Re: Présentation d'une démonstration simplifiée des théorèmes de Gödel

[neopilina]

(

Les smileys sont apparus avec la conversation écrite (genre texto ou les chat et au début le minitel)
parce que c'était et ce sont des conversations, pas des exposés savants tissés de significations rigides.
C'est un mode d'échange/communication inédit et les smileys répondent aux besoins.

Que ça soit au Japon ou ailleurs, les smileys se seraient imposés. Effectivement, sur un forum de ce type nous avons des conversations, des dialogues, on n'y trouvera pas la plume de Platon ou de Saint Simon qui sont aussi, notoirement, des écrivains, de telle sorte que nos dialogues sont infiniment plus vrais, en tant que dialogues, que les soi-disant dialogues de Platon. Autre exemple, Saint Simon qui altère de façon gravissime, comme Platon, notre perception des personnages historiques dont ils parlent. Michelet à la fin de sa vie reconnaît que Saint Simon avait longtemps gravement compromis son travail d'historien. Donc, des conversations. Et il faut préciser : des conversations dont les conditions sont a priori considérablement dégradées. Sur ce même forum, un membre m'envoie un M.P., en substance : " Qu'est-ce qui t'arrive, t'es furieux !! " Etc. Stupeur : j'étais d'excellente humeur. Ici, je ne vois aucun des mes interlocuteurs, dès lors le malentendu, etc., sont des risques, des menaces, constants. J'ai des amis, des connaissances, qui me lisent sur ce forum : ils me reconnaissent mais pas complétement. Il y a des " manques " et ils sont considérables.

)

[hks]

Per causam sui intelligo id cujus essentia involvit existentiam sive id cujus natura non potest concipi nisi existens.

Par cause de soi j'entends ce dont l'essence enveloppe l'existence, c'est-à-dire ce dont la nature ne peut être conçue que comme existante. (Misrahi - fr)

ça c'est le socle (première définition de l Ethique)
...........................................................................................................
je comprends bien ceci

j'ai voulu dire que la construction de l’Ethique reposait sur des bases plausibles mais non démontrées.

Il est
1) plus que plausible que Spinoza intellige ce qu'il dit
2) qu'il n'a nulle intention de démontrer ce qu'il dit là en introduction.
Ce qu' il dit c'est une évidence pour lui
et l'évidence ne se démontre pas.

Est-ce que cette évidence est plausible ? que veut dire plausible  (au quart, à moitié,  totalement ou un peu seulement ?) Expliquez moi comment comprendre que

Par cause de soi j'entends ce dont l'essence enveloppe l'existence

puisse être plausible.
....................
Pour moi
Le lecteur lambda peut seulement se dire : oui (ou non) c'est évident pour moi.

Encore que, le plus souvent, le lecteur lambda se demande mais que veux dire Spinoza  ?
Une fois qu'il lui semble avoir compris, il se détermine sur l'évidence de la définition.

[Vanleers]

A hks

Pour Spinoza, la somme des angles d’un triangle égale à deux droits était une évidence absolue qui a été relativisée par la suite avec la création des géométries non euclidiennes.

Combien de choses qui nous ont d’abord paru absolument évidentes se sont avérées ensuite être fausses !

[benfifi]

Nous allons maintenant exploiter la notion de nombre de Gödel, introduite à la fin du post précédent, en définissant une assertion métamathématique et un nombre qui sont représentés dans le système S(A) par, respectivement, une formule : « Dem » et le nom d’un nombre : « Sub ».
Nous serons alors en mesure de comprendre comment Gödel construit la formule G qui représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
...
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Je cite : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Pourquoi : "affirme d'elle-même"? Pourquoi pas :
« La formule G n’est pas démontrable ».

Je cite : La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Pourquoi : "affirme d'elle-même"? Pourquoi pas :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».

