Re: Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[quid]

Cet ensemble est un joyau de la pensée humaine. Si on admet les prémisses, c'est " plié ", les quatre arguments sont impeccables.

Séduit par l'apparente élégance formelle de l'explication de Zafiropulo (4 paradoxes, 4 combinaisons possibles d'hypothèses, c'est trop beau pour être faux), tu en oublies d'examiner la pertinence. Tu ne la justifies jamais, et Zafiropulo non plus.

La combinaison d'hypothèses "espace divisible + temps indivisible" n'est pas un présupposé du paradoxe de la Dichotomie qui proviendrait d'une idéologie des anciens Grecs, c'est un présupposé de Zafiropulo. Pour cette raison, son raisonnement n'a pas d'intérêt.
...
La double-hypothèse "espace divisible + temps indivisible" ne permet même pas de poser le contexte initial de la Dichotomie, à savoir que "tout objet, pour parcourir L, doit d'abord parcourir L/2". En effet, c'est faux si sa vitesse est L/T où T est l'unité indivisible de temps. Ceci prouve que cette double-hypothèse n'est pas un présupposé possible de la Dichotomie.

Du coup j'ai essayé de chercher quelques autres sources à ce propos et j'ai trouvé ceci :

Les arguments de Zénon rapportés par Aristote sont au nombre de quatre et peuvent se répartir on deux groupes. Au premier appartiennent la dichotomie et l’Achille ; la flèche et le stade forment le second. Dans le premier groupe d’arguments, le temps et l’espace sont supposés continus et divisibles à l’infini ; dans le second, ils sont l’un et l’autre considérés comme discontinus et composés d’éléments indivisibles. Cette distinction, que M. Renouvier a le premier mise en lumière, n’est pas indiquée par Aristote, mais elle ressort incontestablement du texte, pour peu qu’on le lise avec attention. Les deux premiers arguments postulent d’une manière évidente la divisibilité indéfinie de l’espace. Sans doute le temps n’y est pas explicitement considéré ; mais la conclusion n’est intelligible que s’il est comme l’espace indéfiniment divisible, et qu’à la division de l’un corresponde point par point celle de l’autre. Au rebours, les deux derniers arguments postulent immédiatement l’indivisibilité des éléments du temps et médiatement celle des éléments de l’espace. Ainsi considéré, l’ensemble de ces raisonnements constitue un véritable dilemme. Deux suppositions sont possibles sur la nature de la quantité continue, étendue ou durée : ou cette quantité est, comme nous sommes naturellement portés à l’admettre et comme les mathématiciens le supposent, effectivement divisible à l’infini, ou sa continuité n’est qu’apparente et elle est réellement un agrégat d’éléments indivisibles, un véritable nombre formé d’unités absolues. Or dans l’une et l’autre hypothèse le mouvement est impossible.

Il est vrai qu’entre les deux alternatives on pourrait à la rigueur concevoir un moyen terme. On pourrait accorder l’infinie divisibilité de l’espace et nier celle du temps, ou inversement. Zénon, autant que nous en pouvons décider par les textes qui nous sont parvenus, n’a pas prévu cette échappatoire. Peut-être jugeait-il une pareille attitude trop ouvertement illogique pour qu’on fût tenté de la prendre.

[Magni]

On peut vraiment lancer un caillou contre un arbre ou rattraper un mobile qui va moins vite que nous même.
J'espère que personne ne conteste cela.



Donc, les conclusions de Zénon sont fausses.
Zénon lui même savait qu'on peut lancer un caillou contre un arbre, tout le monde devrait le savoir, c'est pourquoi on appelle les propositions de Zénon des paradoxes.

Avec ses fausses conclusions, Zénon a montré les lacunes des mathématiques de son temps.
Il n'a pas prouvé que tout mouvement est impossible, il a prouvé qu'on ne savait pas calculer un mouvement il y a 25 siècles !

Pourquoi ?
Pas a cause de ses prémisses, même si on ne sait pas lequel des cas de figure correspond au phénomène physique, un des cas de figures correspond au monde réel.

De fait, le raisonnement de Zénon est erroné, il a affirmé qu'une fonction récursive n'a pas de limite, c'est inexacte.

Les fonctions récursives convergentes ont une limite finie.

[Leonhard]

Donc, si vous avez un nombre, vous ne pouvez pas avoir le réel suivant, car le suivant est forcément itranscendant. Mais le réel suivant existe, parce que l'ensemble des réels à la puissance du continu.

