Re: Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[neopilina]

Déjà cité, le traitement de la Dichotomie par Zafiropulo :

- I° Espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible. Tout mouvement est impossible à cause de la " dichotomie ". Un mobile, en effet, avant d'arriver au terme de sa course, doit d'abord en effectuer la moitié et avant de terminer cette demi-course il doit en parcourir à son tour la moitié et ainsi de suite ad infinitum. L'espace étant, par hypothèse, infiniment divisible, nous pouvons ainsi obtenir une infinité de points sur une portion de trajectoire que nous pouvons d'ailleurs choisir arbitrairement. Ces points seront des unités réelles et distinctes puisque nous postulons la discontinuité; donc, dans sa course, le mobile devra successivement entrer en contact avec chacune de ces unités séparés. Or, le temps étant supposé non-infiniment divisible, il faudrait dans l'unité minimum de temps effectuer un nombre de contacts infinis, ce qui est impossible car nous ne disposerions pour chaque contact que d'un temps infiniment bref ce qui est en contradiction avec l'hypothèse finie de divisibilité temporelle admise. Donc tout mouvement est impossible. Or, il est évident que le mouvement a lieu. Il faut conclure de cette contradiction que le langage choisi est inadéquat, donc rejeter les définitions qu'il comporte et les hypothèses qu'elles impliquent.

Et donc à la suite, l'Achille, si " espace infiniment divisible, temps infiniment divisible, alors une splendide absurdité, la Flèche, si " espace non-infiniment divisible, temps infiniment divisible ", alors une splendide absurdité, le Stade, si " espace non infiniment divisible, temps non infiniment divisible ", alors une splendide absurdité. Et immédiatement à la suite, voilà sa conclusion à propos des arguments cinématiques avant de passer à autre chose :

La conclusion à tirer de ces quatre arguments s'impose : le langage discontinu, qu'il admette des unités de grandeur finies ou infinies, ou même une combinaison de ces deux genres d'unités, ne peut jamais exprimer le mouvement et doit donc être rejeté comme moyen de description de notre expérience. Il nous faut d'autres définitions et d'autres hypothèses pour serrer la réalité de près [en marge de ce passage j'ai écrit : " Le pythagorisme est mort "]. Zénon tirait-il de sa démonstration, concluant que la seule possibilité consistait à admettre objectivement la continuité tandis que la discontinuité nécessaire à nos raisonnements appartiendrait à l'observateur, non à l'objet observé (en note de l'auteur : " C'était alors la seule échappatoire possible car le calcul infinitésimal n'existait pas plus que la théorie de la connaissance ") ? Nous ne saurons probablement jamais jusqu'où il avait su pousser ses déductions. Il semble pourtant peu probable qu'il ait formulé clairement une semblable proposition (en note : " Nous avons vu que cet argument était déjà impliqué par les raisonnements de Parménide ") car s'il avait été en mesure d'avancer un argument aussi massif en faveur en faveur de la théorie éléate, il pourrait paraître curieux de constater que personne ne l'ait trouvé digne d'être conservé. Pourtant il faut noter ici que la doxographie concernant Zénon est tout particulièrement lamentable et nos textes authentiques de fort peu d'étendue. Ces fragments ainsi que la substance des raisonnements de l'élève de Parménide, relèvent chez notre Eléate un esprit extraordinairement pénétrant et une puissance logique peu commune qui n'ont parfois pas mis ses travaux à la portée de ses commentateurs. Cette circonstance peut rendre compte de bien des lacunes et n'a pas peu contribué à former de Zénon l'image d'un ergoteur dénué de fond que l'on s'en fait, parfaitement à tort d'ailleurs.

Ce à quoi j'ajoute, personne dans l'antiquité n'a jamais taxé Zénon de sophiste, et Platon et Aristote qui sont rarement d'accord, le sont pourtant sur ce point, ils disent tous les deux explicitement que Zénon est l'inventeur de la dialectique.

Le but de Zénon est un raisonnement par contradiction, c'est-à-dire un raisonnement valide et sensé qui repose sur une prémisse P, et qui aboutit à une contradiction, ce qui permet de conclure que la prémisse P est fausse.

Oui. Tu surlignes, je souligne :

Mais ici, la prémisse " espace divisible + temps indivisible " ne permet même pas au raisonnement de la Dichotomie d'être valide ! Comme je l'ai montré plus haut, avec cette prémisse, le mouvement est possible.

C'est ce que je dis depuis le début : pour la Dichotomie, l'hypothèse doit être " espace divisible et temps divisible ". C'est toi (via Zafiropulo) qui prétends que la bonne hypothèse est " espace divisible et temps indivisible ". Mon message montre que ton hypothèse n'aurait pas de sens pour la Dichotomie.

Sincèrement, je n'ai pas vu ou compris, peux-tu réitérer, merci. Les prémisses exactes, chez Zafiropulo, tout à fait, de la Dichotomie sont " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Tu fais erreur. Si les paradoxes de Zénon étaient tous valides, cela signifierait que le monde ne peut pas être continu (à cause des paradoxes 1 et 2), mais ne peut pas être discontinu non plus (à cause des paradoxes 3 et 4). Le monde ne serait alors ni continu, ni discontinu, ce qui est absurde en vertu du principe du tiers-exclus. Il y a donc nécessairement une faille dans les raisonnements de Zénon ...

Non : voir la conclusion de Zafiropulo sur les arguments cinématiques donnée ci-dessus. L'autre hypothèse étant que ni Zénon ni personne d'autre à l'époque ne disposait de quoi décrire mathématiquement et/ou physiquement le mouvement, ce que montre, a contrario, par l'absurde, ces arguments. Le principe du tiers exclu est découvert par Aristote !

C'est Magni qui souligne :

La conclusion de Zénon est erronée parce qu'il aurait du conclure que le mouvement est possible.

Moui, que le mouvement est possible, je crois que tout le monde est au courant. Tu peux penser ce que tu veux des prémisses des arguments, mais tu n'as pas le droit de les oublier. Et si une prémisse ou la combinaison de deux prémisses conduit à la négation du mouvement, c'est qu'une prémisse, voire la combinaison voire les deux prémisses, est erronée, pas le raisonnement.

La revue [" La revue de métaphysique et de morale "] est distribuée sur cairn.info : https://www.cairn.info/revue-de-metaphysique-et-de-morale.htm
)

Je n'ai jamais lu cette revue, par contre c'est un pilier des bibliographies, elle est souvent citée, ils ont fait du bon travail.

