Re: Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[Zhongguoren]

Quant au troisième, il est tout simplement faux parce que, justement, l'art. 1er en question n'affirme rien au sujet de lui-même mais attribue une propriété aux êtres humains.

Ah!... C'est donc ça !

Concernant la phase :
La formule G affirme d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.

Je comprends finalement que : affirmer de soi-même, c'est affirmer au sujet de soi-même.
Et non pas : affirmer par soi-même. Comme : faire de soi-même, c'est faire par soi-même.

Ainsi j'estime équivalentes les trois phrases :
La formule G affirme (au sujet) d'elle-même qu'elle n'est pas démontrable.
La formule G représente l'assertion metamathématique : "la formule G n'est pas démontrable".
La formule G représente l'assertion metamathématique de l'indémontrabilité d'elle-même.

Comme quoi la compréhension ou l'incompréhension tiennent souvent à pas grand-chose.

[Vanleers]

A cet égard, je considère que ce fil de discussion est, d'emblée, mal engagé. Son auteur annonce, sans autre forme de préambule, à des non-spécialistes qu'il va résumer ce qui constitue déjà un résumé, voire une interprétation, de l'un des raisonnements métamathématiques les plus complexes et les plus atypiques qu'ait connus l'histoire des mathématiques.

Il serait dommage que vos propos négatifs et dépréciateurs dissuadent les personnes qui fréquentent le forum d’aller voir par elles-mêmes et de lire l’ouvrage que j’ai présenté, en particulier le chapitre 7 de E. Nagel et F. Newman : La démonstration de Gödel.
Les auteurs y exposent de façon simple et claire l’essentiel de la démonstration.
Elle ne requiert pas d’autre connaissance mathématique que le théorème de l’unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers que l’on peut admettre sans démonstration pour comprendre le chapitre dans sa totalité car c’est sur ce théorème que s’appuie la démarche de Gödel.
Ce texte de haute vulgarisation sans être vulgaire s’adresse à l’honnête homme de notre temps qui, pour peu qu’il soit attentif à ce qu’il lit, connaîtra la joie de comprendre un texte à sa mesure qui démystifie un monument, aussi bien quant à sa construction qu’à sa portée réelle.

[Zhongguoren]

A cet égard, je considère que ce fil de discussion est, d'emblée, mal engagé. Son auteur annonce, sans autre forme de préambule, à des non-spécialistes qu'il va résumer ce qui constitue déjà un résumé, voire une interprétation, de l'un des raisonnements métamathématiques les plus complexes et les plus atypiques qu'ait connus l'histoire des mathématiques.

Il serait dommage que vos propos négatifs et dépréciateurs dissuadent les personnes qui fréquentent le forum d’aller voir par elles-mêmes et de lire l’ouvrage que j’ai présenté, en particulier le chapitre 7 de E. Nagel et F. Newman : La démonstration de Gödel.
Les auteurs y exposent de façon simple et claire l’essentiel de la démonstration.
Elle ne requiert pas d’autre connaissance mathématique que le théorème de l’unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers que l’on peut admettre sans démonstration pour comprendre le chapitre dans sa totalité car c’est sur ce théorème que s’appuie la démarche de Gödel.
Ce texte de haute vulgarisation sans être vulgaire s’adresse à l’honnête homme de notre temps qui, pour peu qu’il soit attentif à ce qu’il lit, connaîtra la joie de comprendre un texte à sa mesure qui démystifie un monument, aussi bien quant à sa construction qu’à sa portée réelle.

Ce que vous dites est tout bonnement faux.

On ne peut rien comprendre à la substance, très riche et très rigoureuse, de ce document sans un background historico-logico-philosophique suffisant. Les réactions que votre "présentation simplifiée" (sic !) a suscitées sont, à cet égard, tout à fait significatives. Oseriez vous prétendre que hks, neopilina, benfifi ou Zhongguoren, qui, pour des raisons différentes, ont tous eu bien du mal à vous suivre, ne sont pas des "honnêtes hommes de notre temps" ?

[benfifi]

Définition de « Sub »

Nane introduit « sub » à partir d’un exemple simple puis généralise et pose :

L’expression « sub (y,13,y) » est l’image, reflétée à l’intérieur du système S(A), de la caractérisation métamathématique : « Le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel y, quand on substitue à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 le chiffre pour y ».

