Re: Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[Zhongguoren]

La seconde formulation donne une raison intrinsèque, la formule  est en elle même un exemple de l'indémontrable (en soi)

G (comme toute affirmation autoréférentielle) n'est pas intrinsèquement indémontrable. Elle l'est parce que le système formel S(A) dans lequel elle apparaît est incomplet. Mais, dans un système plus large incluant S(A), elle redevient démontrable. C'est ce que démontre Gödel.

[hks]

je remplace  la "formule g" par "il fait beau temps "

« il fait beau temps  n’est pas démontrable ».(essayez donc)
mais montrable
c'est à dire que "il fait beau temps  est un exemple du montrable"
versus quoi ?
et bien versus "le démontrable".
..........................................................

(comme toute affirmation autoréférentielle) n'est pas intrinsèquement indémontrable.

donnez moi un ou des exemples de autoréférentiel qui soit démontrables.
Pour moi toute démonstration utilise un apport/soutien extérieur.
..................................
admettons que 1)« La formule G n’est pas démontrable ».
une solution est elle montre intrinsèquement qu'elle n'est pas demontrable

Mon problème
est que je ne vois pas l'évidence de cette affirmation autoréférentielle.

ou bien Vanleers explique insuffisamment

ou bien je ne suis pas assez intelligent (probable)
ou assez courageux, ou les deux

ou insuffisamment intéressé par cette théorie  là(celle de Gödel)
à propos de laquelle  j'ai lu (ici et là) que cherchant à comprendre les meilleurs mathématiciens s'étaient pris la tête à deux mains.

Enfin quoi ! Hilbert (quand même) ne tomba pas illico en pamoison.

[Zhongguoren]

je remplace  la "formule g" par "il fait beau temps ".

Impossible. S(A) est un système formel (relisez le début du fil). Le langage naturel n'est pas un système formel. De plus, votre phrase n'est pas autoréférentielle.

cette théorie  là(celle de Gödel)
à propos de laquelle  j'ai lu (ici et là) que cherchant à comprendre les meilleurs mathématiciens s'étaient pris la tête à deux mains

C'est exact. Contrairement à ce que prétend Vanleers, de solides bases en mathématiques, en logique et en épistémologie sont requises.

[Vanleers]

Il me semble qu'il convient de dire soit:
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».
Soit:
Donc « la formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

La première formulation a ma préférence.

il me semble qu'il y a une différence

« La formule G n’est pas démontrable » parce qu'on a épuisé toutes les tentatives de démonstration ou que pour une raison extérieure il soit montré qu'elle  n' est pas démontrable...ou pour d autres raison extrinsèques

La seconde formulation donne une raison intrinsèque, la formule  est en elle même un exemple de l'indémontrable (en soi).

Notons d’abord que, dans le livre que je présente, « arithmétique » signifie « relevant du système formalisé S(A) » et que « calcul » ou « calcul arithmétique » signifie « système S(A) ».

Mais nous devons aussi nous rappeler que la formule G est l’image réfléchie à l’intérieur du calcul arithmétique de l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n) n’est pas démontrable ». Il s’ensuit que la formule arithmétique « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) » représente dans le calcul l’assertion métamathématique : « La formule « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) » n’est pas démontrable ». En un sens, par conséquent, la formule arithmétique G peut être construite de telle sorte qu’elle affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable. (op. cit. pp. 85-86)

Mais on n’a pas encore démontré que G est formellement indémontrable et Nane poursuit :

Nous arrivons à la deuxième étape, où il s’agit de démontrer que G n’est pas formellement démontrable. La démonstration de Gödel n’est pas sans affinité avec le Paradoxe de Richard, mais elle s’écarte avec netteté de ce que ce dernier contient de fallacieux. Le raisonnement est relativement simple. Il consiste à montrer que si la formule G était démontrable, alors sa négation formelle (savoir, la formule «  ~ (x) ~ Dem (x,sub (n,13,n)) ») le serait également ; et, inversement, que si la négation formelle de G était démontrable, alors G lui-même le serait aussi. Nous obtenons ainsi : G est démontrable si et seulement si ~ G est démontrable. Mais comme nous l’avons remarqué plus haut, si on peut déduire à partir d’un ensemble d’axiomes à la fois une formule et sa négation formelle, ces axiomes ne sont pas consistants. D’où il suit que si les axiomes du système formalisé de l’arithmétique sont consistants, on ne peut démontrer ni la formule G ni sa négation. En bref, si les axiomes sont consistants, G est formellement indécidable – au sens technique précis où ni G ni sa négation ne peuvent être déduits formellement à partir des axiomes. (pp. 86-87)

