Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[Leonhard]

Voici un paradoxe de Zénon qui, étonnamment, est souvent moins mentionné. Pourtant, d'un point de vue philosophique, il est de loin le plus complexe des 4 paradoxes de Zénon.

Il s'agit d'un paradoxe formulé dans un contexte où il est admis que l'espace est continu et infiniment divisible.

La Dichotomie :

1. Pour parcourir une distance L, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2.
   
2. Donc, aucun objet ne peut se mettre en mouvement.
   
3. Donc, le mouvement n'existe pas.
   

Ce raisonnement est-il valide ? Est-il vrai que si l'espace était continu, alors tout mouvement serait impossible ? Faut-il en conclure que l'espace doit nécessairement être discontinu ?

(Si vous concluez que l'espace doit être discontinu, alors vous devrez subir les paradoxes de la Flèche et du Stade, deux autres paradoxes de Zénon conçus pour réfuter cette conclusion.)

[neopilina]

J'ai déjà donné les prémisses implicites de chacun des quatre arguments cinématiques de Zénon, qui forment un tout ordonné (on ne peut pas changé l'ordre).
Leonhard ci-dessus est incomplet, il dit à propos de ces prémisses implicites pour le 1° argument, la Dichotomie : " espace continu et infiniment divisible ". Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ". Pour le 2°, l'Achille, c'est " espace infiniment divisible, temps infiniment divisible ", pour le 3°, la Flèche, c'est " espace non-infiniment divisible, temps infiniment divisible ", pour le 4°, le Stade, " espace non infiniment divisible, temps non infiniment divisible " : on voit qu'il a pris la peine d'être exhaustif et que l'agencement est rigoureux.

Qu'elles étaient les intentions de Zénon (qui comme toutes les élites de l'époque a fréquenté l'Ecole pythagoricienne) avec cet ensemble : montrer que certaines théories, calculs, etc. pythagoriciens, étaient erronés et ce en mettant en scène leurs conséquences absurdes. Zénon sait comme tout le monde qu'Achille rattrapera la tortue, sauf qu'on peut encore ici ou là lire le plus sérieusement du monde que les éléates niaient le mouvement,    .
Que ressort-il in fine de cette critique, qui vise d'abord la présence ici ou là d'une vision discrète du réel de la part des pythagoriciens (première grande école de mathématiciens de l'histoire, à leur décharge, je dirais qu'il faut bien des pionniers pour essuyer les plâtres) ? La thèse du continu, d'un réel, d'un univers physique, continu, s'impose.

(je suggère de déplacer ce fil dans la section " Eléates " du forum)

[Leonhard]

Ce qui ne répond toujours pas à la question "le raisonnement est-il valide" ?

Leonhard ci-dessus est incomplet, il dit à propos de ces prémisses implicites pour le 1° argument, la Dichotomie : " espace continu et infiniment divisible ". Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Pourquoi un "temps non-infiniment divisible" dans ce cas-ci ? Pourquoi séparer la (dis)continuité de l'espace de la (dis)continuité du temps ?

Pour faire court et simple, je parlerai de "continu/discontinu" au lieu de "infiniment divisible/non infiniment divisible".

Quelle différence, pour un mouvement, entre le contexte :

• d'un espace continu avec un temps discontinu,
  
• d'un espace discontinu avec un temps continu ?
  

Car dans les deux cas, le mouvement sera discontinu (et c'est normal : un mouvement est une certaine correspondance entre l'espace et le temps, et si l'un est discontinu, le mouvement le sera).

Les paradoxes dits "du mouvement" de Zénon viennent mettre à l'épreuve les conceptions continue et discontinue du mouvement dans sa globalité, et pas de l'espace et du temps pris séparément.

[neopilina]

Je souligne :

Les paradoxes dits "du mouvement" de Zénon viennent mettre à l'épreuve les conceptions continue et discontinue du mouvement dans sa globalité, et pas de l'espace et du temps pris séparément.