Notons que, dans la numérotation exposée par Nane, c’est la variable numérique « y » qui porte le nombre de Gödel 13.
Notons aussi que l’expression « sub (y,13,y) » n’est pas une formule mais qu’elle a la forme d’un nom de nombre.

...

Considérons maintenant la formule :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable »
Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

L'expression « sub (y,13,y) » contient trois paramètres : y, 13 et y. Les deux "y" désignent un nombre-chiffre. Et "13" désigne la variable qui porte le nombre de Gödel 13.
D'une part, dans l'expression « sub (y,13,y) », "y" est un nombre-chiffre. D'autre part, dans la numérotation exposée par Nane, "y" est une variable numérique, la variable numérique qui porte le nombre de Gödel 13, correspondant ainsi au deuxième paramètre ("13" pour ne pas le nommer) de l'expression « sub (y,13,y) ».
Ça porte à confusion. Comment en sortir ?

C’est ici que je fais le raisonnement que le nombre y étant indéterminé, il faut considérer que, dans la substitution envisagée, y, qui, jusqu’ici, était le chiffre pour le nombre y, désigne en fait la variable numérique « y » qui porte le nombre de Gödel 13.
Un nombre indéterminé est en effet une variable numérique.
Ceci explique que sub(y,13,y) se transforme en sub (n,13,n) et que la formule « G » s’écrive :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) ».

En fait je comprends un brin différemment. Je fais intervenir le temps.
Dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » j'estime que la substitution du chiffre pour y, à la variable qui porte le nombre de Gödel 13, a eu lieu. En conséquence y n'est plus le nombre de Gödel de la formule sur laquelle est opérée la substitution, mais désormais la variable qui porte le nombre de Gödel 13. Ainsi quand dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » on substitue le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »), on obtient la formule : « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) ».

[Vanleers]

A benfifi

A l’évidence, vous cherchez à comprendre la démonstration de Gödel et je m’en réjouis.
Vous pointez une difficulté qui n’est pas d’ordre mathématique (aucune connaissance mathématique n’est requise) mais de subtilité et vous proposez une solution, ce qui est important car c’est le point crucial de la démonstration.
Vous rappelez ma tentative de solution exposée dans un post du 26 Août que je reprends ci-dessous pour être plus clair.

Soit la formule A qui porte le nombre de Gödel y.
Notons tout de suite, parce que ce sera capital pour la suite, que le nombre y est indéterminé.
Substituons dans la formule A, à la variable qui porte le nombre de Gödel 13, c’est-à-dire la variable « y », le chiffre pour le nombre de Gödel y.
C’est-à-dire qu’à chaque fois que l’on rencontre la variable « y » dans la formule, on la remplace par :
sssssss….s0 où la lettre « s » apparaît y fois.
On obtient ainsi une formule B dont le nombre de Gödel, par définition de « sub », est :
sub (y,13,y)
La lettre y, ici, désigne le nombre de Gödel de la formule A, c’est-à-dire, rappelons-le, un nombre indéterminé, autrement dit cette lettre désigne la variable numérique à laquelle on peut substituer le chiffre pour un nombre y, c’est-à-dire la variable numérique « y » qui porte le nombre de Gödel 13.
Considérons maintenant la formule C :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »
A cette formule correspond l’assertion métamathématique : la formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y), c’est-à-dire la formule B, n’est pas démontrable.
Soit n le nombre de Gödel de la formule C et substituons, dans cette formule, à la variable qui porte le nombre de Gödel 13, le chiffre pour le nombre n.
On obtient la formule G qui, par définition de « sub », porte le nombre de Gödel sub (n,13,n)
Mais comme, dans C, la lettre y dans sub (y,13,y) désigne la variable numérique « y » dont le nombre de Gödel est 13 et qu’à cette variable on substitue le chiffre pour n, la formule G s’écrit :
« (x) ~ Dem (x,sub (n,13,n)) »
A cette formule correspond l’assertion métamathématique : la formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), c’est-à-dire la formule G, n’est pas démontrable.