[hks]

à Vanleers
C'est donné par Spinoza comme exemple de l'accès à l'évidence,
Pour vous
L'exemple est mal choisi puisque 3 siècles plus tard vous me dites que si Spinoza avait connu Riemann, Spinoza n'aurait plus eu cette évidence là.

Et S'il avait dit il est évident que j'ai deux mains ce que à mon avis il aurait aussi pu dire pour expliquer l'évidence!

En tout cas, moi actuellement, si je vous le dis "il est évident que j'ai deux mains" cela ne montre pas que j'ai deux mains mais que c'est pour moi une évidence.

........................................

Combien de choses qui nous ont d’abord paru absolument évidentes se sont avérées ensuite être fausses !

Spinoza en conviendrait mais ce n'est pas la question.
L' évidence est actuelle pour celui qui l'a et en ce sens elle est éternelle (hors du temps).

[Vanleers]

Je cite : La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Pourquoi : "affirme d'elle-même"? Pourquoi pas :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».

La formule G s’écrit : « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

A cette formule du système formalisé S(A) correspond l’assertion métamathématique :
« Quel que soit x, la formule qui porte le nombre de Gödel x n’est pas une partie de la une démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n) »
Autrement dit : « La formule G énonce que la formule qui porte le nombre de Gödel sub(n,13,n) n’est pas démontrable ».
Mais cette formule G porte le nombre de Gödel sub (n,13,n).
L’assertion métamathématique s’écrit alors : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n) énonce que la formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n) n’est pas démontrable.
Autrement dit : « La formule G énonce qu’elle n’est pas démontrable ».

[Vanleers]

à Vanleers
C'est donné par Spinoza comme exemple de l'accès à l'évidence,
Pour vous
L'exemple est mal choisi puisque 3 siècles plus tard vous me dites  que si Spinoza  avait connu Riemann, Spinoza n'aurait plus eu cette évidence là.

Mais c’est comme s’ils disaient que Dieu peut faire que de la nature du triangle il ne suive pas que ses trois angles soient égaux à deux droits ; […]

La géométrie euclidienne étant la géométrie qui pose que le cinquième postulat d’Euclide (postulat de la parallèle) est vrai, Spinoza devrait écrire aujourd’hui :
« Mais c’est comme s’ils disaient que Dieu peut faire que, de la nature du triangle et dans le cadre de la géométrie euclidienne, il ne suive pas que ses trois angles soient égaux à deux droits. »

Je précise qu’il faut distinguer entre la vérité d’un postulat et la vérité d’un théorème.
La vérité d’un postulat est posée.
La vérité d’un théorème est démontrée, sur la base des postulats posés comme vrais.

Dans le scolie précité, Spinoza visait la vérité d’un théorème démontré sur la base d’un postulat considéré implicitement comme vrai.
La vertu de la formalisation en mathématiques est de repérer les postulats implicites afin de clarifier le raisonnement.

[Zhongguoren]

Je cite : La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Pourquoi : "affirme d'elle-même"? Pourquoi pas :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».

La formule G est auto-référentielle : elle prédique quelque chose d'elle-même (source de fameux paradoxes logiques). C'est comme lorsque nous disons "la présente phrase est écrite en français" ou bien "la présente phrase comporte 32 signes".

Je précise qu’il faut distinguer entre la vérité d’un postulat et la vérité d’un théorème.
La vérité d’un postulat est posée.
La vérité d’un théorème est démontrée, sur la base des postulats posés comme vrais.

Un postulat n'est pas "vrai". Il est juste nécessaire au système axiomatique. Qu'est-ce que cela voudrait dire qu'il est "vrai" que le corps des complexes comporte l'ensemble des réels plus la racine carrée de moins un ?

[hks]

à Vanleers

Vous sembliez commencer par la recherche d'un premier principe (fondation) et j'en suis resté là en citant la première définition de l'Ethique.
Mais j'ai du faire une erreur de lecture.
En fait vous êtes intéressé par des concepts d'un second niveau, celui de la logique.
......................................................................................