Non, dans ces quatre arguments il est justement question de ce qui est souligné, et je m'explique.
Je cite Leonhard, mais qu'il n'aille surtout pas croire que je lui en veux à titre personnel : l'erreur qu'il commet, beaucoup, beaucoup, d'autres, par exemple Cantor, l'ont commise. Qu'elle est-elle ? Une méconnaissance grave du contexte historique et philosophique. Jusqu'au milieu du XX° siècle on verra des gens et pas des moindres considérés de facto que cet ensemble exprime la pensée de Zénon. Ce n'est pas rigolo, c'est tragique de penser que Zénon est convaincu qu'Achille ne rattrapera pas la tortue à qui on a laissé prendre un peu d'avance. On ne rit pas : on peut le lire noir sur blanc, un auteur, après des démonstrations mathématiques ou logiques impeccables, conclure triomphalement, je résume : " Zénon avait donc tort de dire etc. "
Sauf que Zénon avec ces arguments n'exprime pas sa pensée. Il met en scène, de façon magistrale, les conséquence aporétiques, absurdes, de positions pythagoriciennes. Qui sont bien malgré eux les découvreurs de ces problématiques qui les plongeront dans un profond désarroi : ils sont convaincus de tenir avec les mathématiques, l'âme, le squelette, la nature intrinsèque, etc., des choses. Philosophiquement, c'est un idéalisme mathématique (à partir duquel on comprend très bien sa postérité platonicienne, forcé, comme tout le monde d'entériner la critique éléate, ce que fait aussi l'atomisme, etc.). L'ironie de ce qui est arrivé aux pythagoriciens est grinçante à souhait : en son temps, le pythagorisme est la meilleure école de mathématiques que l'humanité ait connue. Et donc, ils sont tellement forts qu'ils vont très rapidement rencontrer, les premiers, et travailler sur des problématiques jusque là inconnues : ils vont être les premiers à découvrir, et ça va les troubler profondément, jusqu'à la ruine, l'effondrement de l'école, que plus on creuse, plus on approfondit en mathématiques, plus on rencontre, plus on se heurte à l'infini (les irrationnels, etc.) et à l'époque c'est un choc. Et ils sont historiquement les premiers.
Avant les pythagoriciens, personne n'a jamais parlé d'irrationnels, du continu, de discret, d'infini potentiel ou en acte, que ça soit en physique ou en mathématiques, et pour cause : c'est grâce, à cause, d'eux, que ces problématiques apparaissent et philosophiquement, ça ne fait pas leur affaire, c'est tout le contraire.

" Le rôle du pythagorisme dans l'évolution des idées ", Léon Brunschwieg, 1937 :

L'attitude Pythagoricienne s'est cristallisée en une garde jalouse autour du fini et du discontinu qu'il s'agira de défendre contre toute contamination du continu ou de l'infini; position précaire sans cesse menacée [par des progrès en mathématiques auxquels participent les pythagoriciens !!]. En fait, c'est contre le postulat pythagoricien de la décomposition du réel en éléments discrets que Zénon d'Elée dirigera sa dialectique victorieuse, si généralement interprétée à contre-sens.

Dans un premier temps, Zénon, qui a fréquenté les bancs de l'école pythagoricienne, manifeste des désaccords avec celle-ci, c'est, avec Parménide, Empédocle, etc., des " dissidents " dirait-on aujourd'hui. Mais on voit que ces désaccords ont une portée que Zénon lui-même n'imaginait pas dans un premier temps. On a pratiquement rien de lui (voir dans la section " Eléates "), mais philosophiquement parlant, on peut organiser ce qu'on a de lui : d'abord cet ensemble, des quatre arguments cinématiques, ensuite les fragments I, II, et III, dont la seule solution est la version intelligible de l'étant, c'est à dire l'Etant généré par un être vivant, un Sujet, après le cogito de Descartes on dira bien volontiers " représentation ", " phénomène ", etc. Et entériner cette différence entre la chose et sa représentation, conduit in fine au divorce épistémologique entre sciences de la nature et philosophie, ce qui ne se produira que très graduellement à partir du XVII° avec l'essor autonome de la science enfin pleinement telle épistémologiquement.
Je ne reviens pas sur fragment IV, la question du lieu du lieu, et qu'on peut lier à l'argument de la Flèche.

[Leonhard]

Ce que tu racontes est quand-même bien connu déjà, depuis Bertrand Russell qui avait rétabli l'intérêt de réfléchir sur les paradoxes de Zénon.

Mais tu n'as pas répondu à la question :

Pourquoi un "temps non-infiniment divisible" dans ce cas-ci ? Pourquoi séparer la (dis)continuité de l'espace de la (dis)continuité du temps ?