[benfifi]

Erratum :
Soit "sub (a,b,c)" l’image, reflétée à l’intérieur du système S(A), de la caractérisation métamathématique : « Le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel a, quand on substitue au corps (variable, constante, formule,...) qui porte le nombre de Gödel b le chiffre pour c.
Dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » j'estime que la substitution du chiffre pour "y", au corps qui porte le nombre de Gödel 13 (il se trouve que c'est une variable), a eu lieu. En conséquence la formule ne contient plus désormais la variable qui porte le nombre de Gödel 13, mais à la place le chiffre pour "y". Soit n le nombre de Gödel de cette formule et i le nombre de Gödel du chiffre pour "y". Ainsi quand dans la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) » on substitue le chiffre pour "n" au corps qui porte le nombre de Gödel "i", on obtient la formule G : « (x) ~ Dem (x, sub (n,i,n)) ».
De "sub (n,i,n)" on peut dire que c'est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, quand on substitue au corps qui porte le nombre de Gödel "i" le chiffre pour "n". Or la formule G est justement obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, quand on substitue au corps qui porte le nombre de Gödel "i" le chiffre pour "n".

[Vanleers]

A benfifi

Vous introduisez l’expression « sub (a,b,c) ».
Si vous voulez mettre en rapport cette expression avec celle qu’emploie Nane, il faut apporter les précisions suivantes :
1) a = c, autrement dit, on a l’expression « sub (a,b,a) »
2) b est le nombre de Gödel d’une variable numérique

On peut dire alors que sub (a,b,a) est le nombre de Gödel de la formule obtenue en substituant, dans la formule portant le nombre de Gödel a, le chiffre pour a à la variable numérique qui porte le nombre de Gödel b.

Je n’ai pas compris la suite de votre raisonnement.

[benfifi]

D'une certaine manière je généralise l'usage de l'expression "sub".
Je peux adopter votre propos concernant « sub (a,b,a) » à la condition de dire :
2) b est le nombre de Gödel d’une variable numérique ou d'un nombre-chiffre.

Dans mon propos j'applique la métaphore des chaises musicales.

[hks]

Précisons qu’il n’est pas nécessaire de chercher à comprendre le sens de la fameuse
formule G, car cette formule a précisément été construite (de manière très artificielle)
pour n’avoir aucun sens, du moins pas tel qu’on l’entend ordinairement en mathématiques. Intuitivement, la formule G ne parle plus vraiment des entiers, elle ne parle que
d’elle-même. Si cette formule n’est pas décidable dans le système formel de l’arithmétique, c’est sans doute parce qu’elle n’énonce pas grand chose de plus que du bruit 1
.
La portée du premier théorème

Si la formule G en elle-même n’a pas grand intérêt, son existence est en revanche
très instructive, à la fois philosophiquement et techniquement.
Sur le plan philosophique, l’existence de la formule G montre que même un système formel défini de la manière la plus rigoureuse qui soit est tout-à-fait capable d’engendrer du bruit, c’est-à-dire des formules qui ne parlent plus vraiment des objets que
le système formel est censé décrire. (D’où leur indécidabilité.) Autrement dit, la rigueur et le formalisme de la méthode axiomatique ne nous protègent pas totalement
contre la production de non-sens.

http://perso.ens-lyon.fr/natacha.portier/enseign/logique/GoedelParAlex.pdf

[neopilina]

Dans leur conclusion :

Mais il ne faut point interpréter le théorème de Gödel comme une invitation au désespoir, ni y trouver excuse pour s’entourer de mystères. La découverte de l’existence de vérités arithmétiques formellement indémontrables n’implique pas qu’il y ait des vérités qui nous resteront à jamais inconnues, ni qu’il faille remplacer la démonstration rigoureuse par une intuition « mystique » (radicalement différente, par sa nature et son pouvoir contraignant, de ce qui permit généralement les progrès de l’esprit). Elle n’implique pas, contrairement à ce qu’on a pu écrire récemment, que « la raison humaine comporte des limites insurmontables ». Elle signifie bien plutôt que l’on ne peut pas axiomatiser entièrement les ressources de l’intelligence humaine et que de nouveaux principes de démonstration attendent encore d’être inventés et découverts. Nous avons vu que les propositions mathématiques qui ne peuvent être établies par une déduction formelle à partir d’un ensemble donné d’axiomes peuvent l’être néanmoins par un raisonnement métamathématique non formalisé. Il serait bien léger d’affirmer que ces vérités indémontrables formellement, mais établies par des raisonnements métamathématiques, ne reposent sur rien d’autre qu’un simple appel à l’intuition. (op. cit. p. 94)

...
Les théorèmes de Gödel, eux, relèvent d’une admirable et abstraite connaissance purement intellectuelle des mathématiques.

Je prends ! Et merci : me voilà définitivement vacciner contre la " gödélite ", j'en avais besoin. Et je vous laisse poursuivre !