C'est mathématiquement faux. Par exemple, il n'y a pas de "réel suivant" après le nombre 1.

Démonstration : supposons que x soit le "réel suivant" après 1. Cela signifie donc que x est le réel plus grand que 1 le plus proche de 1 (sinon il ne serait pas le "suivant"). Or, x/2 est encore plus proche de 1 que ne l'était x, ce qui contredit l'hypothèse que x était le "réel suivant".

Conclusion il n'existe pas de "réel suivant" après 1 tout court, qu'il soit transcendant ou pas. Un nombre réel n'a pas de voisin direct.

Vous venez seulement de prouver que vous ne pouvez pas calculer la valeur exacte du réel qui se trouve immédiatement après 1.

1 étant un réel déterminé, vous ne pouvez pas déterminer quel est le suivant, mais le suivant existe.

Non, j'ai prouvé que "le réel immédiatement après 1" n'existe pas tout court. C'est une preuve d'inexistence, qui n'a rien à voir avec la calculabilité.

Si vous voulez que deux réels ne puissent pas être contigus, si vous voulez qu'il y ait des trous entre les réels, alors il faut affirmer que le continu soit discret ...

Pensez vous que le continu est discret ?
Ou allez vous admettre qu'il n'y a pas de trou entre les réels ?

Tu as tout faux. Les réels sont continus, il n'y a pas de "trou" sur la droite des réels, et en même temps un réel n'a aucun voisin direct.

Et c'est normal : si tout réel x avait un successeur direct qu'on pourrait noter S(x), alors on pourrait former la suite 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ... qui couvrirait tous les réels à partir de 0. On aurait alors numéroté tous les réels par des naturels, et les réels seraient dénombrables, ce qui est contradictoire. L'existence pour chaque nombre d'un "successeur" immédiat est même un axiome des nombres naturels, en fait. Tout ceci montre bien qu'un réel n'a pas de successeur réel direct.

On peut vraiment lancer un caillou contre un arbre ou rattraper un mobile qui va moins vite que nous même.
J'espère que personne ne conteste cela.



Donc, les conclusions de Zénon sont fausses.

Tout le monde est d'accord avec cela. La question est : où se trouve exactement la faille dans le raisonnement de la Dichotomie ? Dire simplement que ce raisonnement est faux (ce qui doit être le cas, vu que les objets bougent manifestement) ne répond pas à cette question (et aligner 10 équations de maths n'aide pas).

[Leonhard]

Du coup j'ai essayé de chercher quelques autres sources à ce propos et j'ai trouvé ceci :

Les arguments de Zénon rapportés par Aristote sont au nombre de quatre et peuvent se répartir on deux groupes. Au premier appartiennent la dichotomie et l’Achille ; la flèche et le stade forment le second. Dans le premier groupe d’arguments, le temps et l’espace sont supposés continus et divisibles à l’infini ; dans le second, ils sont l’un et l’autre considérés comme discontinus et composés d’éléments indivisibles. Cette distinction, que M. Renouvier a le premier mise en lumière, n’est pas indiquée par Aristote, mais elle ressort incontestablement du texte, pour peu qu’on le lise avec attention. Les deux premiers arguments postulent d’une manière évidente la divisibilité indéfinie de l’espace. Sans doute le temps n’y est pas explicitement considéré ; mais la conclusion n’est intelligible que s’il est comme l’espace indéfiniment divisible, et qu’à la division de l’un corresponde point par point celle de l’autre. Au rebours, les deux derniers arguments postulent immédiatement l’indivisibilité des éléments du temps et médiatement celle des éléments de l’espace. Ainsi considéré, l’ensemble de ces raisonnements constitue un véritable dilemme. Deux suppositions sont possibles sur la nature de la quantité continue, étendue ou durée : ou cette quantité est, comme nous sommes naturellement portés à l’admettre et comme les mathématiciens le supposent, effectivement divisible à l’infini, ou sa continuité n’est qu’apparente et elle est réellement un agrégat d’éléments indivisibles, un véritable nombre formé d’unités absolues. Or dans l’une et l’autre hypothèse le mouvement est impossible.

