Re: Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[benfifi]

Je suis encor loin de la Grèce et n'ai pas mis
le pied sur notre sol ; j'erre, victime du malheur,
depuis le jour que j'ai suivi Agamemnon
vers Troie aux beaux poulains pour combattre ce peuple.

Homère l'Odyssée chant 11 vers 166.
Version de Philippe Jaccottet. le Club français du livre 1955, la Découverte 1982 2000 2004.

[Zhongguoren]

Nous en savons autant que Dieu sait en mathématiques (Leçons sur les Fondements des Mathématiques).

[benfifi]

Voici l'extrait de Nane :

La formule G de Gödel

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».

Considérons maintenant la formule :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable ».
Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

À comparer avec ceci où apparaît une hypothèse :

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».

La formule qui porte le nombre de Gödel y est-elle indémontrable ? Remarque : y = sub(y,13,y).
Plaçons-nous dans l'hypothèse affirmative. Alors...
La formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » représentant l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) » est vraie.

Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

En définitive la formule G est indémontrable si la formule, qui porte le nombre de Gödel y, est indémontrable.
Autrement dit, du fait que la formule G n'est pas référencée à y, ...
1/ S'il existe une formule indémontrable alors G est indémontrable.
2/ S'il n'existe pas une formule indémontrable alors G est démontrable.

[Zhongguoren]

Voici l'extrait de Nane :

La formule G de Gödel

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».

Considérons maintenant la formule :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable ».
Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

À comparer avec ceci où apparaît une hypothèse :

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».

La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) est-elle indémontrable ?
Plaçons-nous dans l'hypothèse affirmative. Alors...
La formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » représentant l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) » est vraie.

Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

En définitive la formule G est indémontrable si la formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) est indémontrable.

Voilà.

[benfifi]

Petite retouche à venir : modif de la fin du post précédent... que je reprends en concluant ainsi :

En définitive la formule G est indémontrable si la formule, qui porte le nombre de Gödel y, est indémontrable.
Et là apparaît (enfin) le paradoxe :
Autrement dit, du fait que la formule G n'est pas référencée à y, ...
1/ S'il existe une formule indémontrable alors G est vraie, donc démontrée (telle), et, soi-disant (au sens propre) indémontrable : paradoxe G-démontrée / G-indémontrable.
2/ S'il n'existe pas une formule indémontrable alors G est fausse, et non-G vraie, c'est-à-dire qu'il existe une suite de formules étant une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), G pour ne pas la nommer, autrement dit G est démontrée : paradoxe G-fausse / G-démontrée.

Étant dégagé de l'hypothèse on peut conclure :
G est indémontrable.

[benfifi]

Ouf! J'espère être arrivé à bon port.

Hommage à Kurt GÖDEL qui a trouvé à 25 ans.

Merci à Vanleers et Zhongguoren qui m'ont accompagné.

[benfifi]

Je viens de m'apercevoir d'une erreur commise dans le post du Jeu 29 Sep 2022 - 16:23, lequel fait suite à celui de 15:10. Le voici :

15:10 :
En définitive la formule G est indémontrable si la formule, qui porte le nombre de Gödel y, est indémontrable.
Autrement dit, du fait que la formule G n'est pas référencée à y, ...
1/ S'il existe une formule indémontrable alors G est indémontrable.
2/ S'il n'existe pas une formule indémontrable alors G est démontrable.

16:23 :
En définitive la formule G est indémontrable si la formule, qui porte le nombre de Gödel y, est indémontrable.
Et là apparaît (enfin) le paradoxe :
Autrement dit, du fait que la formule G n'est pas référencée à y, ...
1/ S'il existe une formule indémontrable alors G est vraie, donc démontrée (telle), et, soi-disant (au sens propre) indémontrable : paradoxe G-démontrée / G-indémontrable.
2/ S'il n'existe pas une formule indémontrable alors G est fausse, et non-G vraie, c'est-à-dire qu'il existe une suite de formules étant une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), G pour ne pas la nommer, autrement dit G est démontrée : paradoxe G-fausse / G-démontrée.

En effet le propos tenu en 2/ est vérolé. Donc invalide. Pourquoi ? Parce que, étant toujours placé dans l'hypothèse où la formule qui porte le nombre de Gödel y est indémontrable, je ne peux rien déduire de la condition selon laquelle il n'existe pas une formule indémontrable.
Et puis surtout j'ai considéré qu'une formule démontrable était de facto démontrée. Que nenni. J'y reviens ci-après en remarque.