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui a une valeur unique.

Zénon n'a jamais dit une chose pareille, il ne va pas aussi loin, il dit simplement que la dichotomie est inactualisable parce que la tâche serait infinie, c'est tout.

Je résume mon propos : est-ce que quelqu'un, en acceptant les prémisses, voit une erreur de raisonnement dans les quatre arguments cinématiques ?

[quid]

un intervalle entre deux réels distincts qu'on coupe en deux une infinité de fois, ça pointe vers un intervalle non nul ou vers un singleton ?

Ça pointe vers un singleton

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui est unique.

Ben non, puisqu'il n'y a pas de "dernière" étape à une infinité d'étapes. C'est bien pour ça que l'objet ne peut pas avancer : il ne sait pas quelle distance couvrir en premier, puisqu'il n'y en a pas !

Si tu dis qu'une infinité d'étape de divisions ne peut pas épuiser un ensemble de cardinal infini, alors pour être cohérent tu dois dire que la formule de Leibniz ne pointe pas vers Pi.

Je pense que vous avez chacun raison d'une certaine manière :
Je cite de puis Wikipédia :

En mathématiques, de manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de « se rapprocher ».

Le terme important est "se rapprocher" et Léonhard a validé le terme "pointe". Ce qui ne veux pas dire qu'il y a "un dernier terme". Pointer ne veut pas dire rejoindre, et c'est justement la critique de Zénon.
Cependant les mathématiques ont entériné que "à l'infini", une suite convergente rejoignait la valeur de convergence effectivement.

Pourtant, sous la forme d'un tracé de courbe, une courbe ne rejoint jamais l'asymptote représentant la limite de convergence, sinon ce ne serait pas une asymptote :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Asymptote

Mais mathématiquement dans le domaine des nombres réels, qui permettent justement de valider ce principe "à l'infini", cela permet de résoudre ce genre de problématique.
C'est un peu ce que savent faire les mathématiques en terme d'abstraction. Et là il s'agit, de manière abstraite, par la pensée, de réaliser l'infini en acte.

Avec les nombres réels, l'infini peut être réalisé en acte, être finalisé en quelque sorte. Pourquoi s'en étonner lorsque l'on peut poser qu'un point n'a pas d'épaisseur et que pourtant en en alignant une infinité, on va quand même obtenir une ligne continu. (bon ce n'est pas tout à fait la démarche je crois)

Lorsque l'on pose 1/3 (un tier) sur le papier, on n'a aucun doute que cela correspond à un nombre qui a une réalité, donc que cela est réalisable. Pourtant en notation décimale (si l'on procède effectivement à la division), cela correspond à 0.33333... avec des 3 à l'infini. En fait, lorsqu'on l'écrit sous sa forme décimale on fait la réalisation de la suite décimale infinie en pensée. On pense que l'ajout infini de 3 après la décimale fait inéluctablement converger vers le nombre "pointé". Ce nombre étant supposé existant (il est bien quelque part sur un segment de droite représentant les nombres réels de 0 à 1), le procédé de réalisation de l'infini de la périodicité des décimales par la pensée est jugé comme valable.

De la même manière, on peut noter le nombre "un" par sa notation entière "1", cela ne nous semble pas un problème de résolution de quelque chose d'infini.
Mais on doit pouvoir considérer que : (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) est aussi une notation pour le nombre 1, que l'on puisse réaliser le calcul de l'opération infinie par la pensée du moment que l'on est sûr que cette opération mathématique converge vers le nombre 1. (On pourrait aussi représenter 0.33333.. par la formule (0.3 + 0.03 + 0.003 + ...) ).

Un nombre inscrit à l'aide de chiffres ou une formule mathématique avec des nombres, même si la notation et le calcul induit demande une réalisation en pensée d'un infini, cela reste une notation valable pour le nombre ciblé par la notation. Du moment que l'on peut réaliser la notation infinie en pensée, que cela soit l'expression d'une répétition de chiffre ou d'un calcul, la notation a bien semble-t-il une identité avec le nombre.

[Magni]

Déjà cité, le traitement de la Dichotomie par Zafiropulo :

(en note de l'auteur : " C'était alors la seule échappatoire possible car le calcul infinitésimal n'existait pas plus que la théorie de la connaissance ")

Ce à quoi j'ajoute, personne dans l'antiquité n'a jamais taxé Zénon de sophiste, et Platon et Aristote qui sont rarement d'accord, le sont pourtant sur ce point, ils disent tous les deux explicitement que Zénon est l'inventeur de la dialectique.

Zénon a prouvé que personne a son époque ne savait calculer un mouvement.
C'est ça la performance de Zénon.
Tout le monde sait que les conclusions sont fausses, le problème c'est de trouver où c'est faux.

Donc soit les prémisses soit le raisonnement est faux, puisqu'on sait que la conclusion est erronée.
Et oui, le fait que la conclusion est erronée est délibéré de la part de Zénon, mais il fait erreur de croire que son raisonnement est imparable, il l'était seulement aussi longtemps qu'on n'a pas su faire de calcul infinitésimal.


Zénon te propose de démontrer que son raisonnement est faux !

Son raisonnement est faux "car le calcul infinitésimal n'existait pas". Dixit Zafiropulo.

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui a une valeur unique.

Zénon n'a jamais dit une chose pareille, il ne va pas aussi loin, il dit simplement que la dichotomie est inactualisable parce que la tâche serait infinie, c'est tout.

La tache est réalisable avec le calcul infinitésimal, l'argument de Zénon est faux parce qu'il dit qu'on ne peut pas finir, ce qui est strictement la même chose que dire qu'on ne peut pas trouver un dernier terme a une fonction récursive.

Même si Zénon n'a jamais dit "fonction récursive" il a mathématiquement défini cette chose.

[Leonhard]

La tache est réalisable avec le calcul infinitésimal

Les maths permettent de calculer la limite d'une suite infinie. Par exemple, la limite de la suite 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... est 0.

Mais la limite d'une suite n'est pas le dernier terme de la suite (qui n'existe pas). Aucun terme de la suite ci-dessus ne vaut strictement 0. Par contre, ils se rapprochent tous de 0, ils tendent vers 0, sans jamais l'atteindre.

Comme il n'y a pas de dernier terme à cette suite, y compris en maths, le raisonnement de la Dichotomie affirme donc qu'il n'y a pas de première distance à parcourir pour l'objet. Donc, l'objet ne peut entamer son mouvement.