Il est vrai qu’entre les deux alternatives on pourrait à la rigueur concevoir un moyen terme. On pourrait accorder l’infinie divisibilité de l’espace et nier celle du temps, ou inversement. Zénon, autant que nous en pouvons décider par les textes qui nous sont parvenus, n’a pas prévu cette échappatoire. Peut-être jugeait-il une pareille attitude trop ouvertement illogique pour qu’on fût tenté de la prendre.

Voilà qui est beaucoup plus solide, merci ! La partie soulignée est l'interprétation actuelle la plus consistante du contexte du paradoxe de la Dichotomie : espace et temps sont divisibles à l'infini.

Le dernier paragraphe est excellent de lucidité. En effet, il aurait été absurde de considérer une combinaison de type "espace divisible + temps indivisible", pour les raisons que j'ai déjà mentionnées plus haut.

[neopilina]

Ces arguments ont tenu les mathématiciens en échec pendant deux millénaires. C'est bien !
Mais on n'est plus au moyen âge.

Les paradoxes de Zénon représentaient un problème important pour les philosophes antiques et médiévaux, qui n'ont trouvé aucune solution satisfaisante jusqu'au XVIIe siècle, avec le développement en mathématiques de résultats sur les suites infinies et de l'analyse.

Zénon attaque les mathématiques pythagoriciennes, qui tiennent le haut du pavé à ce moment là. Mais, " petits problèmes " :
- Les pythagoriciens ont a priori une approche discrète du réel (temps, espace, etc.).
- Ils vivent une crise formidable avec l'apparition des irrationnels. Ils travaillent dessus tout en essayant de sauver l'approche discrète, ce qui donnent des thèses, hypothèses, postulats, etc., exotiques à souhaits, in fine intenables.
- Ce que Zénon va se proposer de montrer avec les arguments cinématiques. Ce qui m'amène directement au point suivant, je souligne :

En termes et en notations modernes, la durée du parcours décomposé à la façon de Zénon s'écrit, à un choix d'unité près, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2n + ... . Cette addition d'une infinité de nombres est une série numérique. Or il s'agit d'une série convergente : plus on additionne de termes, plus le résultat se rapproche, d'aussi près que souhaité, du nombre 2, qui constitue la « somme » de la série. Que cette somme soit un nombre fini prouve que la conclusion de Zénon était erronée : le temps de parcours est fini.

Jean Pierre Ramis - Les séries divergentes

Répétez après moi : la conclusion de Zénon était erronée

Zénon sait parfaitement que le temps de parcours est fini. La conclusion de Zénon n'est pas " erronée ", elle est absurde, et c'est voulu. Les arguments de Zénon n'exprime pas la pensée de Zénon : ils mettent en scène les conséquences absurdes de thèses de l'adversaire, les pythagoriciens, en plein désarroi, qui ne savent plus quoi faire, dire, en se cramponnant à leur vision discrète du réel et ce en travaillant sur les irrationnels, ce n'est donc pas Zénon qui a tort mais les pythagoriciens et c'est ce que voulait montrer Zénon.

Je souligne :

Cet ensemble est un joyau de la pensée humaine. Si on admet les prémisses, c'est " plié ", les quatre arguments sont impeccables.

Séduit par l'apparente élégance formelle de l'explication de Zafiropulo (4 paradoxes, 4 combinaisons possibles d'hypothèses, c'est trop beau pour être faux), tu en oublies d'examiner la pertinence. Tu ne la justifies jamais, et Zafiropulo non plus.

La combinaison d'hypothèses "espace divisible + temps indivisible" n'est pas un présupposé du paradoxe de la Dichotomie qui proviendrait d'une idéologie des anciens Grecs, c'est un présupposé de Zafiropulo. Pour cette raison, son raisonnement n'a pas d'intérêt.