Voilà donc ce qui suit en réparation :

Soit la formule portant le nombre de Gödel y.
Considérons la formule portant le nombre de Gödel sub (y,13,y).
Remarque : Comme la variable y porte le nombre de Gödel 13, la formule obtenue après substitution est égale à la formule avant substitution. Et ainsi y = sub (y,13,y).

Soit la formule « (x) ~ Dem (x, sub (y,13,y)) » et n son nombre de Gödel.

Soit la formule G : « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) ».
Sub (n,13,n) étant le nombre de Gödel de G, G énonce " la formule G est indémontrable ".

Posons l'hypothèse 1/ La formule portant le nombre de Gödel y est indémontrable. Alors:
La formule « (x) ~ Dem (x, sub (y,13,y)) » portant le nombre de Gödel n est vraie.
Et la formule G est vraie.
Or la formule G énonçant qu'elle est indémontrable, la formule G est indémontrable.

Posons l'hypothèse 2/ La formule portant le nombre de Gödel y n'est pas indémontrable. Alors:
La formule « (x) ~ Dem (x, sub (y,13,y)) » portant le nombre de Gödel n est fausse.
Et la formule G est fausse.
Or la formule G énonçant qu'elle est indémontrable, la formule G est démontrable.

Remarque : la formule G énonçant être indémontrable, dire "il est possible de démontrer G", i.e. "G est démontrable" est une chose, dire "G est démontrée" en est une autre.
Dire "G est démontrée" permet de dire que G est vraie. Dire que G est fausse permet de dire "G est démontrable". C'est tout différent.

Conclusion :
Le statut de la formule G étant tributaire de l'existence ou pas d'une formule indémontrable dans le système formel S(A), la formule G est indécidable .
Le paradoxe réside en ce que la formule G n'est ni vraie ni fausse.

[Invité]

Toute cette discussion est fumeuse car la distinction entre vérité et démontrabilité dans un système formel fait défaut.

G est indécidable, oui. Mais G n'est pas vraie, car si elle l'était, elle serait démontrable (puisque l'arithmétique est une théorie en logique du 1er ordre qui est complète, par le théorème de complétude de... Gödel).

Le texte de Nagel et Newman est daté : il y manque tout l'aspect sémantique (développé en théorie des modèles) des systèmes formels.

[Bergame]

Heeeyyy ! Salut, AntiSubjectiviste !

[Invité]

Heeeyyy ! Salut, AntiSubjectiviste !

Eheeeey !

[neopilina]

Je t'essplik, c'était pour que tu reviennes !                                    

P.S. à titre personnel, je suis revenu de la godélite, qu'on peut encore voir régulièrement, c'est toujours ça de pris !

[Crosswind]

Heeeyyy ! Salut, AntiSubjectiviste !

Eheeeey !

ENFIN !

On a failli attendre...

[Bergame]

Ah c'est lui que tu attendais ? Mais ça fait deux ans que tu n'interviens plus.

Sympa pour les autres !...

[Omer Desseres]

.

Malgré nos disputes, je suis heureux de voir Antisubjectiviste revenu sur Digression.

.

[neopilina]

.

Malgré nos disputes, je suis heureux de voir Antisubjectiviste revenu sur Digression.

.

T'as réussi à te " disputer " avec A.S. !? Rhoooooooooo, t'es vraiment trop fort,

[Omer Desseres]

.

Oh ! Ça a été des disputes plutôt civilisées, contrairement à celles de mes productions habituelles de barbare scandinave.

Ça été des disputes extrêmement plaisantes à l'endentement du premier venu cherchant à s'instruire au lieu d'anéantir.

.

.

[Invité]

Je n'en ai guère souvenir en tout cas Cela dit, je passais en coup de vent par nostalgie de la période des forums de philo, pas sûr que je vais beaucoup participer...

[Crosswind]

Ah c'est lui que tu attendais ? Mais ça fait deux ans que tu n'interviens plus.

Sympa pour les autres !...

Moins d'une année, en tout bien tout honneur (août 2022). Fervent défenseur - et même promoteur dans la vie physique - du site, je peux aussi défendre la cause de mon "inactivité" (et puis je lis, au rythme hebdomadaire, l'essentiel de la rédaction issue des membres de ce lieu, encore et toujours).

Mais tu as raison, il y a eu une raison à mon mutisme. On y reviendra sûrement puisque AS me donne quelques envies de débats, pour peu qu'il suive comme il le fit sur un forum étrangement disparu, mais que j'appréciais pas mal.

A très +

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