[Vanleers]

Je prends ! Et merci : me voilà définitivement vacciné contre la " gödélite ", j'en avais besoin. Et je vous laisse poursuivre !

Oui, et j’ai opposé la connaissance concrète, intellectuelle, affective et même charnelle des choses à la connaissance abstraite et purement intellectuelle « qui ne nourrit pas son homme ».
Gödel, ce génie incontesté de la logique mathématique, a eu une fin tragique : il est mort de faim, cessant de s’alimenter par peur d’être empoisonné.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

[Vanleers]

Précisons qu’il n’est pas nécessaire de chercher à comprendre le sens de la fameuse
formule G, car cette formule a précisément été construite (de manière très artificielle)
pour n’avoir aucun sens, du moins pas tel qu’on l’entend ordinairement en mathématiques. Intuitivement, la formule G ne parle plus vraiment des entiers, elle ne parle que
d’elle-même. Si cette formule n’est pas décidable dans le système formel de l’arithmétique, c’est sans doute parce qu’elle n’énonce pas grand chose de plus que du bruit 1
.
La portée du premier théorème

Si la formule G en elle-même n’a pas grand intérêt, son existence est en revanche
très instructive, à la fois philosophiquement et techniquement.
Sur le plan philosophique, l’existence de la formule G montre que même un système formel défini de la manière la plus rigoureuse qui soit est tout-à-fait capable d’engendrer du bruit, c’est-à-dire des formules qui ne parlent plus vraiment des objets que
le système formel est censé décrire. (D’où leur indécidabilité.) Autrement dit, la rigueur et le formalisme de la méthode axiomatique ne nous protègent pas totalement
contre la production de non-sens.

http://perso.ens-lyon.fr/natacha.portier/enseign/logique/GoedelParAlex.pdf

Merci d’avoir signalé cet article.
Il est vrai que la formule G a été construite de façon très artificielle pour les besoins de la démonstration de l’incomplétude du système qui formalise l’arithmétique.

Dire que la formule « n’énonce pas grand chose de plus que du bruit » est discutable (il faudrait s’entendre sur la notion de « bruit »)
De même, écrire que : « Autrement dit, la rigueur et le formalisme de la méthode axiomatique ne nous protègent pas totalement contre la production de non-sens. » est contestable car, me semble-t-il, Gödel met simplement en évidence les limites de la formalisation sans se prononcer sur des questions de sens ou de non-sens.

[Zhongguoren]

Théorème de Godard : "la guerre, c'est simple : c'est faire entrer un morceau de fer dans un morceau de chair".

[benfifi]

Nous sommes maintenant en mesure de tirer les conséquences de l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
Ce sont les deux théorèmes de Gödel.
...
Le système S(A) est incomplet
...
La consistance du système S(A) est formellement indémontrable

Impressionnant !
...
Suite à la lecture de ce post, je pense au dicton : on trouve ce qu'on cherche.
Mais bien plus encore : on cherche ce qu'on trouve. On cherche ce qu'on aura décidé de trouver.
L'intention fait tout.

[Zhongguoren]

Nous sommes maintenant en mesure de tirer les conséquences de l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
Ce sont les deux théorèmes de Gödel.
...
Le système S(A) est incomplet
...
La consistance du système S(A) est formellement indémontrable

Impressionnant !
...
Suite à la lecture de ce post, je pense au dicton : on trouve ce qu'on cherche.
Mais bien plus encore : on cherche ce qu'on trouve. On cherche ce qu'on aura décidé de trouver.
L'intention fait tout.

En effet, Gödel n'a pas "découvert" l'incomplétude de l'arithmétique de Peano. Il est parti de la conclusion (2° théorème relatif à indémontrabilité de la consistance). Soit une proposition qui énonce d'elle même qu'elle est formellement indémontrable (p = "je suis formellement indémontrable") : si p est vraie, alors on ne peut pas démontrer que p est vraie (ce qui, du point de vue formel, est inacceptable) ; si p est fausse, c'est encore pire parce qu'alors on peut démontrer une fausseté (en l'occurrence p). On se trouve alors face à une formulation paradoxale du même type que le fameux paradoxe dit "du menteur" (Quine explique que tous les logiciens de la fin du XIX° et du début du XX° sont obsédés par l'idée de paradoxe, cf. la lettre que Russell adresse à Frege et qui ruine définitivement l'œuvre de ce dernier entachée, effectivement, d'un paradoxe). Il reste à trouver un système formel (un modèle) dans lequel une telle proposition p est possible. Or, c'est impossible dans le cadre de la logique propositionnelle ou dans celui de la logique des prédicats du premier ordre. En revanche, et c'est en cela que réside la trouvaille de Gödel, l'arithmétique de Peano s'y prête à merveille. Après, il ne "suffisait" plus qu'à régresser de la conclusion aux prémisses.