Pour " et Zafiropulo non plus ", tu m'accorderas que lire Zafiropulo est le meilleur moyen d'en juger, de s'en faire une idée par soi-même. Il a pris la peine, avec d'autres (" De Pythagore à Euclide ", de Paul-Henri Michel, qui, forcément, s'étend encore plus sur la dite crise en général, où s'inscrivent les arguments cinématiques, etc.) de tout remettre dans son contexte, notamment celui des mathématiques pythagoriciennes. Et puis Zafiropulo n'a certainement pas ni la primauté ni l'exclusivité de ce genre d'élucidation des prémisses. J'y reviendrais ci-dessous, l'ami Quid a eu l'excellente idée de citer un texte qui parle de Charles Renouvier, que j'ai également lu. Que les arguments reposent sur des prémisses, des " présupposés ", concernant le temps et l'espace, c'est compris bien avant Zafiropulo, c'est compris à l'époque, et explicite chez Aristote " quand il réfute Zénon ", même Aristote a déjà oublié que Zénon attaque les pythagoriciens, cela s'inscrit dans le traitement de l'espace et du temps par Aristote. Mais lui aussi, à sa façon, a retenu la leçon : pas un seul instant il ne fait appel aux mathématiques que la dite crise des irrationnels a durablement discréditées. Zénon formule bien une critique de " présupposés " de l'époque, des présupposés pythagoriciens, qui absolument convaincus de la nature absolument discrète du réel se coltinent, en même temps, pour la première fois, des irrationnels. Et ça coince, et Zénon, tenant du continu en tant qu'éléate, va l'exprimer à sa façon. C'est ce que disent les quatre arguments cinématiques et les quatre fragments dont on dispose de lui. Le cadre de la polémique c'est celui-là, et, re, il est trop souvent oublié, même par des discours éminemment compétents.

En posant "espace divisible + temps indivisible", le contexte même du paradoxe devient absurde, comme je l'ai déjà mentionné avant.

Bah, c'était le but, l'intention, de Zénon dans les quatre cas. Du point de vue de son intention à lui, c'est réussi. Je souligne (c'est toi qui surligne) :

En effet, en supposant que le temps est indivisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.

La double-hypothèse "espace divisible + temps indivisible" ne permet même pas de poser le contexte initial de la Dichotomie, à savoir que "tout objet, pour parcourir L, doit d'abord parcourir L/2". En effet, c'est faux si sa vitesse est L/T où T est l'unité indivisible de temps. Ceci prouve que cette double-hypothèse n'est pas un présupposé possible de la Dichotomie.

J'ai un peu de mal avec les formules soulignées, l'exégèse classique admet que le temps est infiniment divisible pour que la Dichotomie fonctionne, c'est à dire conduise à une conclusion absurde, c'est le but, l'intention (dans les quatre cas), tu introduis tout de même une unité de temps irréductible, indivisible !!

Du coup j'ai essayé de chercher quelques autres sources à ce propos et j'ai trouvé ceci :

 :
Les arguments de Zénon rapportés par Aristote sont au nombre de quatre et peuvent se répartir on deux groupes. Au premier appartiennent la dichotomie et l’Achille ; la flèche et le stade forment le second. Dans le premier groupe d’arguments, le temps et l’espace sont supposés continus et divisibles à l’infini ; dans le second, ils sont l’un et l’autre considérés comme discontinus et composés d’éléments indivisibles. Cette distinction, que M. Renouvier a le premier mise en lumière, n’est pas indiquée par Aristote, mais elle ressort incontestablement du texte, pour peu qu’on le lise avec attention. Les deux premiers arguments postulent d’une manière évidente la divisibilité indéfinie de l’espace. Sans doute le temps n’y est pas explicitement considéré ; mais la conclusion n’est intelligible que s’il est comme l’espace indéfiniment divisible, et qu’à la division de l’un corresponde point par point celle de l’autre. Au rebours, les deux derniers arguments postulent immédiatement l’indivisibilité des éléments du temps et médiatement celle des éléments de l’espace. Ainsi considéré, l’ensemble de ces raisonnements constitue un véritable dilemme. Deux suppositions sont possibles sur la nature de la quantité continue, étendue ou durée : ou cette quantité est, comme nous sommes naturellement portés à l’admettre et comme les mathématiciens le supposent, effectivement divisible à l’infini, ou sa continuité n’est qu’apparente et elle est réellement un agrégat d’éléments indivisibles, un véritable nombre formé d’unités absolues. Or dans l’une et l’autre hypothèse le mouvement est impossible.

Il est vrai qu’entre les deux alternatives on pourrait à la rigueur concevoir un moyen terme. On pourrait accorder l’infinie divisibilité de l’espace et nier celle du temps, ou inversement. Zénon, autant que nous en pouvons décider par les textes qui nous sont parvenus, n’a pas prévu cette échappatoire. Peut-être jugeait-il une pareille attitude trop ouvertement illogique pour qu’on fût tenté de la prendre.

