir la structure et l’économie en toute clarté, comme le ferait un modèle en coupe pour une machine. Quand on a formalisé un système, les relations logiques entre les propositions mathématiques apparaissent nettement. On est alors en mesure de voir le modèle structural des diverses « chaînes » de signes « vides de sens », leurs connexions, leurs combinaisons, leurs intrications, et ainsi de suite.
Une page recouverte des signes « vides de sens » de ces mathématiques formalisées n’affirme rien – c’est simplement une figure abstraite, ou un mosaïque, qui possède une structure déterminée.  Cependant il est clair qu’il est possible de décrire les configurations de ces systèmes et d’affirmer quelque chose à leur sujet et au sujet de leurs diverses relations. On peut dire qu’une « chaîne » est belle, qu’elle ressemble à une autre « chaîne », ou que l’une des « chaînes » semble composée de trois autres « chaînes, etc. Ces assertions sont bien évidemment significatives et peuvent transmettre une information importante sur le système formel. Il faut bien remarquer toutefois que ces assertions significatives sur un système mathématique « dépourvu de signification » (ou formalisé) n’appartiennent manifestement pas elles-mêmes au système. Elles appartiennent à ce que Hilbert nomme les « métamathématiques », au langage qui porte sur les mathématiques. Les assertions métamathématiques sont des assertions portant sur les signes figurant à l’intérieur du système mathématique formalisé (c’est-à-dire du calcul), sur leurs associations quand ils sont combinés pour former des chaînes de signes plus longues, appelées « formules », ou sur les relations entre formules qui peuvent exister en tant que conséquences des règles de manipulation spécifiées à leur sujet. (op. cit. pp. 36-38)

En démontrant que la consistance d’un système formalisant l’arithmétique n’est pas formellement démontrable dans le système, Gödel ruina les espoirs que Hilbert avait mis dans le projet de formalisation complète d’un système déductif.

[Contenu sponsorisé]