[Vanleers]

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

[Leonhard]

Je résume mon propos : est-ce que quelqu'un, en acceptant les prémisses, voit une erreur de raisonnement dans les quatre arguments cinématiques ?

Le problème, c'est que si tu changes les prémisses, alors le raisonnement aussi change. Il y a le raisonnement de Zafiropulo, dont la prémisse est "espace divisible à l'infini et temps non divisible à l'infini", et qui conclut que le mouvement est impossible. Ce raisonnement me semble invalide même en acceptant ses prémisses, comme je l'ai déjà dit :

En effet, en supposant que le temps [n'est pas] divisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.

Je reformule cette analyse :

Imaginons que l'intervalle minimal entre deux instants temporels soit de 1 seconde, qui est alors notre unité irréductible de temps.
Imaginons qu'un objet se déplace, a priori, à une vitesse de 1 mètre par seconde. (Une balle qui roule, par exemple.)

Peut-on appliquer le raisonnement de la Dichotomie à cette configuration pour conclure que le mouvement est impossible ? Non. En effet, le raisonnement commencerait par dire que "avant de couvrir 1 mètre, l'objet doit d'abord couvrir 1/2 mètre". Mais rien que cela, c'est déjà absurde. En effet, compte tenu de la vitesse de l'objet, il parcourt en principe 1 mètre en 1 seconde. Et comme la seconde est l'unité irréductible de temps, il n'y a pas d'instant avant 1 seconde (autre que 0 seconde, bien sûr). L'objet n'a donc pas à parcourir quoi que ce soit "avant" d'atteindre 1 mètre. L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Ça, c'est pour le raisonnement de Zafiropulo.

Quant au raisonnement de Zénon, dont la prémisse est communément reconnue comme étant "espace divisible à l'infini et temps divisible à l'infini", la question de savoir s'il est valide en acceptant sa prémisse, est exactement la question inaugurale de ce fil de discussion.

[Leonhard]

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

Ce n'est pas complet.

Bien sûr qu'il faut partir de A. Mais pour ne pas rester en A, il faut atteindre un premier A' au-delà de A. Et le paradoxe tient au fait que ce fameux A' n'existe pas... Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A.

[Magni]

Deux réels consécutifs ne sont pas distincts

Dans ce cas, il ne s'agit pas de deux réels consécutifs, mais d'un seul et unique réel, en vertu de la loi de trichotomie qui dit que quels que soient deux réels x et y, soit xy. Impossible pour toi de défendre à la fois que 0 < S(0) et que 0 = S(0).

Comme je le disais, la trichotomie donne l'ordre entre des réels qui ont une différence au niveau de la cardinalité.

Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel et de Bernays, le principe de la trichotomie tient entre les nombres cardinaux des ensembles bien ordonnés même sans l'axiome du choix.

Trichotomie

Les transcendants sont non dénombrables, ils ont entre eux la puissance du continu

Les transcendants ne forment pas un ensemble continu.

C'est une erreur, les transcendants sont non dénombrables !


Il n'y a aucun axiome qui implique que deux réels qui ont la même cardinalité doivent avoir le même ordre et il n'y aucun axiome qui implique que deux réels qui n'ont pas le même ordre doivent avoir une cardinalité différente.

Ce que la trichotomie affirme, c'est que deux réels qui n'ont pas la même cardinalité n'ont pas le même ordre.
Ce n'est pas bijectif, cardinalité différente implique ordre différent mais ordre différent n'implique pas cardinalité différente.

Si on prend des algébriques dénombrables, ordre et cardinalité c'est pareil.
Si on prend des transcendants non dénombrables, ordre et cardinalité c'est différent.





Maintenant :

L'ensemble des réels est il un ensemble bien ordonné ?


Si l'ensemble des réels est un ensemble bien ordonné, alors chaque réel a un ordre stricte par rapport a tous les autres, et cela veut dire qu'ils sont tous dans un ordre spécifique, un par un les uns après les autres.


Le fait qu'on ne peut pas dénombrer les réels dans un intervalle ne signifie pas qu'il sont désordonnés, le fait qu'on ne peut pas connaître le réel suivant d'un réel connu ne signifie pas que le réel suivant n'existe pas.

[Leonhard]

Comme je le disais, la trichotomie donne l'ordre entre des réels qui ont une différence au niveau de la cardinalité.

La "cardinalité d'un réel", ça ne veut rien dire. La cardinalité d'un ensemble, ça, ça a du sens. Or, un réel (autre que naturel) n'est pas un ensemble. Tu n'as juste pas bien saisi le concept de cardinalité.

Les transcendants sont non dénombrables, ils ont entre eux la puissance du continu

Les transcendants ne forment pas un ensemble continu.

C'est une erreur, les transcendants sont non dénombrables !

Les transcendants sont non dénombrables et ne forment pas un ensemble continu. Car être non dénombrable ne suffit pas pour être continu (c.-à-d. ne pas avoir de "trou"). Et c'est facile à prouver : entre deux transcendants a et b, il existe toujours un rationnel qui les sépare, donc les transcendants seuls ont des trous partout. Dans le jargon, on dit que les irrationnels forment un ensemble totalement discontinu.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel#Propri%C3%A9t%C3%A9s_topologiques

Voilà une nouveauté pour toi : il ne suffit pas d'être non dénombrable pour être continu. Tu peux aller voir l'énigme 2 de ce fil de discussion.

Il n'y a aucun axiome qui implique que deux réels qui ont la même cardinalité doivent avoir le même ordre et il n'y aucun axiome qui implique que deux réels qui n'ont pas le même ordre doivent avoir une cardinalité différente.

Sauf que la cardinalité d'un réel, ça ne veut rien dire. Si tu veux me contredire, c'est simple : tu dois donner une définition de la "cardinalité d'un réel".

Si l'ensemble des réels est un ensemble bien ordonné, alors chaque réel a un ordre stricte par rapport a tous les autres, et cela veut dire qu'ils sont tous dans un ordre spécifique, un par un les uns après les autres.

La partie soulignée est fausse. Par définition, l'ordre est strict lors pour tous éléments a et b, on a soit a < b, soit a = b, soit a > b. Aucun axiome des ordres stricts n'affirme qu'un élément possède un prédécesseur et un successeur immédiats.

Le fait qu'on ne peut pas dénombrer les réels dans un intervalle ne signifie pas qu'il sont désordonnés, le fait qu'on ne peut pas connaître le réel suivant d'un réel connu ne signifie pas que le réel suivant n'existe pas.