Je pose cette question car ce n'est pas dans les textes parlant des paradoxes de Zénon (ceux d'Aristote par exemple, dans lesquels la Dichotomie est énoncée en une phrase !) que l'on trouve l'hypothèse "espace continu + temps discontinu". Il s'agit là d'une interprétation, et j'aimerais connaître ses raisons et/ou ses sources.

Car au niveau du mouvement, il suffit que l'un des deux parmi l'espace ou le temps soit discontinu pour que le mouvement lui-même soit discontinu. Et si, avec Aristote, on admet que "le temps est la mesure du mouvement", cela signifie que l'espace est discontinu si et seulement si le mouvement est discontinu, et cela si et seulement si le temps est discontinu, de sorte que la combinaison "espace continu + temps discontinu" n'a pas de sens.

[neopilina]

Mais tu n'as pas répondu à la question :

Pourquoi un "temps non-infiniment divisible" dans ce cas-ci ? Pourquoi séparer la (dis)continuité de l'espace de la (dis)continuité du temps ?

Les prémisses implicites des arguments ne sont pas de Zénon, ce n'est pas lui qui fait cela, il le combat : c'est les pythagoriciens qui font des mathématiques discrètes. Et Zénon avec ses arguments montrent que c'est à tort, que cela a des conséquences concrètes absurdes à souhait. Relis bien la citation de Brunschwieg.

[Leonhard]

Je ne m'interroge pas sur ce que pense Zénon, mais sur les hypothèses de son paradoxe.

Et l'hypothèse dont j'aimerais connaître le sens et l'origine, ce n'est pas seulement que "le réel est discontinu", mais bien que "l'espace est continu et le temps est discontinu". D'où vient cela, et selon qui ?

[neopilina]

Je souligne :

Je ne m'interroge pas sur ce que pense Zénon, mais sur les hypothèses de son paradoxe.

Bien sûr, dans l'absolu, tu fais comme tu le sens, mais cette attitude nous a valu une littérature pléthorique de très très éminents personnages et néanmoins une littérature " à coté de la plaque " qui n'a pas aidé la recherche mais qui l'a rendu encore plus problématique qu'elle ne l'était, Maurice Caveing (" Zénon d'Elée. Prolégomènes aux doctrines du continu ", 1982, Vrin) le dit ainsi, c'est moi qui surligne et ajoute des mentions entre crochets :

