Re: Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[benfifi]

Et ?

Dois-je en déduire que vous êtes clairement d'accord, ou y voyez-vous des éléments douteux ?

[Vanleers]

Erreur

[Vanleers]

A benfifi

Je vous remercie d’avoir mis en évidence une erreur d’interprétation de ma part à propos de la formule « Dem (x, z) »
Nane l’introduit  par :
« La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
J’ai restreint, à tort, la portée de cette formule au cas où la formule qui porte le nombre de Gödel z est une démonstration, c’est-à-dire, par définition, une suite de formules où toute formule de la suite est, soit un axiome, soit déductible à partir des axiomes et des formules précédentes.
Dés lors, il me paraissait bizarre de dire qu’une suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la démonstration qui porte le nombre de Gödel z et j’ai pris la liberté de modifier la définition de Nane en :
« La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x fait partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
J’y étais d’autant plus enclin que juste avant d’introduire Dem, Nane donnait l exemple d’une formule, partie d’une autre formule.
Mais c’était une erreur de ma part et je le reconnais volontiers, d’autant plus que dans le cas que vous soulevez où la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x, n’est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z, il est criant que mon interprétation ne tient pas.
Malheureusement, je ne peux pas éditer, donc rectifier, mes premiers posts.
Je suis désolé de vous avoir peut-être engagé sur une fausse piste.

[Zhongguoren]

A benfifi

Je vous remercie d’avoir mis en évidence une erreur d’interprétation de ma part à propos de la formule « Dem (x, z) »
Nane l’introduit  par :
« La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
J’ai restreint, à tort, la portée de cette formule au cas où la formule qui porte le nombre de Gödel z est une démonstration, c’est-à-dire, par définition, une suite de formules où toute formule de la suite est, soit un axiome, soit déductible à partir des axiomes et des formules précédentes.
Dés lors, il me paraissait bizarre de dire qu’une suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la démonstration qui porte le nombre de Gödel z et j’ai pris la liberté de modifier la définition de Nane en :
« La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x fait partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
J’y étais d’autant plus enclin que juste avant d’introduire Dem, Nane donnait l exemple d’une formule, partie d’une autre formule.
Mais c’était une erreur de ma part et je le reconnais volontiers, d’autant plus que dans le cas que vous soulevez où la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x, n’est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z, il est criant que mon interprétation ne tient pas.
Malheureusement, je ne peux pas éditer, donc rectifier, mes premiers posts.
Je suis désolé de vous avoir peut-être engagé sur une fausse piste.

J'espère que cette "présentation simplifiée (sic !) des théorèmes de Gödel" n'est pas lue par des mathématiciens ! Quelle piètre opinion de la philosophie ils en retireraient !

PS : j'ai pas mal voyagé dans ma vie et je dois dire qu'il n'y a qu'en France que j'ai rencontré une telle corrélation positive entre l'ignorance tous azimuts et l'arrogance philosophique !

[benfifi]

Merci Vanleers pour votre post qui montre votre sens de la justesse et donc de la justice. J'y suis sensible.

J'édite ci-dessous un extrait de votre présentation en ayant modifié à quatre reprises l’assertion métamathématique en cause.
Est-ce correct ?

Définition de « Dem »

Considérons l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Nous pouvons savoir si cette assertion est vraie ou fausse en analysant les nombres x et z par le moyen de leurs décompositions en facteurs premiers.
Cette analyse est très simple dans son principe et Nane l’illustre dans le livre.
L’assertion métamathématique :  « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z » est représentée dans le système S(A) par la formule : « Dem(x,z) ».

La formule G de Gödel

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
...

[Vanleers]

A benfifi

Merci, c'est parfait.

[benfifi]

Bon. L'horizon s'éclaircit.

Je m'interroge sur la réalisation de l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».