Par cause de soi j'entends( intelligo) ce dont l'essence enveloppe l'existence, c'est-à-dire ce dont la nature ne peut être conçue que comme existante.

intelligo traduit
en anglais par :I mean that
en allemand par :verstehe ich

Les français  traduisent par j'entends.... on pourra même estimer que Spinoza entend comme par une ouie/audition intérieure. Une voix intérieure.  
Il n'entend pas du vrai versus du faux
ou du démontrable ou pas
simplement il entend.

[Zhongguoren]

intelligo traduit
en anglais par :I mean that
en allemand par :verstehe ich

Les français  traduisent par j'entends.... on pourra même estimer que Spinoza entend comme par une ouie/audition intérieure. Une voix intérieure.  
Il n'entend pas du vrai versus du faux
ou du démontrable ou pas
simplement il entend.

Bref, il postule.

[benfifi]

La formule G de Gödel

« ~ » étant la constante du système S(A) signifiant « Non », la formule « ~ Dem (x,z) » représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Introduisons le préfixe (x) qui signifie « Pour tout x » et considérons la nouvelle formule :
« (x) ~ Dem (x,z) ».
Elle représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « Pour tout x, la suite de formules qui porte le nombre de Gödel x ne fait pas partie de la démonstration de la formule qui porte le nombre de Gödel z ».
Autrement dit, cette nouvelle formule représente, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel z n’est pas démontrable »

Considérons maintenant la formule :
« (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) »
Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, cette formule représente l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (y,13,y) n’est pas démontrable »
Posons que le nombre de Gödel de cette formule est n et substituons dans cette formule le chiffre pour n à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
On obtient alors une nouvelle formule qu’on appellera « G » (suivant Gödel) et présentée comme suit :

« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) »

Quel est le nombre de Gödel de G ?
Rappelons que sub (n,13,n) est le nombre de Gödel de la formule obtenue à partir de la formule qui porte le nombre de Gödel n, c’est à dire la formule « (x) ~ Dem (x,sub (y,13,y)) », en substituant le chiffre pourn à la variable qui porte le nombre de Gödel 13 (c’est-à-dire la variable numérique « y »).
Or, précisément, la formule G a été obtenue à partir de cette formule en substituant à la variable numérique « y » le chiffre pour n.
En conséquence le nombre de Gödel de G est sub (n,13,n).
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Compte tenu des deux premières phrases mises en italique, la troisième et dernière phrase en italique me paraît mal formulée. Je dirais :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), autrement dit la formule G, n’est pas démontrable ».

[Vanleers]

à Vanleers

Vous sembliez commencer par la recherche d'un premier principe (fondation) et j'en suis resté là en citant la première définition de l'Ethique.
Mais j'ai du faire une erreur de lecture.
En fait vous êtes intéressé par des concepts d'un second niveau, celui de la logique.

Vos réflexions me permettent de préciser ma pensée.
Au début de chaque partie de l’Ethique, Spinoza donne ses propres définitions qu’il introduit par intelligo (je comprends, ou j’entends).
Mon hypothèse, c’est qu’un certain nombre de définitions comportent des postulats implicites qui relèvent d’un « second niveau », pour reprendre votre expression.

Pour illustrer ce propos, je trouve peu convaincante la première démonstration de l’existence nécessaire de Dieu (E I 11).
Spinoza se contente de dire qu’ayant défini Dieu comme une substance et ayant démontré qu’ « A la nature de la substance appartient d’exister » (E I 7), Dieu existe nécessairement.
La démonstration d’E I 7 est tout aussi expéditive : une substance ne pouvant être produite par autre chose (E I 6 cor.), elle sera cause de soi et, en vertu de E I déf. 1, il appartient à sa nature d’exister.
Je ne puis m’empêcher de penser que, pour ne pas être face à une sorte de tour de passe-passe, il doit y avoir des postulats cachés qui permettraient de comprendre rationnellement de quoi il s’agit.
Ne pouvant pas cerner clairement ces postulats, j’ai pris le parti de considérer que la théorie du réel que propose Spinoza (une substance unique appelée Dieu et les modes de cette substance) était une théorie conjecturale discutable rationnellement, suffisamment féconde en matière éthique pour lui faire confiance, mais ni démontrable, ni réfutable.