Merci quid. Je ne connaissais pas Georges Noël, mais j'ai lu Charles Renouvier, 1815 -1903, qui écrit donc bien avant Zafiropulo. Et tout le monde a déjà bien compris que le traitement de l'espace et du temps est au coeur du problème. Même s'il y en a beaucoup, beaucoup, pour oublier que Zénon ne parle pas en son nom, que Zénon attaque une vision du monde aujourd'hui disparue, un réel absolument discret, celle des pythagoriciens : j'ai trouvé l'article de Georges Noël très bon, il va dans le bons sens, et pourtant, pas un mot sur les pythagoriciens !! Ce qui revient à faire l'impasse sur les motivations de Zénon. Une des causes majeures de l'hypertrophie de ce débat (voir l'extrait de l'introduction de l'ouvrage de Caveing citée ci-dessus).

Ce qui est bien avec Magni, c'est qu'il faut toujours faire le tri !! Je souligne, surligne :

On peut vraiment lancer un caillou contre un arbre ou rattraper un mobile qui va moins vite que nous même.
J'espère que personne ne conteste cela.

Donc, les conclusions de Zénon sont fausses.
Zénon lui même savait qu'on peut lancer un caillou contre un arbre, tout le monde devrait le savoir, c'est pourquoi on appelle les propositions de Zénon des paradoxes.

Avec ses fausses conclusions, Zénon a montré les lacunes des mathématiques de son temps.
Il n'a pas prouvé que tout mouvement est impossible, il a prouvé qu'on ne savait pas calculer un mouvement il y a 25 siècles !

Pourquoi ? Pas a cause de ses prémisses, même si on ne sait pas lequel des cas de figure correspond au phénomène physique, un des cas de figures correspond au monde réel.

De fait, le raisonnement de Zénon est erroné, il a affirmé qu'une fonction récursive n'a pas de limite, c'est inexacte.

Les fonctions récursives convergentes ont une limite finie.

Les conclusions de Zénon ne sont pas " fausses " (prémisses admises, c'est " plié ", d'une absurdité rigoureusement menée, amenée), elles sont absurdes, et c'est fait exprès.

[Leonhard]

Pour " et Zafiropulo non plus ", tu m'accorderas que lire Zafiropulo est le meilleur moyen d'en juger, de s'en faire une idée par soi-même.

J'ai construit mon avis en lisant les extraits de lui que tu as donnés.

En posant "espace divisible + temps indivisible", le contexte même du paradoxe devient absurde, comme je l'ai déjà mentionné avant.

Bah, c'était le but, l'intention, de Zénon dans les quatre cas. Du point de vue de son intention à lui, c'est réussi.

Trop de confusion. Le but de Zénon est un raisonnement par contradiction, c'est-à-dire un raisonnement valide et sensé qui repose sur une prémisse P, et qui aboutit à une contradiction, ce qui permet de conclure que la prémisse P est fausse.

Mais ici, la prémisse "espace divisible + temps indivisible" ne permet même pas au raisonnement de la Dichotomie d'être valide ! (Comme je l'ai montré plus haut, avec cette prémisse, le mouvement est possible.)

l'exégèse classique admet que le temps est infiniment divisible pour que la Dichotomie fonctionne, c'est à dire conduise à une conclusion absurde

C'est ce que je dis depuis le début : pour la Dichotomie, l'hypothèse doit être "espace divisible et temps divisible". C'est toi (via Zafiropulo) qui prétends que la bonne hypothèse est "espace divisible et temps indivisible". Mon message montre que ton hypothèse n'aurait pas de sens pour la Dichotomie.

Les conclusions de Zénon ne sont pas " fausses " (prémisses admises, c'est " plié ", d'une absurdité rigoureusement menée, amenée), elles sont absurdes, et c'est fait exprès.

Tu fais erreur. Si les paradoxes de Zénon étaient tous valides, cela signifierait que le monde ne peut pas être continu (à cause des paradoxes 1 et 2), mais ne peut pas être discontinu non plus (à cause des paradoxes 3 et 4). Le monde ne serait alors ni continu, ni discontinu, ce qui est absurde en vertu du principe du tiers-exclus.

Il y a donc nécessairement une faille dans les raisonnements de Zénon, et c'est exactement la question qui inaugure ce sujet, à laquelle la réponse la plus sensée me semble être une réponse de Vanleers.

[neopilina]

(

à Leonhard,

Faut que j'y pense, que je consulte (!) mes " tablettes ", ça " fume ". Sinon :

Il y a donc nécessairement une faille dans les raisonnements de Zénon, et c'est exactement la question qui inaugure ce sujet, à laquelle la réponse la plus sensée me semble être une réponse de Vanleers.