[hks]

est contestable car, me semble-t-il, Gödel met simplement en évidence les limites de la formalisation sans se prononcer sur des questions de sens ou de non-sens.

Je bute à chacun de vos explications sur une ou des questions philosophiques.

Vous parlez de limites (de la formalisation) alors que tout me laisse à penser que Gödel montre qu'il n'y en a justement pas .

Et de limites de quoi exactement ?
Si ce n'est pas une question de vérité ni une question de sens .

Est ce une question de limite de la forme ? qui se montre à elle même sa limite?
Ou bien qui la montre comme "se montrant elle même'' à un observateur ?

Excusez- moi de chercher à voir clairement le dispositif .
La question des limites de n' importe quoi (formalisation ou chose ordinaire ) est un vrai problème.

Vous me proposez  la formule G (ou même la théorie de Godel en totalité ) comme une causa sui .

[Zhongguoren]

est contestable car, me semble-t-il, Gödel met simplement en évidence les limites de la formalisation sans se prononcer sur des questions de sens ou de non-sens.

Je bute à chacun de vos explications sur une ou des questions philosophiques.

Vous parlez de limites (de la formalisation) alors que tout me laisse à penser que Gödel montre qu'il n'y en a justement pas .

Et de limites de quoi exactement ?
Si ce n'est pas une question de vérité ni une question de sens .

Est ce une question de limite de la forme ? qui se montre à elle même sa limite?
Ou bien qui la montre comme "se montrant elle même'' à un observateur ?

Excusez- moi de chercher à voir clairement le dispositif .
La question des limites de n' importe quoi (formalisation ou chose ordinaire ) est un vrai problème.

Vous me proposez  la formule G (ou même la théorie de Godel en totalité ) comme une causa sui .

 

A cet égard, je considère que ce fil de discussion est, d'emblée, mal engagé. Son auteur annonce, sans autre forme de préambule, à des non-spécialistes qu'il va résumer ce qui constitue déjà un résumé, voire une interprétation, de l'un des raisonnements métamathématiques les plus complexes et les plus atypiques qu'ait connus l'histoire des mathématiques.

Il serait dommage que vos propos négatifs et dépréciateurs dissuadent les personnes qui fréquentent le forum d’aller voir par elles-mêmes et de lire l’ouvrage que j’ai présenté, en particulier le chapitre 7 de E. Nagel et F. Newman : La démonstration de Gödel.
Les auteurs y exposent de façon simple et claire l’essentiel de la démonstration.
Elle ne requiert pas d’autre connaissance mathématique que le théorème de l’unicité de la décomposition d’un nombre en facteurs premiers que l’on peut admettre sans démonstration pour comprendre le chapitre dans sa totalité car c’est sur ce théorème que s’appuie la démarche de Gödel.
Ce texte de haute vulgarisation sans être vulgaire s’adresse à l’honnête homme de notre temps qui, pour peu qu’il soit attentif à ce qu’il lit, connaîtra la joie de comprendre un texte à sa mesure qui démystifie un monument, aussi bien quant à sa construction qu’à sa portée réelle.

Ce que vous dites est tout bonnement faux.

On ne peut rien comprendre à la substance, très riche et très rigoureuse, de ce document sans un background historico-logico-philosophique suffisant. Les réactions que votre "présentation simplifiée" (sic !) a suscitées sont, à cet égard, tout à fait significatives. Oseriez vous prétendre que hks, neopilina, benfifi ou Zhongguoren, qui, pour des raisons différentes, ont tous eu bien du mal à vous suivre, ne sont pas des "honnêtes hommes de notre temps" ?

Il est vrai que ce fil de discussion est absolument chaotique ! Il ne suffit évidemment pas de "résumer" Gödel pour le rendre compréhensible.

[hks]

Gödel a essentiellement bâti « une formule qui énonce qu'elle n'est pas démontrable » dans un système formel donné. Si cette formule était démontrable, cela signifierait que l'on pourrait démontrer « qu'elle n'est pas démontrable », d'où la contradiction. Donc, cette formule n'est pas démontrable. C'est bien ce qu'elle énonce, donc elle est valide. Il existe donc une formule valide non démontrable

Ce qui, comme le dit ZGuoren, est une forme du paradoxe du menteur
Tout ça pour ça  

[Vanleers]

Vous parlez de limites (de la formalisation) alors que tout me laisse à penser que Gödel montre qu'il n'y en a justement pas .