Introduction. Dans l'histoire de la pensée grecque, la notion du continu a été élaborée par Aristote. A ses yeux en effet la continuité est une propriété des choses de la Nature, en sorte que l'analyse de cette notion ressortit à la " Physique " [d'Aristote]. D'autre part, on rencontre dans les " Eléments " d'Euclide, disséminé dans plusieurs définitions, postulats et théorèmes, un traitement mathématique habile du continu géométrique, même si le concept n'y apparaît pas en lui-même.
Par conséquent il est légitime de s'interroger sur le cheminement conceptuel qui a abouti à cette double élaboration, dans le domaine physique chez Aristote, mathématique chez Euclide, n'étant guère vraisemblable qu'elle ait surgit ex-nihilo ...
Il faut cependant remonter plus haut [que chez Platon] dans l'histoire de la pensée grecque pour saisir les premières manifestations de cette idée. La relation entre les arguments développés par Zénon d'Elée et les premières notions que les Grecs ont pu se former de la continuité est précisément l'objet de la présente étude, qui voudrait être une contribution à l'histoire de ce concept.
Comme de très nombreux travaux ont déjà été consacrés à Zénon, il paraît nécessaire de justifier une nouvelle entreprise, et de jeter tout d'abord un coup d'oeil sur l'évolution de la question depuis le début des recherches modernes. Au reste une remarque d'ordre méthodologique s'impose au préalable. Il ne sera pas question ici des doctrines philosophiques qui, contestant la solution aristotélicienne du problème, soi dés l'Antiquité, soi à partir du moment où la physique du Stagyrite dut céder le pas à la science galiléenne, furent dans l'obligation de tenter de répondre dans leur propre système conceptuel aux objections zénoniennes : tel fut le cas, par exemple, de Spinoza, ou de Kant, ou de Bergson. Il y a là des tentatives d'échapper à la critique de Zénon telle qu'elle est comprise par chacun de ces philosophes, et non pas une recherche de sa signification historique [qui est d'abord une critique des mathématiques telles que pratiquées par les pythagoriciens].
Tout différemment et depuis le milieu du XIX° siècle se sont multipliés des travaux spécialisés, dans lesquels il faut toutefois soigneusement distinguer deux genres de préoccupations. En effet, alors que dans le sillage d'Euclide les mathématiques s'étaient développées en essayant de s'accommoder de la doctrine de l'infini potentiel, que défendait, entre autres Cauchy, et dans laquelle les problèmes soulevés par Zénon paraissaient résolus, la nouvelle élaboration des concepts fondamentaux de l'Analyse dans le cadre ensembliste provoqua à la fin du siècle un regain d'intérêt pour les arguments de l'Eléate et les moyens d'y faire face qu'offraient les théories nouvelles. Indépendamment de ce courant se manifestait aussi un intérêt proprement historique [et philosophique] pour la signification de la dialectique zénonienne dans le contexte des doctrines présocratiques, que faisaient mieux connaître de jour en jour les recherches érudites des philologues et des historiens de la philosophie. Il semblerait donc aisé de conclure à la nécessité méthodologique d'éliminer de la bibliographie les études proprement mathématiciennes [parce que si Zénon est un précurseur lointain du continu, c'est au sens physique du terme] qui, menées dans une perspective au moyen des techniques et de concepts du XX° siècle, ne concernent plus l'Eléate que nominalement. De même que la doctrine spinoziste de l'infini ou du temps ou de l'espace est la réponse d'un philosophe post-galiléen à des questions qui sollicitaient sa réflexion, mais non une étude historique de la genèse de ces questions dans la pensée grecque, de même le mathématicien contemporain peut à son tour leur donner une réponse scientifique sans que celle-ci ait le moins du monde une signification pour l'historien [et le philosophe]. On pourrait même soutenir avec quelque fondement que l'intrusion du mathématicien dans la question historique [et physique] est fréquemment fâcheuse dans la mesure où il y importe rétrospectivement et anachroniquement des concepts forts élaborés, afin de traduire l'argumentation zénonienne en des termes directement maniables par lui, ce qui n'a d'autres effet que de troubler la stricte étude philologique et historique [et philosophique] du texte antique.

Je souligne :

Et l'hypothèse dont j'aimerais connaître le sens et l'origine, ce n'est pas seulement que " le réel est discontinu ", mais bien que " l'espace est continu et le temps est discontinu ". D'où vient cela, et selon qui ?

Je ne sais pas d'où sorte ces deux formules mais elles ne sont pas de moi (de toi à partir des prémisses implicites nécessaires à la construction des arguments ?). Les termes " discontinu " et " continu " n'existent pas encore au temps des pythagoriciens et de Zénon (et donc n'apparaissent ni dans les travaux des pythagoriciens et donc ni dans les prémisses des arguments cinématiques) puisqu'historiquement la critique éléate des mathématiques pythagoriciennes est considérée comme le point de départ de ces problématiques encore largement à venir. De fait, les arguments cinématiques de Zénon plaident pour un réel continu au sens de la physique pas des mathématiques qui ont leur continu, alors que les pythagoriciens, pour le dire en termes contemporains, de fait, pensaient qu'on peut faire de la physique uniquement mathématiquement, et ce en ayant une approche a priori discrète du réel. Deux erreurs monumentales pour des mathématiciens de génie qui avaient élevé celles-ci au rang de métaphysique. Le choc a été rude, irrémédiable. Au nombre, Platon substituera l'Idée, etc., jusqu'à Plotin.

[Leonhard]

Je ne sais pas d'où sorte ces deux formules mais elles ne sont pas de moi

Ok, alors je te cite :

Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Ma question : pourquoi ?

[alain]

Voici un paradoxe de Zénon qui, étonnamment, est souvent moins mentionné. Pourtant, d'un point de vue philosophique, il est de loin le plus complexe des 4 paradoxes de Zénon.

Il s'agit d'un paradoxe formulé dans un contexte où il est admis que l'espace est continu et infiniment divisible.

La Dichotomie :

1. Pour parcourir une distance L, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2.
   
2. Donc, aucun objet ne peut se mettre en mouvement.
   
3. Donc, le mouvement n'existe pas.
   

Ce raisonnement est-il valide ? Est-il vrai que si l'espace était continu, alors tout mouvement serait impossible ? Faut-il en conclure que l'espace doit nécessairement être discontinu ?