J'ai démontré que le successeur d'un réel n'existe pas à partir d'une preuve d'inexistence, et non à partir de l'examen de la possibilité de les connaître. Si tu veux me contredire, tu dois exhiber une faille dans la démonstration ci-dessous :

Magni, tu devrais vraiment revoir tes maths de base...

Concentrons-nous sur l'intervalle [0,1]. On peut définir le successeur de 0 comme étant le nombre, noté S(0) qui vérifie les conditions suivantes :

1. S(0) est un nombre réel.
   
2. 0 < S(0) : en effet, si S(0) était égal à 0, ça ne serait pas "le nombre immédiatement après 0".
   
3. Quel que soit le nombre réel x dans [0,1], autre que 0 et S(0), on a que 0 < S(0) < x : en effet, ceci signifie que S(0) est le réel le plus proche de 0 parmi tous les autres réels de [0,1].
   

Il découle alors de cette simple définition que :

• S(0)/2 est un nombre réel : en effet, tout réel peut être divisé par deux, et le résultat est encore un réel.
  
• S(0)/2 > 0 : en effet, tout réel positif divisé par 2 donne un réel positif.
  
• S(0)/2 < S(0) : en effet, la moitié d'un réel est toujours strictement inférieure à ce réel.
  

Les deux dernières égalités signifient que :

0 < S(0)/2 < S(0)

En notant x = S(0)/2, on a alors construit un réel x, différent de 0 et de S(0), qui est encore plus proche de 0 que ne l'est S(0), ce qui viole la prémisse 3 ci-dessus.

Cela prouve que cette prémisse 3 est nécessairement fausse. Or, c'est une prémisse qui définit le successeur de 0, ce qui signifie que ce concept même est absurde.

[Magni]

La tache est réalisable avec le calcul infinitésimal

Les maths permettent de calculer la limite d'une suite infinie. Par exemple, la limite de la suite 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... est 0.

Mais la limite d'une suite n'est pas le dernier terme de la suite (qui n'existe pas). Aucun terme de la suite ci-dessus ne vaut strictement 0. Par contre, ils se rapprochent tous de 0, ils tendent vers 0, sans jamais l'atteindre.

Comme il n'y a pas de dernier terme à cette suite, y compris en maths, le raisonnement de la Dichotomie affirme donc qu'il n'y a pas de première distance à parcourir pour l'objet. Donc, l'objet ne peut entamer son mouvement.

En math, une somme de termes infinie n'a pas de dernier terme, d'accord, mais cela ne signifie pas que la somme de l'infinité de tous ces termes n'existe pas.
(une soustraction de termes infinie n'est qu'une sommation infinie de terme négatifs)


La première distance a parcourir existe. Il y a bien un début au segment.
Dire qu'il n'y a pas de première distance c'est comme dire qu'il n'y a pas de début a un segment. C'est une erreur.

Zénon a montré qu'on ne savait pas calculer le début d'un segment a son époque,
Cela ne montre pas qu'un segment n'a pas d'extrémité, ça montre les limites des mathématiques de son époque.

[Leonhard]

La première distance a parcourir existe.

J'ai déjà démontré que non, en montrant que le successeur de 0 n'existe pas. Et tu n'as jamais pu montrer de faille dans la démonstration.

[neopilina]

Il y a le raisonnement de Zafiropulo, dont la prémisse est "espace divisible à l'infini et temps non divisible à l'infini", et qui conclut que le mouvement est impossible. Ce raisonnement me semble invalide même en acceptant ses prémisses, comme je l'ai déjà dit :

En effet, en supposant que le temps [n'est pas] divisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.

Je reformule cette analyse :

Imaginons que l'intervalle minimal entre deux instants temporels soit de 1 seconde, qui est alors notre unité irréductible de temps.
Imaginons qu'un objet se déplace, a priori, à une vitesse de 1 mètre par seconde. (Une balle qui roule, par exemple.)

Peut-on appliquer le raisonnement de la Dichotomie à cette configuration pour conclure que le mouvement est impossible ? Non. En effet, le raisonnement commencerait par dire que "avant de couvrir 1 mètre, l'objet doit d'abord couvrir 1/2 mètre". Mais rien que cela, c'est déjà absurde. En effet, compte tenu de la vitesse de l'objet, il parcourt en principe 1 mètre en 1 seconde. Et comme la seconde est l'unité irréductible de temps, il n'y a pas d'instant avant 1 seconde (autre que 0 seconde, bien sûr). L'objet n'a donc pas à parcourir quoi que ce soit "avant" d'atteindre 1 mètre. L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Ça, c'est pour le raisonnement de Zafiropulo.

J'ai compris ce que j'ai lu, c'est bien ! Est-ce que ce type de mouvement existe dans la nature ?
Es-tu d'accord avec cela : tu considère que les prémisses de la Dichotomie ne sont pas parfaites parce qu'elles laissent subsister une possibilité théorique, mathématique en l'occurrence, au mouvement (alors que, je le rappelle, l'intention de Zénon est de formuler un énoncé qui le rend parfaitement impossible) ? Je requiers une réponse claire (i.e. pour un nul en maths !).

Je souligne :

Quant au raisonnement de Zénon, dont la prémisse est communément reconnue comme étant " espace divisible à l'infini et temps divisible à l'infini ", la question de savoir s'il est valide en acceptant sa prémisse, est exactement la question inaugurale de ce fil de discussion.

Là, il y a un petit " souci ", ces prémisses, " espace infiniment divisible, temps infiniment divisible ", sont celles de l'Achille ! :

- 2° Espace infiniment divisible, temps infiniment divisible. Supposons deux mobiles parcourant la même trajectoire avec des vitesses différentes. Le mobile le plus lent part en premier. Quand le mobile le plus rapide s'élancera à son tour, if faudra, avant qu'il ne rattrape son concurrent, qu'il arrive tout d'abord à la position que celui-ci occupait au moment où lui-même (mobile le plus rapide des deux) a pris le départ. Mais pendant qu'il effectue ce premier trajet, son antagoniste, continuant sa course, l'aura devancé à nouveau. Il y aura donc un nouveau point par lequel le mobile plus rapide devra passer avant de rejoindre le moins rapide et celui-ci n'y attendra pas son rival. Il ne l'attendra nulle part et Achille n'atteindra jamais la tortue (Aristote, Phy., Z 9. 239 b 14, D 29 A 26). En effet la division du temps, même poussée à l'infini, donne par définition des unités discrètes puisque nous avons admis l'hypothèse de la discontinuité. Mais ici la division de l'espace étant différentielle il arrive toujours un moment où elle produira un infiniment petit par rapport à l'unité de distance qui est à chaque instant la distance que parcourt le mobile le moins rapide pendant l'unité de temps choisie, même si cette unité choisie est elle aussi un infiniment petit. Autrement dit, les deux infinités ne sont pas du même ordre. On se voit ramené au cas précédent : il est impossible d'effectuer un nombre de contacts infinis dans un temps fini et à fortiori dans un temps infiniment court. Donc le mobile le plus rapide ne rattrapera jamais le moins rapide. Or, il est évident qu'il le rattrape, donc le langage choisi pour décrire le mouvement est à nouveau inadéquat et doit être rejeté.