[Zhongguoren]

Notons d’abord que, dans le livre que je présente, « arithmétique » signifie « relevant du système formalisé S(A) »

C'est plus précis que cela : "arithmétique" fait référence à la théorie élémentaire des nombres de Peano.

[Vanleers]

ou bien Vanleers explique insuffisamment

J'ai ouvert le fil en écrivant:

"J’ouvre le fil pour présenter la démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel qui figure dans Le théorème de Gödel de Jean-Yves Girard, Kurt Gödel, Jean-Baptiste Scherrer, Ernest Nagel, James R. Newman. (Seuil 1989)

Je me limiterai à signaler les principales étapes de la démonstration en laissant au lecteur le soin de consulter le livre pour la présentation complète."

[hks]

Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable »

comment une assertion "métamathématique" représente -t -elle  à l'intérieur d'un système qui lui n'est pas métamathématique ?

Pour moi vous avez un système hybride qui n'est ni métamathématique  ni mathématique.
Comme Russell et Whitehead une application de la logique pure dans un domaine connexe et cousin...mais l'application est une hybridation.(un ovni)
..................................................

J'ai le même problème avec ZGren.
Il juge depuis un système métalinguistique de ce qui se dit dans le langage ordinaire.
Juger, comme il le fait, que le langage ordinaire (ou naturel) n'est pas un système formel, c'est une affirmation métalinguistique . Laquelle va porter des jugements sur l'appréciation naturelle .
Les philosophies du "langage naturel" sont tissées de métalangage.
Ainsi pour comprendre notre expression naturelle il faudrait avoir fait des études.

Je fais  une exception John Langshaw Austin

Mais
Voyons par exemple "le mythe de l'intériorité" ...736  Pages
Pénible lecture...un  presque passage obligé
 lequel effort de lecture n'a en rien entamé ma conviction que j'avais bien une intériorité .
A quoi bon?
.............................................................................................................
"il fait beau aujourd'hui"
c'est moi qui le dit, c'est donc autoréférentiel.
cet autoréférentiel est clos sur lui même et donc indémontrable.
C'est une impression (subjective) qui se dénote elle même.
Cette impression (un ressenti) est vérifiable par elle même (parce qu'elle est expérience)
mais elle n'est pas plus démontrable que le "cogito".

[Zhongguoren]

"il fait beau aujourd'hui"
c'est moi qui le dit, c'est donc autoréférentiel.
L' autoréférentiel est clos sur lui même et donc indémontrable.

Non. Ce serait autoréférentiel si c'était le temps lui-même (ou vous-même) qui disait (ou disiez) de lui-même (ou de vous-même) qu'il est (ou que vous êtes) beau aujourd'hui. De même "G est indémontrable" n'est pas autoréférentielle, mais "la présente phrase est indémontrable" oui. Mais toute phrase autoréférentielle n'est pas indémontrable : je peux tout à fait démontrer à qui ne lit pas le chinois la véracité de la phrase 这句话是用中文写的, qui est une phrase chinoise affirmant d'elle-même qu'elle est écrite en chinois (il faut et il suffit que je lui apprenne le chinois).

[Vanleers]

Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable »

comment une assertion "métamathématique" représente -t -elle  à l'intérieur d'un système qui lui n'est pas métamathématique ?

C'est exactement le contraire : c'est la formule qui représente l'assertion métamathématique dans le système S(A) et non l'assertion qui représente la formule.

Cette erreur étant corrigée, je répondrai plus tard sur le fond.