(Si vous concluez que l'espace doit être discontinu, alors vous devrez subir les paradoxes de la Flèche et du Stade, deux autres paradoxes de Zénon conçus pour réfuter cette conclusion.)

Ce que j' en comprends c'est que si l' espace est infiniment divisible aucun mouvement n' est possible d' un point A à un point B parce qu' en fait la division de l' espace annule le mouvement. Mais cela implique deux directions du mouvement : l' un du point A  au point B et l'autre d' une division infinie entre ces deux points. Le mouvement peut t' il s' envisager de ces deux façons ? On peut se dire que la division n' est pas un facteur qui impacte le mouvement et qu' elle n' est pas elle même un mouvement. Mais effectivement la seule raison qui empêche de raisonner ainsi implique que des deux types de mouvement dont je parle , l' un et l' autre sont absolument mathématiques. Pourtant ce " mouvement " résultant d' une division n' a pas en fait de direction puisqu'il ne commence et ne finit nulle part, tandis que le mouvement du point A au point B a un début et une fin. Il me semble que la logique de l' un n' impacte donc pas forcément la logique de l' autre.  Donc effectivement il ne peut y avoir de " solution " à ce problème que si on pose cette hypothèse que tout n' est pas obligatoirement mathématique ...le temps nous semble lié au mouvement parcequ'il s' inscrit pour nous dans une durée. Il faut un " certain " temps pour parcourir ce chemin entre A et B. Mais faut il un temps pour parcourir l' infini ? Je dirai que le temps et le mouvement dans le premier ordre ( division infinie de l' espace ) est " senti " par ce qu' on pourrait appeler le " sentiment intuitif " et le temps et mouvement du deuxième ordre ( déplacement du point A au point B ) est " perçu " par nous sous la forme du " raisonnement rationnel ". Le mouvement " senti " n'est donc pas le même ( d' après mon hypothèse ) que le mouvement " perçu " et la réalité de l'un n' est pas la réalité de l'autre.

[neopilina]

Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Ma question : pourquoi ?

Alors !, ça c'est les prémisses du premier argument, la Dichotomie. Je suppose que ta question est la suivante : pourquoi Zénon construit-il des arguments qui exhaustivement mettent en scène toutes les possibilités, quatre donc, offertes par temps et espace soi infiniment divisibles soi non-infiniment divisibles ?
Parce qu'il s'est rendu compte que c'est ce que font les pythagoriciens qui tâtonnent, qui s'empêtrent, hésitent, qui considèrent tantôt l'une tantôt l'autre possibilité, ils sont tellement bons qu'ils sont les premiers à rencontrer ce genre de problèmes, des voies s'offrent à eux et ils n'arrivent pas à faire le tri, des choix, toujours encombrés par cet a priori dogmatique, le réel est discret. Même chez eux, entre eux, ça " chauffe ", ils ne savent pas quelles directions prendre et ce sans jamais oublier cet a priori puissant : une approche discrète du réel (et donc du temps et de l'espace). Avec cette exhaustivité, Zénon veut montrer le plus concrètement qui soit que les pythagoriciens globalement, avec cet a priori foncent vers des absurdités comme Achille qui ne rattrapera jamais la tortue. N'importe quel ouvrage d'histoire des mathématiques consacré à ce sujet te détaillera cela en long en large et en travers, je te conseille : " De Pythagore à Euclide " de Paul-Henri Michel. Je ne suis pas matheux, il n'empêche, cet ouvrage est une des sommes de ma bibliothèque (mon exemplaire vient de la British Library !, ).

[Leonhard]

Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Ma question : pourquoi ?

Alors !, ça c'est les prémisses du premier argument, la Dichotomie. Je suppose que ta question est la suivante : pourquoi Zénon construit-il des arguments qui exhaustivement mettent en scène toutes les possibilités, quatre donc, offertes par temps et espace soi infiniment divisibles soi non-infiniment divisibles ?

Non, ma question est : qu'est-ce qui te fait affirmer que les prémisses sont ce qui est souligné ? D'où tu tiens cela ?

[Magni]

On a résolu les paradoxes de Zénon quand on a su exprimer qu'une addition infinie de termes non nuls peut avoir un résultat fini.