Personnellement voici une interprétation.
Par convention une suite de formules constituant une démonstration commence par la formule titre, car il faut bien une référence. De même pour un axiome ou une propriété. Et pour en indiquer la nature on peut utiliser un code initial (1 pour démonstration, 2 pour axiome, 3 pour propriété).
Soit une démonstration de la formule A composée des formules B, C et D. Son nombre de Gödel est calculé à partir de la composition 1ABCD. Ainsi en le décomposant on sait qu'il désigne une démonstration de la formule A, composée des formules B, C et D.

Je reviens encore à cette dernière phrase aboutissant à l'indémontrabilité. Alors que factuellement, dire : ... cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrée »... serait plus juste, non?
L'indémontrabilité, n'est ce pas préjuger de l'avenir ?

[Zhongguoren]

Bon. L'horizon s'éclaircit.

Ah ... votre question

Si « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z » , alors que contient donc la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ?

a enfin une réponse !?

Je reviens encore à cette dernière phrase aboutissant à l'indémontrabilité. Alors que factuellement, dire : ... cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrée »... serait plus juste, non?
L'indémontrabilité, n'est ce pas préjuger de l'avenir ?

Gödel ne dit pas "indémontrable" dans l'absolu mais "indémontrable dans S" (c'est-à-dire dans l'arithmétique de Peano dotée des règles d'inférence empruntées à la logique épistémique monotone bivalente). Il suffit d'introduire G à titre d'axiome supplémentaire dans disons, S', pour que la démonstration soit possible (ce qui n'empêchera pas une autre formule d'être indémontrable dans S', etc. ad libitum). A fortiori, si on adopte une autre logique (une logique modale, par exemple).

[benfifi]

Je suis désolé mais je reprends mon post d'hier lundi à 20:52.

Première question. Je cite Nane : début [[
Considérons l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Nous pouvons savoir si cette assertion est vraie ou fausse en analysant les nombres x et z par le moyen de leurs décompositions en facteurs premiers.
Cette analyse est très simple dans son principe et Nane l’illustre dans le livre.
]] fin.

Je m'interroge sur la réalisation de l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».

Soit une démonstration de la formule A composée des formules B, C et D. Son nombre de Gödel est calculé à partir de la composition ABCD. Ainsi en le décomposant on sait qu'il désigne une démonstration de la formule A, composée des formules B, C et D.

Deuxième question. Je cite Nane : début [[
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
]] fin.

Je reviens encore à cette dernière phrase aboutissant à l'indémontrabilité. Alors que factuellement, dire : ... cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrée »... serait plus juste, non?
L'indémontrabilité, n'est ce pas préjuger de l'avenir ?

J'estime que si une formule ne représente pas une assertion métamathématique alors on peut dire que cette formule n'est pas démontrable.

Par exemple:
La formule : « )) » n'est pas démontrable car elle ne représente pas une assertion métamathématique.
Alors que la formule « (1=1) ⊃ (0=0)» représentant l'assertion metamathématique « si un égale un alors zéro égale zéro » n'est pas démontrée.

[Zhongguoren]

La formule : « )) » n'est pas démontrable car elle ne représente pas une assertion métamathématique.
Alors que la formule « (1=1) ⊃ (0=0)» représentant l'assertion metamathématique « si un égale un alors zéro égale zéro » n'est pas démontrée.

Non, non. « )) » n'est pas une formule valide dans S. Contrairement à « (1=1) ⊃ (0=0) ». Aucune des deux n'est démontrable dans S, mais pas pour les mêmes raisons : la première parce qu'il n'y a rien à démontrer, la seconde parce qu'elle est fausse (ce que montre facilement le codage de Gödel).

[benfifi]

Bon. L'horizon s'éclaircit.

Ah ... votre question

Si « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z » , alors que contient donc la démonstration de  formule qui porte le nombre de Gödel z ?

a enfin une réponse !?

Oui en effet l'horizon s'est éclairci.
Reste le cas de l'indémontrabilité.