Peut-être qu’une formalisation de l’Ethique serait en mesure, comme dans les mathématiques, d’en repérer les postulats implicites.
Ce travail a été engagé ailleurs depuis 2016, mais où en est-il aujourd’hui ?

L’Éthique de Spinoza est un traité philosophique écrit « à la manière des géomètres » : les théorèmes y sont démontrés à partir de définitions et d’axiomes initialement posés. Peut-on garantir la validité de démonstrations de Spinoza, et si oui, à quelles conditions ?La tâche a été entreprise « à la main » par l’historien de la philosophie Martial Gueroult au tournant des années 1970. Pour emporter l’adhésion, ce travail devrait être vérifié ligne à ligne par un lecteur parfaitement rigoureux, hélas inexistant. Or depuis quelques décennies, les « assistants à la démonstration » tels que Coq sont des logiciels qui permettent de produire des démonstrations mathématiques complètes et certifiées. Nous présenterons donc la démonstration en Coq des premières propositions de l’Éthique de Spinoza.Cette méthode présente un réel intérêt pour l’historien de la philosophie : elle permet non seulement de montrer certains détours « inutiles » dans les démonstrations de Spinoza, mais aussi de mettre au jour certains axiomes implicites de l’Éthique. Ces axiomes n’ayant métaphysiquement rien de trivial, on gagnerait à les expliciter. Par ce cas concret, on verra une fois de plus ce que les sciences formelles peuvent apporter à l’histoire « structurale » de la philosophie, qui, dans la lignée de Martial Gueroult et de Jules Vuillemin, travaille à reconstituer l’architecture interne des systèmes philosophiques.

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01428781

[hks]

Bref, il postule.

admettons que ...mais alors dites moi ce que Spinoza (première def de l'Ethique) postule.
Ce qu'il postule.

[Zhongguoren]

Bref, il postule.

admettons que ...mais alors dites moi ce que Spinoza (première def de l'Ethqiue) postule.
Ce qu'il postule.

La notion de causa sui si ma mémoire est bonne, non ?

[hks]

à Vanleers

définition 3
à Vanleers

III. - J'entends par substance ce qui est en soi et est conçu par soi : c'est-à-dire ce dont
le concept n'a pas besoin du concept d'une autre chose, duquel il doive être formé.

Spinoza va s'appuyer ensuite sur cette définition 3
Ou bien c'est un flatus vocis
ou bien c'est une évidence de son entendement
il conçoit donc (il le dit)
ce qui n'a pas besoin du concept d'une autre chose, duquel il doive être formé.

Est -ce un postulat ?
ou bien une évidence que "nous puissions concevoir sans le concept d autre chose" .
...............................................

Problème grave avec la def 4

def IV
. - J'entends par attribut ce que l'entendement perçoit d'une substance comme
constituant son essence.

Grave parce ce n(est plus seulement la substance qui peut être conçue sans un autre concept

De plus on a une deuxième occurrence de essence

Spinoza conçoit l'essence de
Est-ce un postulat?
......................................
le problème réapparait dans SCOLIE I

Par là il apparaît qu'encore bien que deux attributs soient conçus comme réellement
distincts, c'est-à-dire l'un sans le secours de l'autre, nous ne pouvons en conclure cependant qu'ils constituent deux êtres,

c'est pourquoi l'attribut est alors conçu comme expression.
chacun exprime la réalité ou l'être de la substance.
...................................
ce qui n"est pas encore la démonstration de l'existence de Dieu
...................................
je veux montrer que Spinoza s'appuie sur des évidences.
Par exemple que le mot essence renvoie à une intellection intuitive

[hks]

La notion de causa sui si ma mémoire est bonne, non ?