Et puis. Zafiropulo est un mathématicien, et quand il décide de parler des arguments cinématiques, il ne fait pas appel à celles-ci. Dans un autre ouvrage, " Vox Zenonis ", il y revient, de façon moins détaillée que dans sa monographie sur les éléates que j'ai cité jusqu'à maintenant. Dans " Vox Zenonis ", on lit :

Zénon, loin de s'attacher à démontrer des absurdités, a au contraire établi un théorème fort général et éternel, dont nous retrouverons l'écho à travers toute la physique. On peut le formuler ainsi : " un langage impliquant la discontinuité ne peut jamais, sans contradiction dans ses termes, décrire le mouvement, que ce langage se serve pour cette description d'unités finies ou d'unités infiniment petites " (note 34). Comme les Pythagoriciens présupposaient la discontinuité, tous leurs raisonnements étaient prouvés fautifs par la démonstration du théorème de Zénon.

Note 34 : Les arguments de Zénon ont alimenté, à travers les siècles, toute une littérature. A notre époque Whitehead, Russel, Bridgmann, Findlay, Grünbaum, etc., leur ont consacré de savantes études. Comme démonstration d'un théorème sur le langage, tel que nous le citons, ces arguments sont absolument irréfutables. Si on les transpose du " langage " à la " réalité " ces arguments deviennent fautifs. Zénon a soigneusement évité cette erreur. Dans une multiplicité cantorienne ces arguments ne se posent même pas et Russel a démontré que l'on pouvait les éviter en donnant à l'infini la double définition suivante : a, Ce qui ne peut être atteint par induction mathématique en partant de 1, b, Ce qui comporte des parties ayant même nombre de termes que le tout. Les arguments de Russel et de Grünbaum sont tout à fait convaincants, mais ils ne réfutent pas Zénon, d'abord parce qu'ils suppriment la discontinuité par les définitions mêmes qu'ils adoptent et parce qu'il s'attaque à l'objectivité [comme si Zénon voulait vraiment nier le mouvement], non au langage [à la forme de discours utilisé par Zénon qui est la dialectique]. L'Eléate n'est plus sur son terrain. Ces messieurs ont raison, Zénon a raison aussi et, comme nous aurons l'occasion de le voir par la suite, chaque fois que la science se retrouve dans la position qu'elle occupait vers le milieu du V° siècle avant notre ère, elle rencontre les mêmes difficultés que l'eléate fut le premier à mettre en lumière.

Commentaire philosophique. De façon sous-jacente, avec Zénon, il est bien question de l'Etant, du signifiant, en tant que tel, du, des, discours en général, en soi.

Je souligne :

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

Ce n'est pas complet.

Bien sûr qu'il faut partir de A. Mais pour ne pas rester en A, il faut atteindre un premier A' au-delà de A. Et le paradoxe tient au fait que ce fameux A' n'existe pas. Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A.

" Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A ", effectivement, dans la littérature spécialisée on peut lire cela.

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.

Zafiropulo est un mathématicien, un physicien, un logicien, quand il évoque les mathématiques et la physique, estime que ici ou là il peut aborder un thème mathématiquement ou physiquement, il le fait, et je ne comprends plus rien. Déjà dit, il ne le fait pas avec Zénon, il a de bonnes raisons.

[hks]

si je peux me permettre de citer  un extrait du Parménide de Platon

« Tu n’as pas vu, dit Zénon à Socrate, que mon ouvrage n’a pas de prétention, qu’il n’a pas été composé dans l’intention que tu supposes, et que je ne fais point mystère de ce qu’il renferme, comme si c’était quelque chose d’extraordinaire. Mais tu as bien vu que c’est une défense de Parménide contre ceux qui l’attaquent par des plaisanteries, prétendant que si l’Être est un, il en résulte beaucoup de conséquences ridicules et contradictoires. Mon livre répond aux partisans du multiple : il leur rend la pareille, avec usure, et fait voir qu’il résulte des conséquences encore plus ridicules de l’hypothèse du multiple que de celle de l’unité, si on l’examine attentivement. C’est pour soutenir cette dispute que je l’ai écrit dans ma jeunesse : on me l’a dérobé, et je n’ai pu délibérer s’il fallait le publier ou non. Tu te trompes donc, Socrate, en croyant que je n’ai pas écrit cet ouvrage dans ma jeunesse par amour de la dispute, mais par ambition dans un âge avancé[7]. »   https://fr.wikisource.org/wiki/Les_Arguments_de_Z%C3%A9non_d%E2%80%99%C3%89l%C3%A9e_contre_le_mouvement#cite_ref-7

On peut certes démontrer mathématiquement que les arguments de Zenon ne disqualifie pas vraiment l'idée de discontinuité réelle (matérielle).
ce qui n'empêche pas de pouvoir conserver la thèse de la continuité.

On peut avoir mal disqualifié l'adversaire (le discontinu)
il faudrait, certes sans doute s'y prendre autrement.
Mais à charge des partisans du discontinu de prouver que la thèse du continu est irrecevable.
Ce qui semble bien plus difficile que de critiquer Zenon sur sa méthode des paradoxes.

[neopilina]

« Tu n’as pas vu, dit Zénon à Socrate, que mon ouvrage n’a pas de prétention, qu’il n’a pas été composé dans l’intention que tu supposes, et que je ne fais point mystère de ce qu’il renferme, comme si c’était quelque chose d’extraordinaire. Mais tu as bien vu que c’est une défense de Parménide contre ceux qui l’attaquent par des plaisanteries, prétendant que si l’Être est un, il en résulte beaucoup de conséquences ridicules et contradictoires. Mon livre répond aux partisans du multiple : il leur rend la pareille, avec usure, et fait voir qu’il résulte des conséquences encore plus ridicules de l’hypothèse du multiple que de celle de l’unité, si on l’examine attentivement.