Observez ceci :


Séries convergentes

Si on prend le raisonnement de Zénon, le résultat de cette série n'existe pas.

Le raisonnement de Zénon est faut et effectivement, c'est parce qu'il fait dichotomie entre le temps et l'espace.

Si on met moitié moins de temps pour parcourir moitié moins d'espace, Achille rattrape la tortue sans difficulté.
Le temps qu'Achille met pour rattraper la tortue est le résultat d'une suite convergente.

Et cela ne dit pas si le temps et l'espace sont discrets ou continus.

Le temps et l'espace pourraient être continus ou discontinus, cela ne changerait rien au fait qu'Achille cours plus vite que la tortue et il la rattrape facilement.

[Magni]

Pensez vous que Zénon parlait vraiment d'une tortue physique et d'un coureur tortuvore ?
Franchement, qui peut croire qu'on peut courir après une tortue sans être capable de la rattraper ?
Affirmer qu'on ne peut pas rattraper une tortue aurait il fait une trainée monumentale dans l'histoire de la logique si la tortue n'était pas un symbole qui représente autre chose qu'une tortue ?



Remplacez la tortue par Pi, et le coureur par Liebniz, et bien cette fois, le paradoxe de Zénon prend tout son sens: il y a dichotomie entre la valeur numérique des termes qui diminue et le temps pour calculer la valeur d'un terme qui ne diminue pas. Ici, effectivement, le coureur ne rattrape pas la tortue, le calculateur ne trouvera pas la valeur exacte de Pi.

Je pense que Zénon parlait plutôt des pythagoriciens pour dire qu'ils ne pourraient jamais calculer la valeur réelle de "racine carrée de 2" avec des encadrements successifs de nombres rationnels.

Il parait qu'un disciple d'Archimède fut trucidé pour avoir émis l'idée que "racine carrée de 2" n'était pas rationnel.

Peut être était il prudent pour Zénon d'utiliser des paraboles plutôt que faire front ouvertement contre une secte très influente.

[Leonhard]

Magni, tout ce que tu racontes est hors sujet car tu parles du paradoxe de l'Achille. Or, ce sujet porte sur le paradoxe de la Dichotomie qui est différent.

Dans la Dichotomie, Zénon nous fait décomposer la distance à parcourir de la façon suivante :

... + 1/64 + 1/32 / 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2

où il n'y a pas de premier terme (car il y a une infinité de termes dans les "...").

Le raisonnement est que puisqu'il n'y a pas de premier terme, alors il n'y a pas de première distance à parcourir. Donc rien ne peut se mettre en mouvement.

Or, on ne doute pas que le mouvement existe ! Par conséquent, quelque chose dans le raisonnement est faux, mais quoi ?

(Le fait de dire que cette somme vaut 1 par un argument mathématique ne change rien au fait qu'il n'y a pas de première distance à parcourir !)

[Magni]

Les paradoxes de Zénon ont TOUS été résolus au XVIIe siècle avec le développement en mathématique des résultats sur les suites infinies et l'analyse.

TOUS les paradoxes de Zénon sont fondamentalement équivalents l'un à l'autre.


Paradoxes de Zénon

[Leonhard]

Si tu avais étudié ton sujet tu saurais que les paradoxes de Zénon ont TOUS été résolus au XVIIe siècle avec le développement en mathématiques des résultats sur les suites infinies et l'analyse.

Je connais fort bien la théorie des séries en mathématiques. Mais tout cela ne me dit pas encore où se trouve l'erreur dans le raisonnement de la Dichotomie, que je rappelle ici en ajoutant des étapes intermédiaires pour expliciter :

La Dichotomie :

1. Pour parcourir une distance L, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2.
   
2. (Or, toute distance peut toujours être divisée par deux.)
   
3. (Donc il n'y a pas de première distance à parcourir.)
   
4. Donc, aucun objet ne peut se mettre en mouvement.
   
5. Donc, le mouvement n'existe pas.
   

J'admets que le raisonnement doit avoir une faille quelque part, mais où ? Chaque étape ne découle-t-elle pas logiquement de la précédente ?

[Magni]

Ce n'est pas parce qu'on doit commencer par le début que le début n'existe pas.
Au début du mouvement, il y a un début du temps et il y a un début de déplacement.