[benfifi]

Non, non. « )) » n'est pas une formule valide dans S. Contrairement à « (1=1) ⊃ (0=0) ». Aucune des deux n'est démontrable dans S, mais pas pour les mêmes raisons : la première parce qu'il n'y a rien à démontrer, la seconde parce qu'elle est fausse (ce que montre facilement le codage de Gödel).

Vous dîtes : "« )) » n'est pas une formule valide dans S."
Je ne parle pas de validité.

Vous dîtes : "Aucune des deux n'est démontrable dans S,"
Donc vous reconnaissez bien comme moi que la formule « )) » n'est pas démontrable.

Vous dîtes : "mais pas pour les mêmes raisons : la première parce qu'il n'y a rien à démontrer,"
C'est ce que je signifie en disant qu'elle ne représente pas une assertion métamathématique.

Vous dîtes : "la seconde parce qu'elle est fausse (ce que montre facilement le codage de Gödel)."
Non, elle n'est pas fausse. Seulement il n'en existe aucune démonstration. C'est pourquoi je me contente de dire qu'elle n'est pas démontrée. Je ne vais pas jusqu'à dire qu'elle n'est pas démontrable. Je ne franchis pas le pas.

[Zhongguoren]

Non, non. « )) » n'est pas une formule valide dans S. Contrairement à « (1=1) ⊃ (0=0) ». Aucune des deux n'est démontrable dans S, mais pas pour les mêmes raisons : la première parce qu'il n'y a rien à démontrer, la seconde parce qu'elle est fausse (ce que montre facilement le codage de Gödel).

Vous dîtes : "« )) » n'est pas une formule valide dans S."
Je ne parle pas de validité.

Moi si. L'important n'est pas ce que vous dites mais ce que vous devez dire. On ne fait pas de la poésie mais de la logique.

Vous dîtes : "la seconde parce qu'elle est fausse (ce que montre facilement le codage de Gödel)."
Non, elle n'est pas fausse. Seulement il n'en existe aucune démonstration. C'est pourquoi je me contente de dire qu'elle n'est pas démontrée. Je ne vais pas jusqu'à dire qu'elle n'est pas démontrable. Je ne franchis pas le pas

Dans un système formel, décidable et consistant comme S, toutes les formules du premier niveau (celles qui n'appartiennent pas à un métalangage) qui sont vraies sont réputées démontrables. Par modus tollens, celles qui ne sont pas démontrables sont fausses. 《(1=1) ⊃ (0=0)》étant indémontrable, elle est fausse ipso facto. Q.E.D.

[benfifi]

    Moi si.

Soit.

L'important n'est pas ce que vous dites mais ce que vous devez dire. On ne fait pas de la poésie mais de la logique.

C'est exactement ça.

Dans un système formel, décidable et consistant comme S, toutes les formules du premier niveau (celles qui n'appartiennent pas à un métalangage) qui sont vraies sont réputées démontrables. Par modus tollens, celles qui ne sont pas démontrables sont fausses. 《(1=1) ⊃ (0=0)》étant indémontrable, elle est fausse ipso facto. Q.E.D.

La procédure de Gödel permet de mettre en évidence qu'aucune suite formules n'est une démonstration de la formule portant le nombre de Gödel z.
Vous en déduisez que la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrable. Alors que j'en déduis que la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée.

Quelle condition une formule doit-elle donc remplir pour être indémontrable ?

J'estime que si une formule ne représente pas une assertion métamathématique alors on peut dire que cette formule n'est pas démontrable.

[Zhongguoren]

La procédure de Gödel permet de mettre en évidence qu'aucune suite de formules n'est une démonstration de la formule portant le nombre de Gödel z.

Oui, à condition que z soit le nombre de Gödel de G.

Vous en déduisez que la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrable. Alors que j'en déduis que la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée.

Quelle condition une formule doit-elle donc remplir pour être indémontrable ?