Avoir une idée ce serait postuler ?
Mais je ne dois pas bien comprendre l'idée que vous avez quand vous écrivez ' il postule'.

[Zhongguoren]

Spinoza va s'appuyer ensuite sur cette définition 3
Ou bien c'est un flatus vocis
ou bien c'est une évidence de son entendement

Quel sens de la nuance : c'est plein soleil ou la nuit noire ! Tertium non datur ! Alors que Spinoza ne fait que poser en disant "par ceci j'entends cela" les éléments conceptuels dont il a besoin pour assurer la consistance de son axiomatique. Si "évidence" il doit y avoir, celle-ci réside dans le tout du système non dans chacune de ses parties (différence d'avec Descartes).

La notion de causa sui si ma mémoire est bonne, non ?

Avoir une idée ce serait postuler ?
Mais je ne dois pas bien comprendre l'idée que vous avez quand vous écrivez ' il postule'.

Il postule ce qu'il définit. Où est le problème ?

PS : pour ma part, je n'ai ni idée, ni esprit, ni conscience, etc. De telles abstractions me sont complètement étrangères.

[Vanleers]

Compte tenu des deux premières phrases mises en italique, la troisième et dernière phrase en italique me paraît mal formulée. Je dirais :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule qui porte le nombre de Gödel sub (n,13,n), autrement dit la formule G, n’est pas démontrable ».

Vous explicitez pour la rendre plus claire la phrase « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».
J’y souscris volontiers : vous avez bien compris la question.

Je vous signale, si vous ne l’avez pas vu, que j’avais répondu à votre post précédent.

[benfifi]

J'avais bien lu votre réponse d'aujourd'hui à 9:52.

À propos de votre formulation :
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

Il me semble qu'il convient de dire soit:
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».
Soit:
Donc « la formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

La première formulation a ma préférence. Je trouve la seconde bizarre. Sans doute parce que je ne suis pas habitué.
Mais je ne comprends pas votre formulation qui me semble redondante.

[hks]

Il postule ce qu'il définit. Où est le problème ?

Je vous l'ai dit le problème

je ne dois pas bien comprendre l'idée que vous avez
quand vous écrivez : [i]il postule.

Ce qui peut s'expliquer par le fait invoqué que vous n'avez pas d'idée.

Ecrit au singulier doit vouloir signifier le concept d'idée.

"Je postule "serait performatif . Mais Spinoza ne dit pas "je postule"
Il dit intelligo
.............................
Je ne comprends pas mieux :

De telles abstractions

[Vanleers]

A hks

Je répète ma thèse.

Pour construire une Ethique « démontrée selon l’ordre géométrique », Spinoza pose des définitions et des axiomes.
Mon hypothèse, c’est qu’en posant ses définitions, Spinoza introduit implicitement des postulats sur lesquels s’appuieront les démonstrations.
Vous citez le début du scolie d’E I 10 :

D’où il appert que, encore que l’on conçoive deux attributs réellement distincts, c’est-à-dire l’un sans recourir à l’autre, nous ne pouvons pour autant en conclure qu’ils constituent deux étants, autrement dit deux substances différentes : [...]

Comme vous le savez, pour résoudre le difficile problème des attributs, Deleuze est allé chercher chez Duns Scot la notion de « distinction formelle », c’est-à-dire de distinction réelle non numérique.
Cela me paraît révéler la présence d’un postulat implicite dans la définition de l’attribut (définition 4) : il existe une distinction formelle entre attributs de la substance.