Le problème est la dichotomie du temps et de l'espace dans les paradoxes de Zénon

Tous les paradoxes de Zénon reviennent à couper des espaces en morceaux. Pour aboutir à la conclusion qu'on ne peut pas le faire indéfiniment.
Si on veut calculer un intervalle numérique infinitésimal par encadrement successifs, ce que Zénon dit impossible est effectivement impossible, parce que chaque calcul d'encadrement prend un temps non nul. Il y a effectivement dichotomie entre la valeur de l'encadrement qui diminue et le temps de calcul qui ne diminue pas.

Mais pour la tortue, le caillou ou la flèche, si tu dis : Pour parcourir une distance L en un temps T, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2 en un temps T/2.

Dans ce cas ci il n'y a plus dichotomie du temps et de l'espace et il n'y a plus de paradoxe.

[Magni]

Pour parcourir une distance L en un temps T, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2 en un temps T/2.

On peut diviser les distances autant de fois qu'on veut.
Toute longueur L/x sera parcourue en un temps T/x

Le mouvement existe.





Le mouvement c'est un mobile qui se déplace avec une vitesse.
La vitesse c'est la distance divisé par le temps.
Si on ne prend que la distance et qu'on ne considère pas le temps, il nous reste toujours une distance et pas de temps pour parcourir cette distance, mais ne pas considérer le temps pour calculer une vitesse est non valide.

[Leonhard]

Ce n'est pas parce qu'on doit commencer par le début que le début n'existe pas.

Pourtant, dans la décomposition du mouvement de la Dichotomie, il n'y a pas de première distance à parcourir.

On peut diviser les distances autant de fois qu'on veut.
Toute longueur L/x sera parcourue en un temps T/x

Oui, mais quelle est la première de toutes les longueurs à parcourir ? Et en combien de temps sera-t-elle parcourue ? Il n'y en a pas, puisque tout longueur peut être divisée en deux. Donc le mouvement ne peut jamais débuter.

[quid]

Mais tout cela ne me dit pas encore où se trouve l'erreur dans le raisonnement de la Dichotomie, que je rappelle ici en ajoutant des étapes intermédiaires pour expliciter :

La Dichotomie :

1. Pour parcourir une distance L, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2.
   
2. (Or, toute distance peut toujours être divisée par deux.)
   
3. (Donc il n'y a pas de première distance à parcourir.)
   
4. Donc, aucun objet ne peut se mettre en mouvement.
   
5. Donc, le mouvement n'existe pas.
   

J'admets que le raisonnement doit avoir une faille quelque part, mais où ? Chaque étape ne découle-t-elle pas logiquement de la précédente ?

Je pense que l'erreur de raisonnement est de considérer ou non un objet en mouvement.
Un objet à l'arrêt ne bouge pas, la question n'est pas de pouvoir ou non le mettre en mouvement.
Cependant, si un objet est en mouvement indépendamment de savoir comment il l'a été mis, il faut donc considérer à la fois la distance et le temps et donc quelque soit la distance si infime soit-elle considérée, l'objet sera en mouvement puisqu'il parcourra une certaine distance en un certain temps.
Si l'objet est en mouvement, et que j'arrête temps et mouvement pour situer un point précis, je n'ai fait qu'arrêter le déplacement par l'arrêt du temps. Je ne peux pas dire que l'objet est arrêté et qu'il va entamer son mouvement, il est en mouvement.

Après, la question de savoir comment un objet peut se mettre en mouvement alors qu'il était précédemment arrêté (quelque soit la durée "t", la distance parcourue pour t égale à 0) est différente. Il va falloir certainement une certaine quantité d'énergie pour mettre en mouvement.
Mais alors n'a-t-on pas aussi le même problème avec cette quantité d'énergie ? : Pour transmettre la quantité d'énergie suffisante à la mise en mouvement, il va d'abord bien falloir transmettre la moitié de cette quantité, et ainsi de suite ...

[Magni]

On peut diviser les distances autant de fois qu'on veut.
Toute longueur L/x sera parcourue en un temps T/x

Oui, mais quelle est la première de toutes les longueurs à parcourir ? Et en combien de temps sera-t-elle parcourue ? Il n'y en a pas, puisque tout longueur peut être divisée en deux. Donc le mouvement ne peut jamais débuter.