Je pensais avoir été suffisamment clair sur le sens de « limites de la formalisation ».
Je me cite :

On a pu parler de « gödélite », de spéculations sur le fait que Gödel aurait démontré qu’il y a des vérités indémontrables.
Il n’en est rien, Gödel ayant simplement mis en évidence les « limitations internes des formalismes », pour reprendre le titre de l’ouvrage de Jean Ladrière.
Le livre que j’ai présenté sur ce fil est accessible au lecteur, même dépourvu de connaissances mathématiques (il suffit qu’il admette sans démonstration le théorème de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de tout nombre entier).
Le lecteur peut donc juger par lui-même de la portée des théorèmes de Gödel et de la façon dont ils ont été établis.

Les deux théorèmes de Gödel que benfifi rappelle dans un post précédant le vôtre, précisent ce qu’il faut entendre par limitations de la formalisation de l’arithmétique :
- le système S(A) est incomplet
- sa consistance est formellement indémontrable

[Vanleers]

A hks

La version moderne du paradoxe du menteur est le paradoxe de Richard :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Richard

Le texte que je présente montre en quoi le nombre de Gödel sub (n,13,n) de la formule G se distingue du nombre N de Richard.
Je vous renvoie au texte complet (il est maintenant en livre de poche).

[hks]

- sa consistance est formellement indémontrable

admettons
Mais
Est-ce que sa consistance non formellement signifie quelque chose pour vous?
Autrement dit est- ce que
1)la consistance ( à m'expliquer)
2) le démontrable et l'indémontrable
ne se disent et ne se comprennent que du "formellement ?"

Peut- être pourriez- vous (par contraste) montrer un système formel consistant et démontrable.
Parce que si de tout système formel sa consistance est indémontrable on n'a strictement rien d'existant pensable à opposer, ce qui est la causa sui.
......................................

il suffit qu’il admette sans démonstration le théorème de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de tout nombre entier).

il y a une démonstration par récurrence.
J'ai quand même fai un peu de maths.

[Zhongguoren]

Je pensais avoir été suffisamment clair sur le sens de « limites de la formalisation »

Ben non .. justement !

- sa consistance est formellement indémontrable

admettons
Mais
Est-ce que sa consistance non formellement signifie quelque chose pour vous?
Autrement dit est- ce que
1)la consistance ( à m'expliquer)
2) le démontrable et l'indémontrable
ne se disent et ne se comprennent que du "formellement ?"

Peut- être pourriez- vous (par contraste) montrer un système formel consistant et démontrable.
Parce que si de tout système formel sa consistance est indémontrable on n'a strictement rien d'existant pensable à opposer, ce qui est la causa sui.
......................................

il suffit qu’il admette sans démonstration le théorème de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de tout nombre entier).

il y a une démonstration par récurrence.
J'ai quand même fai un peu de maths.

Ah, enfin les bonnes questions (après un mois et 119 messages) !
Je m'attelle dès demain matin à ce par quoi il eût fallu commencer.

[Zhongguoren]

Je pensais avoir été suffisamment clair sur le sens de « limites de la formalisation »

Ben non .. justement !

- sa consistance est formellement indémontrable

admettons
Mais
Est-ce que sa consistance non formellement signifie quelque chose pour vous?
Autrement dit est- ce que
1)la consistance ( à m'expliquer)
2) le démontrable et l'indémontrable
ne se disent et ne se comprennent que du "formellement ?"

Peut- être pourriez- vous (par contraste) montrer un système formel consistant et démontrable.
Parce que si de tout système formel sa consistance est indémontrable on n'a strictement rien d'existant pensable à opposer, ce qui est la causa sui.
......................................

il suffit qu’il admette sans démonstration le théorème de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers de tout nombre entier).

il y a une démonstration par récurrence.
J'ai quand même fai un peu de maths.

Ah, enfin les bonnes questions (après un mois et 119 messages) !
Je m'attelle dès demain matin à ce par quoi il eût fallu commencer.

Commençons par le commencement.

Qu'est-ce qu'un système formel ?