Voilà qui dit très bien les intentions de Zénon. Et elles sont souvent oubliées.

On peut avoir mal disqualifié l'adversaire (le discontinu).
Il faudrait, certes sans doute s'y prendre autrement.
Mais à charge des partisans du discontinu de prouver que la thèse du continu est irrecevable.
Ce qui semble bien plus difficile que de critiquer Zénon sur sa méthode des paradoxes.

Bien sûr, le problème particulier des arguments cinématiques, de cet ensemble, sciemment conçu comme tel, cohérent et exhaustif avec un but précis (" Le pythagorisme est mort "), de ses qualités intrinsèques, s'intègre complétement dans le problème bien plus général du discontinu et du continu, et donc de la connaissance, comment dire les choses aussi bien que possible (objet de " Vox Zenonis ", Zafiropulo part du pythagorisme pour terminer avec la relativité générale, c'est de l'épistémologie des sciences). Et voilà pourquoi, in fine, avec Zénon, ça n'en finit jamais de rebondir.

Et donc, que " Digression " parvienne collectivement à un consensus; mine de rien, ça serait chouette !!  

[Magni]

Comme je le disais, la trichotomie donne l'ordre entre des réels qui ont une différence au niveau de la cardinalité.

La "cardinalité d'un réel", ça ne veut rien dire. La cardinalité d'un ensemble, ça, ça a du sens. Or, un réel (autre que naturel)

Le fait que "La cardinalité d'un ensemble" veut dire quelque chose n'est pas une preuve que "La cardinalité d'un réel" ne veut rien dire.

La cardinalité est une notion de taille, si un réel a une taille, il a une cardinalité.

Les transcendants sont non dénombrables, ils ont entre eux la puissance du continu

Les transcendants ne forment pas un ensemble continu.

C'est une erreur, les transcendants sont non dénombrables !

Les transcendants sont non dénombrables et ne forment pas un ensemble continu. Car être non dénombrable ne suffit pas pour être continu (c.-à-d. ne pas avoir de "trou"). Et c'est facile à prouver : entre deux transcendants a et b, il existe toujours un rationnel qui les sépare, donc les transcendants seuls ont des trous partout. Dans le jargon, on dit que les irrationnels forment un ensemble totalement discontinu.

Les transcendants sont non dénombrables, ils ont entre eux la puissance du continu.

Le fait qu'ils ne forment pas un ensemble unique et continu mais une infinité d'ensembles multiples et continus est un autre problème.

Je ne parle pas d'ensemble continu au niveau topologique, je parle de classe de nombres qui a la puissance du continu.
La puissance n'est pas topologique.
comme ordinal et cardinal , c'est pas pareil.
comme métaphysique et physique, c'est différent.

Donc, le fait qu'une classe de nombres soit indénombrable donne ipso facto la puissance du continu à cette classe de nombre.
Et non, l'ensemble des transcendants n'est pas un ensemble continu topologiquement, effectivement

A chaque fois qu'il y a un rationnel, cela interrompt le segment topologique des irrationnels.

Attention (j'ai lu une erreur sur ce point là) : Entre deux rationnels différents il y a toujours une infinité d'irrationnels, mais on peut trouver une infinité d'irrationnels consécutifs sans qu'il y ait un seul rationnel entre les deux !

Maintenant, oui, on trouve aussi des rationnels, par exemple, 0 et 1 sont des rationnels.
Après zéro qui est rationnel, il y a le rationnel suivant, car les rationnels sont dénombrables.
Mais entre zéro et le rationnel suivant, il y a une infinité d'irrationnels, et ce sont en grande majorité des transcendants.

Et ce qui semble difficile a comprendre mais qui est vrai, et je veux bien en discuter, c'est que après zéro, il y a un réel suivant, et que entre zéro et le réel suivant, il n'y a aucun réels.


Et la trichotomie ne s'applique pas entre un réel et le suivant parce qu'ils sont égaux du point de vue algébrique et parce que la trichotomie est une méthode d'algèbre mais le problème, c'est que les transcendants ne sont pas algébriques.
S'ils ont un développement décimal infini qui les défini entièrement, ce développement décimal infini n'est pas algébrique.
Note : après une infinité de décimales, il n'y a pas de dernière décimale, après une infinité de décimales il y a encore des décimales (il ne faut pas confondre ce qui ne s'arrête jamais avec ce qui n'a pas de commencement),
et pour la variation numérique des décimales différentes qui existent après une infinité de décimales, bien qu'il y ait une différence numérique et donc un ordre numérique, il n'y a aucune variation algébrique, au niveau algébrique, la trichotomie donne une égalité.

Donc, la trichotomie de donne pas de relation d'ordre entre deux réels non algébriques quelconques.

Attention :

En logique classique, l'axiome de la trichotomie tient à la comparaison ordinaire entre les nombres réels, et donc aussi pour les comparaisons entre entiers et entre nombres rationnels. Le principe ne tient en général pas en logique intuitionniste.

Ce n'est pas parce qu'une chose est vraie que l'opposé est forcément faux.
Contraire, opposé, symétrique: Trois mots, trois concepts.

De plus, les réels ordinaires ne sont pas des nombres transcendants, on connaît très peu de transcendants, même s'ils sont une classe de nombre qui a la puissance du continu.

Tout nombre transcendant n'est pas un nombre algébrique, donc, dans l'espace topologique à une dimension de l'axe des réels, a chaque fois qu'on rencontre un algébrique, l'ensemble des nombres transcendant qui sont alignés un par un les uns derrières les autres est interrompu, l'ensemble des transcendants n'est pas continu globalement, il a une infinité de segments continus contenant chacun une infinité de transcendants avec aucun algébrique dedans, et chaque segment est interrompu par un et un seul algébrique, car la classe des nombres algébriques n'a pas la puissance du continu.




Le cours est fini, exercice :

L'ensemble des réels est il un ensemble totalement ordonné ?
Motivez votre réponse.

tu dois donner une définition de la "cardinalité d'un réel".

Certes, j'admets. Ceci est une bonne question.

La cardinalité d'un nombre réel est la mesure comparative de la taille algébrique de ce nombre par rapport aux autres nombres réels réalisée par la relation algébrique de la trichotomie.

Si l'ensemble des réels est un ensemble bien ordonné, alors chaque réel a un ordre stricte par rapport a tous les autres, et cela veut dire qu'ils sont tous dans un ordre spécifique, un par un les uns après les autres.