[hks]

à Vanleers

je dois avouer que je n'ai pas bonne mémoire du "Spinoza et le problème de l'expression"

Mais je vois d'entrée que Deleuze insiste sur l' expression. Defintion 6
J'insiste sur essence def 4

IV. - J'entends par attribut ce que l'entendement perçoit d'une substance comme
constituant son essence

.......................................................................................
Il me semble que l'évidence première est intelligo

qu'il y a essence

La première occurrence de essence est dans la Def 1
........................................................................................
On sait que Deleuze est farouchement antihusserlien .

je suis attentif à vos remarques

[Vanleers]

A hks

J’essaie de rester dans le cadre du fil que j’ai ouvert, à savoir les théorèmes de Gödel sur les systèmes formels et, par extension, la formalisation.
L’un des intérêts de la formalisation est de mettre en évidence des « principes de raisonnement subreptices » :

Le but de cette procédure [la formalisation] est de construire un système de signes (appelé « calcul ») où il n’y ait plus rien de caché et qui ne contienne que ce que nous y avons mis explicitement. Les postulats et les théorèmes d’un système entièrement formalisé sont des « chaînes » (ou des suites finies) de signes dépourvus de signification construites selon les règles combinatoires du système. En outre, dès lors qu’un système a été entièrement formalisé, la déduction des théorèmes à partir des postulats n’est rien de plus que la transformation (conformément aux règles) d’un ensemble de « chaînes » en un autre ensemble de « chaînes ». De cette manière, on ne court plus le risque d’utiliser des principes de raisonnement subreptices. (op. cit. pp. 36-37)

J’ai parlé de Spinoza sur ce fil car je me suis interrogé sur la présence éventuelle de postulats implicites dans l’Ethique.
Des essais de formalisation de l’Ethique ont été mis en œuvre, notamment par Baptiste Mélès avec l’aide d’ un assistant de preuve : le logiciel Coq.
Il semble que l’essai se soit limité aux toutes premières propositions de l’Ethique.
Par ailleurs, si, comme l’écrit Hubbeling, Spinoza a construit un système axiomatique, ce système n’est pas formel car la signification des termes joue un rôle dans les déductions.
Il s’agirait donc d’un système axiomatique informel pour lequel il est plus difficile de mettre en évidence d’éventuels principes de raisonnement subreptices : j’entends des postulats cachés.

La question perd de son importance si, comme je le conçois maintenant, l’Ethique est une théorie conjecturale du réel qui ne vise aucune certitude absolue (de toute façon impossible à atteindre dans aucun domaine comme l’a montré Popper) mais le « bonheur » du lecteur.
Paraphrasant Pascal à propos de Descartes, je dirai que l’Ethique est incertaine et utile.
Aujourd’hui, seule m’importe cette utilité.

[Zhongguoren]

Il me semble qu'il convient de dire soit:
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».
Soit:
Donc « la formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

La première formulation a ma préférence.

Les deux formulations ne sont pas équivalentes. La première est un nom pour G. En ce sens, elle n'est ni vraie ni fausse. La seconde est une phrase : elle affirme quelque chose (d'elle-même). Et donc elle se trouve dotée d'une valeur de vérité (elle est soit vraie, soit fausse, soit tautologique, soit contradictoire, soit indécidable, soit probablement vraie, etc.).

L’un des intérêts de la formalisation est de mettre en évidence des « principes de raisonnement subreptices »

Un système formel, par définition, est exempt de raisonnement subreptice. C'est précisément ce qui en fait un processus mécanique, autrement dit un calcul (il existe des machines à calculer, non des machines à raisonner). Ce qui met en évidence les raisonnements subreptices, c'est l'analyse du langage naturel :

Le langage naturel doit être autant que possible reconduit au langage de la logique. Il ne doit pas être remplacé par un langage symbolique, mais il s'agit plutôt de retrouver dans le langage naturel lui-même, du mieux que l'on peut, cette structure logique que le langage symbolique exhibe avec une pleine évidence (La Philosophie du Langage au XX° siècle)

Mon hypothèse, c’est qu’en posant ses définitions, Spinoza introduit implicitement des postulats sur lesquels s’appuieront les démonstrations.