[benfifi]

Je reviens à mon post : benfifi Ven 2 Sep 2022 - 15:41.
Vanleers Ven 2 Sep 2022 - 20:27, vous m'avez répondu. Mais votre réponse ne me satisfait pas.
Je m'attache au verbe avec rigueur.

Voici la première phrase en italique :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
Ce n'est pas :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z affirme d'elle-même qu'elle n’est pas démontrable ».

Voici la deuxième phase en italique :
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable ».
Ce n'est pas :
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) affirme d'elle-même qu'elle n’est pas démontrable ».

Pourquoi donc la troisième phrase en italique est-elle :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
Compte tenu de ce qui précède je ne vois pas la raison qui vous pousse à ne pas dire :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».

Encore une fois je m'attache au verbe avec rigueur. Justesse. Le b-a ba de la justice.

[hks]

C'est exactement le contraire : c'est la formule qui représente l'assertion métamathématique dans le système S(A) et non l'assertion qui représente la formule.

et donc ma remarque était justifiée.
En fait il s'agit d'une insertion. Non?
Godel peut insérer un de ses nombre (fut- il avec la variable n)

ce nombre de godel n'a pas en lui de démonstration du genre de celles du système S(A)

à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».

et c'est fini.
Un corps étranger peut  s' insérer dans le système S(A) sauf que là ou le système S'A) demande une démonstration
ce corps étranger n'en a pas besoin du tout.
Il montre de lui même qu'il n'est pas démontrable.

[Vanleers]

A hks

Je réponds à la question de savoir comment, chez Gödel, une assertion métamathématique est représentée par une formule du système S(A).

Les assertion métamathématiques portent sur les expressions (signes, formules, relations entre formules) du système S(A) qui formalise l’arithmétique.

Gödel associe à chaque expression du système S(A) un nombre, dit nombre de Gödel.
Sa méthode de numérotation est simple et très performante car, connaissant le nombre de Gödel, on peut déterminer sans ambiguïté l’expression auquel il correspond.
Cette détermination est obtenue par décomposition du nombre de Gödel en facteurs premiers, sachant que :

Le théorème fondamental de l'arithmétique permet d'affirmer que tout entier strictement positif possède une unique décomposition en facteurs premiers. C'est-à-dire qu'il peut s'écrire de manière unique comme le produit fini de nombres premiers à une puissance adéquate.

Par le moyen de la la numérotation, une assertion métamathématique peut se transformer en une assertion portant sur une relation arithmétique entre nombres de Gödel.
Le système S(A) étant conçu pour formaliser l’arithmétique, cette relation arithmétique est représentée dans le système par une formule.
On voit donc qu’une assertion métamathématique est représentée dans S(A) par une formule qui traduit, dans le langage du système, une relation arithmétique entre nombres de Gödel.

Nane donne d’abord l’exemple très simple de l’axiome : « (p V p) ⊃ p »
Il pose l’assertion métamathématique selon laquelle la formule « p V p » est une partie de l’axiome et ajoute :

Il est évident que la formule « p V p » ne peut être une partie de la formule « (p V p) ⊃ p » que si, et seulement si, le nombre de Gödel b, qui représente la première, est un facteur du nombre de Gödel a qui représente la dernière. Si donc on admet que l’expression « facteur de » est convenablement définie dans le système S(A), la formule dans S(A) qui correspond à l’assertion métamathématique ci-dessus est la suivante : « b est un facteur de a »

On voit donc bien le processus qui conduit à la représentation de l’assertion métamathématique :
1) L’assertion métamathématique : « La formule « p V p » est une partie de la formule « (p V p) ⊃ p » » se transforme en l’assertion arithmétique : « Le nombre de Gödel b de la formule « p V p » est un facteur du nombre de Gödel a de la formule « (p V p) ⊃ p » »
2) Cette assertion arithmétique est représentée dans S(A) qui formalise l’arithmétique par la formule « b est un facteur de a ».

Nane introduit ensuite l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x est une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z »
Cela signifie qu’il y a une relation arithmétique bien définie, quoique loin d’être simple, entre le nombre de Gödel z de la démonstration et le nombre de Gödel x de la suite de formules.
Cette relation arithmétique complexe est représentée dans le système S(A) par la formule « Dem (x,z) ».
On voit, ici aussi, comment une assertion métamathématique est représentée par une formule dans le système S(A) : via une relation arithmétique entre nombres de Gödel.