La partie soulignée est fausse. Par définition, l'ordre est strict lors pour tous éléments a et b, on a soit a < b, soit a = b, soit a > b. Aucun axiome des ordres stricts n'affirme qu'un élément possède un prédécesseur et un successeur immédiats.

La partie soulignée est vrai: Le fait qu'aucun axiome des ordres stricts n'affirme qu'un élément possède un prédécesseur et un successeur immédiat n'interdit pas qu'un réel possède un prédécesseur et un successeur immédiat.

Dans un espace topologique a une seule dimension comme l'axe des réels, on peut dénombrer autant de réels qu'on veut dans une longueur aussi petite qu'on veut (et on ne pourra pas tous les dénombrer), mais en largeur on ne peut pas en mettre plusieurs.
Un par un à la file indienne, personne ne se double, et ce n'est pas deux par deux, c'est un par un : une seule dimension.

Le fait qu'on ne peut pas dénombrer les réels dans un intervalle ne signifie pas qu'il sont désordonnés, le fait qu'on ne peut pas connaître le réel suivant d'un réel connu ne signifie pas que le réel suivant n'existe pas.

J'ai démontré que le successeur d'un réel n'existe pas à partir d'une preuve d'inexistence, et non à partir de l'examen de la possibilité de les connaître.

Ta preuve n'est pas plus valide que celle de Zénon.
Le fait que tu ne peux pas connaître le successeur immédiat d'un réel donné ne signifie pas qu'il n'existe pas.

A tout réel il existe forcément un successeur. L'ensemble des réels n'est pas un singleton, les réels sont bijectifs vers un espace topologique à une seule dimension qui n'est bornée dans aucun de ses deux sens.

Le droite continue a une direction et deux sens, et pas de fin.

La droite continu topologique bijective sur l'ensemble des réels a des points partout, mais un seul point en chaque endroit unitaire. A chaque endroit unitaire donné succède l'endroit unitaire suivant dans chacun des deux sens de progression possible.

Le fait que les endroit unitaires ne sont pas dénombrables entre deux bornes distinctes n'a rien a voir avec le fait que les endroit unitaires se succèdent les uns après les autre seulement un par un et pas plusieurs a la fois.

Appliquons de l'absurde sur cette porte logique.

Si un endroit n'a pas un et un seul successeur immédiat, alors soit il n'a pas du tout de successeur, ce qui est faux, soit il a plusieurs successeurs immédiats, ce qui est faux, donc la prémisse est fausse, on déduit qu'un endroit donné, ou un réel donné, a un et un seul successeur immédiat.

Si tu veux me contredire, tu dois exhiber une faille dans la démonstration

Déja fait plusieurs fois.

[Magni]

La première distance a parcourir existe.

J'ai déjà démontré que non, en montrant que le successeur de 0 n'existe pas. Et tu n'as jamais pu montrer de faille dans la démonstration.

0 a pour successeur 1.

1 n'est pas le successeur immédiat de zéro, mais le successeur de zéro existe.

Si vraiment tu avais montré que zéro n'a pas de successeur, oui, ça aurait montré qu'il n'a pas de successeur immédiat.

Tu as seulement démontré qu'on ne peut pas calculer le successeur de zéro de la même façon qu'on peut démontrer qu'on ne peut pas calculer un nombre non algébrique comme Pi.

On ne peut pas déterminer Pi, mais Pi existe.

On ne peut pas déterminer le successeur immédiat de zéro, mais zéro a un successeur immédiat.

[neopilina]

(

à Magni,

Moi, par exemple cette nuit, message réédité x fois, " signé " ainsi "     ", j'ai bien vu qu'il fallait que je " débranche ", tu sais, ça peut arriver à tout le monde !  

)

[Magni]

Le calcul infinitésimal est hors de portée de l'algèbre, pour étudier l'infinitésimal, il faut avoir recours à l'analyse.

On peut utiliser la trichotomie sur n'importe quel réel, mais cette méthode est quelle que peu "ordinaire" si on veut comparer les réels contenus dans un intervalle ne contenant entre les bornes que des nombres non algébriques.

Il existe des segments continus (remplis, sans trou) de transcendants entre un nombre algébrique et le nombre algébrique suivant, ces deux nombres algébriques étant exclus de l'intervalle.

Vous ne pouvez pas différencier l'ordre de l'infinité de réels qui se trouvent là avec la trichotomie.
Cet intervalle est non nul mais infinitésimal, il n'y a aucun moyen de le mesurer, c'est hors de portée de l'algèbre.

La mesure c'est algébrique, ce qui est non algébrique est non mesurable.

De toute façon on ne connaît aucun couple de transcendants assez proches l'un de l'autre pour qu'il n'y ait pas des nombres algébrique entre les deux , donc la méthode ordinaire suffit bien pour tous les couples de nombres qu'on est capable de connaître.

Attention, ce n'est pas parce qu'on n'est pas capable de connaître un intervalle rempli seulement avec des transcendants que ce type d'intervalles n'existe pas. Ce type d'intervalle existe entre chaque nombre algébrique et le nombre algébrique suivant, bornes exclues.








Un réel est entièrement définis par son développement décimal infini.

L'ordre de deux réels quelconques est ordinairement défini par la trichotomie, mais pas entièrement.
Le cas ordinaire c'est quand on connaît les deux réels qu'on veut comparer avec la tricotomie.

On ne peut pas comparer avec la trichotomie un réel inconnu et le réel suivant qui est inconnaissable.
On ne peut pas non plus comparer avec la trichotomie un réel connu et le réel suivant qui est inconnaissable.


Et ce n'est pas parce que le réel immédiatement après zéro est inconnaissable et qu'on ne peut pas le comparer à zéro avec la trichotomie du fait qu'il est inconnaissable que ce réel n'existe pas.

[neopilina]

Dans " Vox Zenonis ", la conclusion des quelques pages consacrées à Zénon, " V - Les Objections de Zénon ", est la suivante :

Donc, quel que soit soit le système d'unité choisi, il est impossible, sans commettre de contradiction logique, de décrire le mouvement à l'aide d'un langage impliquant une description discontinue. C.Q.F.D.

En " VI - La solution d'Aristote ", Zafiropulo montre comment peu à peu, en commençant par Aristote, les difficultés mises en exergue par Zénon commenceront à être surmontées correctement. En fin de volume, on trouve " XII - La solution Einstein - De Broglie " et " XIII - L'objection de Kurt Goëdel ", puis la conclusion.

[Leonhard]

on peut trouver une infinité d'irrationnels consécutifs sans qu'il y ait un seul rationnel entre les deux !