D'abord, par "système", il faut entendre "système de signes", c'est-à-dire un ensemble de phénomènes, en général (pour nous, humains) visuels ou sonores, mais qui peuvent aussi (notamment pour d'autres vivants) être olfactifs, gustatifs ou tactiles (cf. Proust) visés intentionnellement comme destinés à résoudre des problèmes de vie (je ne m'étends pas sur cet aspect qui pourrait faire l'objet d'un développement particulier). Par hypothèse, donc, tout système de signes est régulier, c'est-à-dire s'accompagne, de facto, de règles d'usage. Par convention, un tel système de signe est en principe appelé "langage".

Dans un langage "naturel" (humain ou non, peu importe), les règles 1) sont imposées par l'usage pragmatique qui en est fait et qui vise vers la survie de l'individu et la perpétuation de l'espèce ;  2) sont implicites dans le sens où elles se confondent avec la régularité de l'usage. Dans un langage non-naturel (on dit aussi "formel"), c'est-à-dire un langage créé par des hommes afin de résoudre un type très spécialisé de problèmes (par opposition aux langages naturels qui sont polyvalents car tournés vers la vie en général), en revanche, les règles 1) déterminent l'usage et ne sont pas déterminées par lui, 2) sont arbitraires dans le sens où elles sont imposées par un tout petit nombre d'individus (un seul à la limite), donc, 3) sont explicites et, pour cela, formulées dans un métalangage, c'est-à-dire un langage supérieur qui organise et interprète l'usage qui doit être fait du langage de base, lequel métalangage est toujours exprimé dans un langage naturel.

Exemple de système formel

Soit E, un système (ou langage) formel, c'est-à-dire, rappelons-le destiné à résoudre un problème précis qui n'est pas directement lié à la survie de l'individu ou de l'espèce, en l'occurrence, celui qui est connu aussi sous le nom de "jeu d'échecs" (lequel, comme chacun sait, est né dans des contrées et à des époques où il fallait trouver un moyen de lutter contre l'ennui éprouvé par des guerriers momentanément inoccupés).

D'abord, décrivons-le (dans sa version actuelle, je ne remonte pas à Mathusalem). E comporte :
1) un lexique de 96 signes :
- 32 pièces : 16 noires, 16 blanches (1Rb, 1Rn, 1Db, 1Dn, 2Fb, 2Fn, 2Cb, 2Cn, 2Tb, 2Tn, 8Pb, 8Pn)
- 64 cases désignées par leurs coordonnées algébriques (numériques en abscisse, alphabétiques en ordonnée : a1, a2, .... a8, b1, b2 ... b8, c1 .... h8)
2) des définitions : "trait aux blancs", "déplacement", "prise", "échec", "mat", "partie nulle", "temps disponible"
3) des axiomes : la configuration initiale sur l'échiquier de chacun des 32 signes ; la configuration finale (le jeu s'arrête quand un des deux R est "échec et mat" ou bien lorsque la partie est déclarée "nulle")
4) des règles de dérivation concernant le déplacement et de prise sur les différentes cases pour chaque sorte de pièce (R, D, F, C, T, P) sur l'échiquier (je ne m'étends pas, tout le monde les connaît)
5) des règles d'évaluation des configurations intermédiaires pour chacune des deux couleurs en fonction de l'espace occupé, du temps disponible et de la valeur théorique de chaque pièce

On remarque immédiatement :
- que le métalangage, c'est-à-dire le langage que nous utilisons pour décrire E n'est pas emprunté au lexique de E mais à celui de la langue française "naturelle"
- qu'une configuration totale sur l'échiquier est valide si et seulement si c'est la configuration de départ, une configuration finale ou bien une configuration intermédiaire qui respecte les règles de dérivations à partir de la configuration initiale
- qu'une configuration totale est, partiellement (pour chaque couleur), plus ou moins légitime en fonction de la valeur théorique des signes encore présents (non-pris), de l'espace occupé par ces signes et du temps encore disponible pour les mouvoir
- que la validité totale et/ou la valeur partielle d'une position donnée sont démontrables dans la mesure où on peut les justifier en répétant un après l'autre tous les mouvements depuis la position de départ jusqu'à la position en question et en appliquant les règles de dérivation et d'évaluation.