Quel est le premier terme de la liste des réels en zéro et l'infini ?
C'est zéro.
Quel est le premier terme de la liste des entiers naturels entre 1 et l'infini ?
C'est 1

Si la première longueur est non nulle, elle sera parcourue en un temps non nul.
Si la première longueur est nulle, elle n'a pas besoin d'être parcourue.

Les paradoxes de Zénon ne sont absolument pas une preuve que tout mouvement est impossible.




Les paradoxes de Zénon sont un raisonnement par l'absurde.
Les conclusions des paradoxes de Zénon sont manifestement absurdes, donc ce qu'il faut trouver, c'est en quoi le raisonnement est non valide.

Si on ne lie pas l'espace et le temps le mouvement physique n'est pas possible, ce qui est absurde, donc, temps et espace sont liés dans le monde du mouvement physique.

Dans l'absolu, Les paradoxes de Zénon ne disent pas que l'espace et le temps sont continus ou discrets, ils disent que si l'un est continu et l'autre ne l'est pas, alors plus rien ne fonctionne.
Les paradoxes de Zénon disent que si l'espace est continu, alors le temps est continu, et si l'espace est discret, alors le temps est discret.

[Magni]

quelle est la première de toutes les longueurs à parcourir ? Et en combien de temps sera-t-elle parcourue ? Il n'y en a pas, puisque tout longueur peut être divisée en deux. Donc le mouvement ne peut jamais débuter.

Si toute longueur peut être divisée par deux, la première de toutes les longueur n'est que le DERNIER terme de la division.

Si une longueur peut toujours être divisée par deux, alors le dernier terme existe, et donc la première longueur existe, et elle est nulle. L'infini existe en mathématique et diviser à l'infini n'est pas forcément un problème. Dans ce cas précis il n'y a pas de problème, on peut calculer le résultat.

Si une longueur physique ne peut pas toujours être divisée par deux, alors le dernier terme existe, et donc la première longueur existe, et elle est non nulle.

[quid]

Les paradoxes de Zénon ne sont absolument pas une preuve que tout mouvement est impossible.

Comme l'a signalé neopilina, l'objectif n'est pas de prouver que tout mouvement est impossible mais d'identifier un paradoxe qui soit est dû à un mauvais raisonnement, soit pour mettre en évidence une limite à l'interprétation mathématique.

En fait, le problème on peut aussi le regarder à l'aide d'un segment de droite continu représentant tout les nombres de 0 à 1.
Si l'on prend deux positions différentes du segment, on aura deux nombres différents, l'un plus petit que l'autre.
Pour passer (compter) du début du segment représentant la position 0, à la fin du segment représentant la position 1 de manière continue, on devrait donc pouvoir avancer sur ce segment. Or, quelque soient deux positions distinctes du segment, il y a une infinité de positions entre celles-ci et donc une infinité de nombres. On ne peut donc parcourir le segment puisque l'on y avancera jamais par le parcours de ses positions.

Les nombres rationnels ayant la propriété de densité dans l'ensemble des réels, il y a aussi une infinité de nombres rationnels dans chaque intervalle du segment représentant des nombres. On a donc le même problème d'énumération des positions issues de la division systématique du segment par deux, puis de la première moitié de segment ainsi obtenue et ainsi de suite : Ces positions sont en nombre infini.

[Leonhard]

Quel est le premier terme de la liste des réels en zéro et l'infini ?
C'est zéro.
Quel est le premier terme de la liste des entiers naturels entre 1 et l'infini ?
C'est 1

Tu ne sembles pas comprendre que dans la Dichotomie, on fait une décomposition infinie à rebrousse-temps.

Si on numérote les distances successives à parcourir dans la décomposition, on a la suite inversée suivante :

..., d₇, d₆, d₅, d₄, d₃, d₂, d₁

d₇ doit être parcouru avant d₆.
d₆ doit être parcouru avant d₅, et ainsi de suite.
Chaque d_n est la moitié de d_n-1, et doit être parcouru avant ce dernier.

Quel est la première distance à parcourir ? Il n'y en a pas.

Si toute longueur peut être divisée par deux, la première de toutes les longueur n'est que le DERNIER terme de la division.

Mais il n'y a pas de dernier terme dans le processus de division, puisqu'on peut sans cesse diviser tout terme.

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