Définis d'abord ce que sont deux irrationnels "consécutifs", et ensuite prouve cette affirmation. Parce que là, c'est juste des allégations gratuites sans fondement.

Et ne dis pas que deux irrationnels consécutifs sont deux irrationnels sans rationnel entre eux : car ça s'appelle une pétition de principe...

De toute façon, cette allégation est fausse. Voici la preuve constructive qu'il existe toujours un rationnel entre deux irrationnels quelconques.

Preuve :
Soient deux irrationnels arbitraires a et b. On a alors deux cas.

• Cas 1 : a et b n'ont pas la même partie entière. Mais alors, ça signifie qu'ils sont séparés par au moins un nombre entier. Par exemple, si a = racine 2 = 1,414213... et b = pi = 3,14159..., alors le nombre entier 2 est un séparateur.
  
  
• Cas 2 : a et b ont la même partie entière. Alors leurs parties décimales peuvent débuter (ou pas) par des chiffres en commun. Par exemple, on peut examiner a = racine de 2 et b = 100*pi/222, qui ont deux décimales communes au début :
  
  
  
  • a = racine de 2 = 1,414213...
    
  • b = 100*pi/222 = 1,415131...
    
  Il suffit alors de prendre le plus grand des deux (dans l'exemple, c'est b), de garder les décimales communes ainsi qu'une décimale supplémentaire. On obtient alors un nombre rationnel (car son écriture décimale est finie) qui se trouve entre a et b. Dans notre exemple, il s'agit du nombre 1,415 qui se trouve bien entre les deux irrationnels de départ :
  
  
  
  • 1,414213... < 1,415 < 1,415131...
    

Ce raisonnement vaut pour n'importe quel couple de nombres irrationnels, et prouve de façon constructive comment former un nombre rationnel qui les sépare.

Mais tu ne seras pas convaincu car j'ai constaté que notre échange a cessé d'être productif, faute de bases mathématiques communes. J'ai quand-même répondu ici car je trouvais la preuve ci-dessus intéressante à produire. Mais quand la vérité est soumise à l'opinion, il est inutile de discuter

[Magni]

D'accord, t'as encore rien compris, s'pas grave, ça reste artistique.

Puisque l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, l'ensemble des réels transcendants est non dénombrable (il a la puissance du continu), et presque tout nombre (parmi les réels ou les complexes) est transcendant.

Nombre transcendant


Presque tout nombre parmi les réels est transcendant.

Donc il y a beaucoup plus de transcendants (qui sont indénombrables) que d'algébriques (qui sont dénombrables).

Comme les algébrique sont dénombrables, il peut exister deux algébriques consécutifs et distincts algébriquement.

Entre ces deux nombres algébriques il n'y aucun autre nombre algébrique, mais comme il y a beaucoup plus de transcendants que d'algébriques, il y a entre ces deux nombres algébriques beaucoup plus de deux nombres transcendants.

Plus que deux nombres transcendants avec aucun algébriques entre eux, ça fait intervalle continu de transcendants avec aucun algébrique au milieu.

[Leonhard]

Donne-moi deux transcendants quelconques, et je te construis explicitement un rationnel qui les sépare, par ma démonstration précédente.

[Magni]

Répétez après moi:

Les algébriques sont dénombrables, les transcendants sont indénombrables
Presque tout nombre parmi les réels est transcendant.

On ne peut pas avoir un algébrique (les rationnels sont algébrique) entre chaque transcendants parce que, il y a plus de transcendant que d'algébrique.


C'est la base de la théorie des ensembles.

Cardinal de N= Cardinal de Q= Cardinal des constructibles = cardinal des algébriques < cardinal des transcendants.

Le cardinal de l'ensemble des transcendant, qui sont indénombrables, est plus grand que le cardinal des rationnels, qui sont dénombrables.


S'il y a plus de transcendants que de rationnels, il ne peut pas y avoir un rationnel entre chaque transcendant.

Au contraire, il y a une infinité indénombrable de nombres transcendants entre chaque rationnel dénombrable.



Vous avez compris ?
Des questions ?

[Magni]

Donne-moi deux transcendants quelconques, et je te construis explicitement un rationnel qui les sépare, par ma démonstration précédente.

Ta démonstration est nulle, elle ne vaut que pour les nombres qu'on peut distinguer algébriquement.
Les transcendants ne sont pas algébriques.


Essaye de me construire explicitement un rationnel entre Pi et le premier réel suivant.
Prouve moi que le premier nombre après Pi est rationnel.

Après Pi il y a plein de nombres, le premier des suivants existe, montre moi qu'il est rationnel.

[Magni]

S'il n'y a pas un premier nombre après zéro, alors il n'y a pas de deuxième nombre après zéro, et alors il n'y a pas du tout de nombre après zéro.

Donc, il y a un premier nombre après zéro.
Mais ce nombre est inconnaissable algébriquement, car il n'est pas algébrique (parce que les algébriques sont discrets et les transcendants sont continus entre les algébriques, donc après un algébrique, dans la continuité de l'ensemble topologique des réels, sans trou entre l'algébrique et le nombre suivant, il y a forcément un transcendant.).

Dans l'intervalle entre zéro et le nombre réel suivant, sur l'axe des réels qui est topologiquement continu, vous n'avec aucun nombre, ni rationnel ni irrationnel.

Dans l'intervalle entre zéro et le nombre algébrique suivant il y a quoi ?
Les algébriques étant dénombrables, l'intervalle entre un algébrique et le suivant existe et est non nul.
Dans n'importe quel intervalle non nul il y a une infinité de réels.

Question: tous ces réels dans l'intervalle non nul entre zéro et l'algébrique suivant, bornes exclues, sont ils tous algébriques, tous non algébriques, ou un mélange des deux ?




Essayez de répondre aux questions au lieu de rigoler.

[Magni]

Permettez ?


Strictement entre un algébrique et l'algébrique directement après il n'y a aucun algébrique, car l'algébrique directement après n'est pas strictement avant lui même (là on peut appliquer la trichotomie, c'est algébrique), et l'algébrique directement avant celui qui est directement après n'est pas strictement après lui même.



Donc, entre un algébrique et l'algébrique directement après, bornes exclues, il ne peut y avoir que des non algébriques, or cet intervalle est non nul (car les algébriques sont dénombrables) et cet intervalle contient une infinité de réels, et donc, tous ces réels sont non algébriques.



*Strictement entre = dans l'intervalle bornes exclues.

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