En conséquence de quoi :
- E est décidable puisqu'il est toujours possible de justifier, d'une part la validité totale d'une configuration donnée des pièces sur l'échiquier, d'autre part la valeur partielle accordée à la configuration qu'affiche chacune des deux couleurs
- mais E est inconsistant dans la mesure où l'application des règles d'évaluation de la légitimité d'une configuration pour une des deux couleurs peut donner lieu à des estimations contradictoires (par exemple, quelle valeur accorder au "sacrifice" d'une pièce, à un temps de réflexion anormalement long avant un mouvement, etc.)
- en conclusion, E est incomplet (pour qu'il fût dit "complet", il eût fallu qu'il fût à la fois "décidable" et "consistant").

Bon. J'espère avoir commencé à éclaircir le taillis.

[hks]

en revanche, les règles 1) déterminent l'usage et ne sont pas déterminées par lui, 2) sont arbitraires dans le sens où elles sont imposées par un tout petit nombre d'individus (un seul à la limite), donc, 3) sont explicites et, pour cela, formulées dans un métalangage, c'est-à-dire un langage supérieur qui organise et interprète l'usage qui doit être fait du langage de base, lequel métalangage est toujours exprimé dans un langage naturel

.

Je commente le 3)

3) sont explicites et, pour cela, formulées dans un métalangage, c'est-à-dire un langage supérieur qui organise et interprète l'usage qui doit être fait du langage de base, lequel métalangage est toujours exprimé dans un langage naturel.

Je ne vois pas ce qu'il y a de plus explicite (sous entendu qu' en langage naturel)
....
Je lis (autre exemple que les échecs ) des textes formalisés par la logique moderne.
Incompréhensibles pour qui n'a pas appris ce que signifiait ces suites de signes.
Comment dois- je apprendre la signification ?

Exemple tiré du tractatus Logico Pphilosophicus

This is at once clear, if instead of This immediately becomes clear if in-
„F(Fu)“ schreiben „(∃φ):F(φu) . φu = Fu“. “F(Fu)”
we write “(∃φ):F(φu) . φu = Fu”. stead of ‘F(Fu)’ we write ‘(∃φ):F(φu) . φu =
Fu’.

Immédiatement clair ?
(ni l'une ni l'autre)
......

Prenons le système de signe du code de la route
Comment puis- je comprendre ce que signifie le panneau de sens interdit  
sans donner à voir ou sans explications par d'autres moyens.

Je ne vois pas en quoi le système formel soit de lui même explicite.
Il le devient après apprentissage.
Est -il de fait PLUS explicite ?

[Zhongguoren]

Je commente le 3)

3) sont explicites et, pour cela, formulées dans un métalangage, c'est-à-dire un langage supérieur qui organise et interprète l'usage qui doit être fait du langage de base, lequel métalangage est toujours exprimé dans un langage naturel.

Je ne vois pas ce qu'il y a de plus explicite (sous entendu qu' en langage naturel) [...]
Je ne vois pas en quoi le système formel soit de lui même explicite.
Il le devient après apprentissage.
Est -il de fait PLUS explicite ?

"Explicite" ("qui est expliqué avant l'usage") par opposition à "implicite" ("qui est impliqué par l'usage").

Prenons le système de signe du code de la route
Comment puis- je comprendre ce que signifie le panneau de sens interdit sans donner à voir ou sans explications par d'autres moyens.

Je ne vois pas en quoi le système formel soit de lui même explicite.
Il le devient après apprentissage.
Est -il de fait PLUS explicite ?

D'abord, par définition, rien de ce qui est explicite ne l'est "par soi-même" (???) mais en vertu, précisément, d'une explication. Ensuite, ce qui est explicite ou non, en l'occurrence, ce n'est pas le langage lui-même mais ce sont ses règles d'usage. C'est d'ailleurs pour cela que, dans un système formel, les uns énoncent des règles et les autres les apprennent (ou pas). C'est parce qu'il faut les apprendre avant de jouer que les règles des échecs sont explicites.

[hks]

D'abord, par définition, rien de ce qui est explicite ne l'est "par soi-même" (???) mais en vertu, précisément, d'une explication.

C est bien ce que je dis. La forme metalangagière n'est explicite qu'après explication.
L'explication elle se fait en langage naturel lequel (désolé) est explicite par soi même.
Une fois appris le metalangage devient certes explicite (pour ceux qui l' on compris en langage naturel)
Oui mais en quoi est-il utile d'en passer au métalangage?
Parfois oui ( en logique pure par exemple) mais pas toujours et partout.
Je ne vois donc pas immédiatement comment en philosophie un métalangage soit utile (voir indispensable pour certains)

[Contenu sponsorisé]