En résumé, c’est parce que, grâce à sa numérotation, Gödel procède à une arithmétisation des métamathématiques que les assertions métamathématiques sur le système qui formalise l’arithmétique sont représentées dans le système.

[Vanleers]

Dans leur conclusion :

Mais il ne faut point interpréter le théorème de Gödel comme une invitation au désespoir, ni y trouver excuse pour s’entourer de mystères. La découverte de l’existence de vérités arithmétiques formellement indémontrables n’implique pas qu’il y ait des vérités qui nous resteront à jamais inconnues, ni qu’il faille remplacer la démonstration rigoureuse par une intuition « mystique » (radicalement différente, par sa nature et son pouvoir contraignant, de ce qui permit généralement les progrès de l’esprit). Elle n’implique pas, contrairement à ce qu’on a pu écrire récemment, que « la raison humaine comporte des limites insurmontables ». Elle signifie bien plutôt que l’on ne peut pas axiomatiser entièrement les ressources de l’intelligence humaine et que de nouveaux principes de démonstration attendent encore d’être inventés et découverts. Nous avons vu que les propositions mathématiques qui ne peuvent être établies par une déduction formelle à partir d’un ensemble donné d’axiomes peuvent l’être néanmoins par un raisonnement métamathématique non formalisé. Il serait bien léger d’affirmer que ces vérités indémontrables formellement, mais établies par des raisonnements métamathématiques, ne reposent sur rien d’autre qu’un simple appel à l’intuition. (op. cit. p. 94)

Je suis largement d’accord avec ce texte mais je m’interroge sur la notion d’intuition « mystique » qu’emploient les auteurs.

Toute intuition n’est pas nécessairement mystique et Spinoza, par exemple, entend par « science intuitive » un genre de connaissance dont le désir ne peut naître que de la raison (E V 28), donc qui n’a rien de « mystique ».

Par ailleurs, le mot « mystique » renvoie à un mode de connaissance concrète, que je dirais « holistique », une connaissance du cœur au sens où, dans la Bible, le cœur désigne le centre de l’homme associant ses dimensions intellectuelle, affective et corporelle (connaître quelque chose, au sens biblique, c’est la connaître totalement, corps et âme, corporellement, intellectuellement et affectivement).
Les théorèmes de Gödel, eux, relèvent d’une admirable et abstraite connaissance purement intellectuelle des mathématiques.

[Zhongguoren]

Dans leur conclusion :

Mais il ne faut point interpréter le théorème de Gödel comme une invitation au désespoir, ni y trouver excuse pour s’entourer de mystères. La découverte de l’existence de vérités arithmétiques formellement indémontrables n’implique pas qu’il y ait des vérités qui nous resteront à jamais inconnues, ni qu’il faille remplacer la démonstration rigoureuse par une intuition « mystique » (radicalement différente, par sa nature et son pouvoir contraignant, de ce qui permit généralement les progrès de l’esprit). Elle n’implique pas, contrairement à ce qu’on a pu écrire récemment, que « la raison humaine comporte des limites insurmontables ». Elle signifie bien plutôt que l’on ne peut pas axiomatiser entièrement les ressources de l’intelligence humaine et que de nouveaux principes de démonstration attendent encore d’être inventés et découverts. Nous avons vu que les propositions mathématiques qui ne peuvent être établies par une déduction formelle à partir d’un ensemble donné d’axiomes peuvent l’être néanmoins par un raisonnement métamathématique non formalisé. Il serait bien léger d’affirmer que ces vérités indémontrables formellement, mais établies par des raisonnements métamathématiques, ne reposent sur rien d’autre qu’un simple appel à l’intuition. (op. cit. p. 94)

Je suis largement d’accord avec ce texte mais je m’interroge sur la notion d’intuition « mystique » qu’emploient les auteurs.

Référence à Wittgenstein :

Il y a assurément de l'indicible. Il se montre. C'est le mystique [das Mystiche] (Tractatus, 6.522, souligné par moi).