Mauvaise question. Vous inversez la charge de la preuve. La bonne question est : quelles conditions une formule doit-elle remplir pour être démontrable ? Réponse : ne pas contrevenir aux axiomes et aux règles de syntaxe et d'inférence du système. Après, tout ce qui n'est pas démontrable est réputé indémontrable (dans ce système).

[benfifi]

Je cite Nane : début [[
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
]] fin.

Vous n'y trouvez rien à redire.

Moi si. Je retire la dernière phrase et je dis :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique :  « Aucune suite de formules n'est une démonstration de la formule portant le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l'assertion metamathématique : " la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée".

[Zhongguoren]

Je cite Nane : début [[
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
]] fin.

Vous n'y trouvez rien à redire.

Moi si. Je retire la dernière phrase et je dis :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique :  « Aucune suite de formules n'est une démonstration de la formule portant le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l'assertion metamathématique : " la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée".

1) Quel est le rapport avec ce qui précède ?
2) La formulation "la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée" est fautive. Il faut rajouter "... quel que soit x". Or, dire que, quel que soit x, p n'est pas démontrée, cela revient à dire "p n'est pas démontrable" ! Vous défoncez des portes ouvertes !

[benfifi]

La formulation "la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée" est fautive. Il faut rajouter "... quel que soit x".

Non. Dans la dernière phrase de l'extrait de Nane il n'y a pas "quelque soit x".

[Zhongguoren]

La formulation "la formule portant le nombre de Gödel z n'est pas démontrée" est fautive. Il faut rajouter "... quel que soit x".

Non. Dans la dernière phrase de l'extrait de Nane il n'y a pas "quelque soit x".

Désolé mais je lis, en haut de la page 84 : "pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x n'est pas une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z". Et, milieu de la page 84, page 85, page 86, page 88 : "(x) - Dem (x, sub (n, 13, n))", soit, en français vernaculaire, "quel que soit x, x n'est pas une démonstration de n lorsqu'on substitue n à y". Bref, la précision qui vous échappe y est mentionnée pas moins de cinq fois ! Faut tout lire, mon vieux, pas seulement ce qui vous arrange !

[benfifi]

Dans la dernière phrase de l'extrait de Nane il n'y a pas "quelque soit x".

[Zhongguoren]

Dans la dernière phrase de l'extrait de Nane il n'y a pas "quelque soit x".

Au bout de combien de répétitions d'une fausseté celle-ci se transforme-t-elle en vérité ?

Maintenant, si votre problème n'est pas de comprendre mais d'avoir raison alors OK, vous avez raison, n'en parlons plus !

[benfifi]

Dans la dernière phrase de l'extrait de Nane il n'y a pas "quelque soit x".

Au bout de combien de répétitions d'une fausseté celle-ci se transforme-t-elle en vérité ?

Trouvez-vous donc que la troisième phase de l'extrait de Nane est incorrecte ?

[Zhongguoren]

Dans la dernière phrase de l'extrait de Nane il n'y a pas "quelque soit x".

Au bout de combien de répétitions d'une fausseté celle-ci se transforme-t-elle en vérité ?

Trouvez-vous donc que la troisième phase de l'extrait de Nane est incorrecte ?

Non.

[benfifi]

Vous cautionnez donc la troisième phrase de l'extrait de Nane :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».

Pas moi. Je préfère dire :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l'assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n'est pas démontrée ».

[Zhongguoren]

Je préfère dire :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l'assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n'est pas démontrée ».

Vous avez le droit de dire tout ce que vous voulez !

[benfifi]

Je suis encor loin de la Grèce et n'ai pas mis
le pied sur notre sol ; j'erre, victime du malheur,
depuis le jour que j'ai suivi Agamemnon
vers Troie aux beaux poulains pour combattre ce peuple.

Homère l'Odyssée chant 11 vers 166.
Version de Philippe Jaccottet. le Club français du livre 1955, la Découverte 1982 2000 2004.

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