D'abord votre "hypothèse" n'est pas testable. Ce n'est donc pas une hypothèse mais une conjecture (cf. Popper).

Ensuite un postulat, ou bien est explicite (et non-ambigu) ou bien n'est pas un postulat mais une (pré-)supposition. Les système non-formels peuvent avoir des postulats, mais, dès lors qu'ils usent du langage naturel (c'est le cas de Spinoza qui postule dans ses "définitions" et dans ses "axiomes"), ils comportent aussi beaucoup de pré-supposés (e.g., dans la 1° déf., il postule ce qu'il faut comprendre par "cause de soi", mais il ne définit pas "essence, "existence", "nature", etc., autant de termes dont l'usage est présupposé). Tandis que les systèmes formels (e.g. les algorithmes informatiques) reposent sur des postulats (on dit plutôt des "axiomes") qui ne valent comme postulats que pour autant qu'ils sont explicites. Tout ce qui n'est pas explicite (ou déductible de l'explicite au moyen des règles d'inférence elles-mêmes explicitées) n'a aucune existence dans un tel système. Bref, l'expression "postulat implicite" est, au mieux un oxymore, au pire une contradiction.

La question perd de son importance si, comme je le conçois maintenant, l’Ethique est une théorie conjecturale du réel qui ne vise aucune certitude absolue (de toute façon impossible à atteindre dans aucun domaine comme l’a montré Popper) mais le « bonheur » du lecteur.

Je crains que vous ne fassiez pour le couple Spinoza/Popper ce que vous avez tenté de faire pour le couple taoïsme/christianisme, à savoir une assimilation forcée de l'un par l'autre.

Je ne prétends pas avoir rencontré la meilleure des philosophies, mais je sais que je comprends la vraie philosophie. (Lettre LXXVI à Albert Burgh)
Qui a une idée vraie n’ignore pas qu’une idée vraie enveloppe la certitude la plus haute. Avoir une idée vraie, en effet, ne signifie rien d’autre que connaître une chose parfaitement ou le mieux possible, et certes personne n’en peut douter, à moins de penser qu’une idée est une peinture sur un tableau, et non un mode du penser, à savoir l’acte même de comprendre [...]. Et que peut-il y avoir de plus clair et de plus certain qu’une idée vraie, qui puisse être critère de vérité ? De la même façon que la lumière fait paraître elle-même et les ténèbres, de même la vérité est sa propre norme et celle du faux. (Éthique, II, 43)

L'idée de "vérisimilitude" est très importante dès lors que nous savons que nous devons admettre des théories qui ne sont, au mieux, que des approximations, c'est-à-dire des théories dont nous savons qu'elles ne peuvent pas être [littéralement] "vraies" (ce qui est fréquemment le cas en sciences sociales). Dans ces cas, nous pourrons parler de plus ou moins grande approximation de la vérité. (Conjectures et Réfutations)

[hks]

Il me semble qu'il convient de dire soit:
La formule G représente donc, à l’intérieur du système S(A), l’assertion métamathématique : « La formule G n’est pas démontrable ».
Soit:
Donc « la formule G affirme d’elle-même qu’elle n’est pas démontrable ».

La première formulation a ma préférence.

il me semble qu'il y a une différence

« La formule G n’est pas démontrable » parce qu'on a épuisé toutes les tentatives de démonstration ou que pour une raison extérieure il soit montré qu'elle  n' est pas démontrable...ou pour d autres raison extrinsèques

La seconde formulation donne une raison intrinsèque, la formule  est en elle même un exemple de l'indémontrable (en soi).

[Zhongguoren]

La seconde formulation donne une raison intrinsèque, la formule  est en elle même un exemple de l'indémontrable (en soi)

G (comme toute affirmation autoréférentielle) n'est pas intrinsèquement indémontrable. Elle l'est parce que le système formel S(A) dans lequel elle apparaît est incomplet. Mais, dans un système plus large incluant S(A), elle redevient démontrable. C'est ce que démontre Gödel.

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