Je développerai cet aspect (différence entre "dire" et "montrer") de la pensée de Wittgenstein dans un article ultérieur.

[benfifi]

Rappel de benfifi Lun 5 Sep 2022 - 16:33...

[Vanleers]

Je reviens à mon post : benfifi Ven 2 Sep 2022 - 15:41.
Vanleers Ven 2 Sep 2022 - 20:27, vous m'avez répondu. Mais votre réponse ne me satisfait pas.
Je m'attache au verbe avec rigueur.

Voici la première phrase en italique :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
Ce n'est pas :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z affirme d'elle-même qu'elle n’est pas démontrable ».

Voici la deuxième phase en italique :
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable ».
Ce n'est pas :
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) affirme d'elle-même qu'elle n’est pas démontrable ».

Pourquoi donc la troisième phrase en italique est-elle :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
Compte tenu de ce qui précède je ne vois pas la raison qui vous pousse à ne pas dire :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».

Encore une fois je m'attache au verbe avec rigueur. Justesse. Le b-a ba de la justice.

Dans les deux premiers cas, z ou sub (y,13,y) n'est pas nécessairement  le nombre de Gödel de la formule alors que c'est nécessairement le cas avec G dont le nombre de Gödel est sub (n,13,n), ce qui justifie l'expression métamathématique :
« La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Je l'avais déjà expliqué et c'est pour cette raison que je ne vous répondais pas avant que vous me relanciez.

[benfifi]

Voici la première phrase en italique concernant la formule que je nommerais E :
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable ».
Ce n'est pas :
Autrement dit, cette nouvelle formule E représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule E n’est pas démontrable ».
Car la formule E ne porte pas nécessairement le nombre de Gödel z.

Voici la deuxième phase en italique concernant la formule que je nommerais F :
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable ».
Ce n'est pas :
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule F représente l’assertion métamathématique : « La formule F n’est pas démontrable ».
Car la formule F ne porte pas nécessairement le nombre de Gödel sub (y,13,y).

Voici le paragraphe de la troisième phrase en italique :

On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Je pense que la dernière phrase (correspondant à la troisième phrase en italique) devrait être :

La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), autrement dit la formule G n’est pas démontrable ».

Rigueur. Justesse. Ni plus ("affirme d'elle-même") ni moins.

[Zhongguoren]

La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), autrement dit la formule G n’est pas démontrable ».

Bref, G affirme d'elle-même que ... etc.

Où mène ce genre de querelles byzantines ? Depuis le début, les rares interventions critiques s'attachent à des détails et négligent les vrais problèmes, les vrais enjeux de cette révolution conceptuelle que fut la publication des théorèmes de Gödel. A cet égard, je considère que ce fil de discussion est, d'emblée, mal engagé. Son auteur annonce, sans autre forme de préambule, à des non-spécialistes qu'il va résumer ce qui constitue déjà un résumé, voire une interprétation, de l'un des raisonnements métamathématiques les plus complexes et les plus atypiques qu'ait connus l'histoire des mathématiques. L'incompréhension de la part, encore une fois, de non-spécialistes, était fatale.

[benfifi]

Bref, G affirme d'elle-même que ... etc.

Ceci est un commentaire. Pas de souci. Chacun le sien.

Autre chose est l'assertion metamathématique d'une part, et la formule qui la représente d'autre part.

[Zhongguoren]

Bref, G affirme d'elle-même que ... etc.

Ça c'est ton interprétation. Pas de souci. Chacun la sienne.

Non, non. Ce n'est pas  une interprétation, c'est la dissolution d'un faux problème.

Expliquez-moi la différence de contenu entre :
- P = "Epiménide affirme de lui-même qu'il est un menteur"
et
- P' = "Epiménide affirme qu'Epiménide est un menteur".

Autre chose est l'assertion metamathématique d'une part, et la formule qui la représente d'autre part.

Et après ? En quoi cela nous fait-il mieux comprendre les théorèmes de Gödel  ? Que leur manquerait-il sans cette "précision" ?

[benfifi]

Ici je ne fais que réagir à un post. Je relève une bizarrerie. J'en fais part. Ça ne va pas plus loin.
Je précise que le point en question n'est, bien sûr, pas lié au travail de qui que ce soit, Gödel ou autre.

[Zhongguoren]

Ici je ne fais que réagir à un post. Je relève une bizarrerie. J'en fais part. Ça ne va pas plus loin.

Je ne saisis toujours pas en quoi cette "bizarrerie" consiste. Je vous serais très reconnaissant de m'expliquer la différence que vous faites entre P et P' ci-dessus (du point de vue du contenu).

[benfifi]

Art. 1er. Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.
À comparer avec :
Art. 1er. L'article 1er affirme que les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.
Et avec :
Art. 1er. L'article 1er affirme de lui-même que les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.

Pour ma part la première version suffit amplement.

De même :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».
... me suffit. Inutile d'en rajouter.

[Zhongguoren]

Art. 1er. Les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.
À comparer avec :
Art. 1er. L'article 1er affirme que les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.
Et avec :
Art. 1er. L'article 1er affirme de lui-même que les hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits.

Pour ma part la première version suffit amplement.

De même :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».
... me suffit. Inutile d'en rajouter.

O.K. A présent je comprends mieux l'origine de votre mécompréhension.

En fait (vos exemples le prouvent) vous ne comprenez pas en quoi consiste une phrase auto-référentielle. C'est une phrase qui s'auto-attribue une propriété. Par exemple : "la présente phrase est écrite en français" ou bien "la présente phrase contient 32 signes". Or, aucun de vos exemples n'est auto-référentiel. De plus, ils ne sont pas équivalents. Pour que les deux premiers le soient, il aurait fallu écrire :
P1 = "art. 1er. Les hommes etc..."
P2 = "l'art. 1er affirme que les hommes etc."
Quant au troisième, il est tout simplement faux parce que, justement, l'art. 1er en question n'affirme rien au sujet de lui-même mais attribue une propriété aux êtres humains.

Là où vous auriez raison, en revanche, c'est si vous disiez : à quoi sert P2 puisque P1 est suffisamment claire sans avoir besoin de rien ajouter ? En d'autres termes, à quoi bon insister sur cette auto-référentialité ? La réponse est que, avec P2, on n'est plus dans un langage mais dans un méta-langage. Et là, on retombe sur les théorèmes de Gödel qui, précisément, ne sont pas écrits dans le langage mathématique mais dans un langage méta-mathématique. Raison pour laquelle on dit : "la formule G affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable".

J'espère avoir été clair.

[benfifi]

Quant au troisième, il est tout simplement faux parce que, justement, l'art. 1er en question n'affirme rien au sujet de lui-même mais attribue une propriété aux êtres humains.

Ah!... C'est donc ça !

Concernant la phase :
La formule G affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

Je comprends finalement que : affirmer de soi-même, c'est affirmer au sujet de soi-même.
Et non pas : affirmer par soi-même. Comme : faire de soi-même, c'est faire par soi-même.

Ainsi j'estime équivalentes les trois phrases :
La formule G affirme (au sujet) d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.
La formule G représente l'assertion metamathématique : "la formule G n'est pas démontrable".
La formule G représente l'assertion metamathématique de l'indémontrabilité d'elle-même.

[Zhongguoren]

Quant au troisième, il est tout simplement faux parce que, justement, l'art. 1er en question n'affirme rien au sujet de lui-même mais attribue une propriété aux êtres humains.

Ah!... C'est donc ça !

Concernant la phase :
La formule G affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

Je comprends finalement que : affirmer de soi-même, c'est affirmer au sujet de soi-même.
Et non pas : affirmer par soi-même. Comme : faire de soi-même, c'est faire par soi-même.

Ainsi j'estime équivalentes les trois phrases :
La formule G affirme (au sujet) d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.
La formule G représente l'assertion metamathématique : "la formule G n'est pas démontrable".
La formule G représente l'assertion metamathématique de l'indémontrabilité d'elle-même.

Comme quoi la compréhension ou l'incompréhension tiennent souvent à pas grand-chose.

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