Moi aussi, j'ai bien relevé la " prudence " de Vanleers, éminemment qualifié !! Il interviendra quand il se sentira près. Exemple à suivre.

)

[hks]

à neopilina

https://books.openedition.org/septentrion/55773?lang=fr
c'est un peu long parce que détaillé
il y est dit que C'est via Aristote qu'on connait les paradoxes de Zénon
........................
Mais autre question... j' ai lu un texte sur le Parménide de Platon (le texte de Platon est difficile, cela dit )
où il est dit ceci

On peut alors en déduire que la seconde partie du dialogue s’articule autour d’une seule grande hypothèse qui peut s’exprimer ainsi : « S’il [l’univers] est un.
… Si cette hypothèse est affirmée, on a alors affaire à la thèse de Parménide ; si elle est niée, c’est de celle de Zénon dont il s’agit. Mais, dans les deux cas, l’hypothèse porte sur l’univers matériel.

Platon semblerait  opposer les deux .

https://www.cairn.info/journal-les-etudes-philosophiques-2001-4-page-535.htm

[neopilina]

Je souligne :

à neopilina

https://books.openedition.org/septentrion/55773?lang=fr
c'est un peu long parce que détaillé
il y est dit que c'est via Aristote qu'on connait les paradoxes de Zénon

Exact. Je souligne :

Mais autre question... j' ai lu un texte sur le Parménide de Platon (le texte de Platon est difficile, cela dit )
où il est dit ceci

On peut alors en déduire que la seconde partie du dialogue s’articule autour d’une seule grande hypothèse qui peut s’exprimer ainsi : « S’il [l’univers] est un.
… Si cette hypothèse est affirmée, on a alors affaire à la thèse de Parménide ; si elle est niée, c’est de celle de Zénon dont il s’agit. Mais, dans les deux cas, l’hypothèse porte sur l’univers matériel.

Platon semblerait  opposer les deux .

https://www.cairn.info/journal-les-etudes-philosophiques-2001-4-page-535.htm

Impossible, surtout chez Platon (j'ai pratiqué " Le Parménide " au moins autant que " Le Sophiste "). Zénon est le porte-voix de Parménide. Encore une fois, on a un auteur qui pense que Zénon exprime sa pensée avec les arguments (sans avoir lu les textes que tu communiques, certes).

[hks]

du même texte sur l' interprétation de Brisson

« Ton argumentation [Socrate s’adresse à Zénon], tu la conduis avec une belle et mâle vigueur, mais avec combien plus de plaisir encore, je le répète, j’applaudirais celui qui saurait montrer comment cette même difficulté se retrouve enlacée de toutes sortes de façons au niveau même des Formes, comme si cette difficulté que vous, Parménide et toi, Zénon, avez décrite en détail au niveau des objets visibles, vous démontriez qu’elle se manifeste au niveau des objets que saisit la raison. » 

[28]
[28]

19Il est évident, à la lecture de ce passage, que Platon voyait en Parménide et Zénon des partisans d’un univers matériel sans au-delà en arrière-fond. Idée que l’on retrouve un peu plus loin, lorsque Socrate demande à Parménide d’appliquer la dialectique de Zénon aux formes intelligibles et non aux choses visibles :

« En faisant précisément ce que tu as entendu Zénon faire. Sous la réserve toutefois de ce que tu lui as dit et qui m’a ravi, à savoir qu’il faut ne laisser l’enquête s’égarer ni dans les choses visibles ni même dans ce qui les concerne, mais l’appliquer aux choses qui sont par excellence objets de la raison et dont on pourrait estimer que ce sont des Formes. » [29]

Platon semble mettre les deux ensembles et s' en différencier

https://www.cairn.info/journal-les-etudes-philosophiques-2001-4-page-535.htm

[Magni]

Zénon sait parfaitement que le temps de parcours est fini. La conclusion de Zénon n'est pas " erronée ", elle est absurde, et c'est voulu.

Oui, le fait que la conclusion soit absurde était voulu.

Mais le fait que la conclusion soit absurde n'empêche pas qu'elle soit erronée !

Si  Zénon avait su ce qu'est la limite d'une suite récurrente, il aurait du conclure que couper en deux un segment continu une infinité de fois donne un résultat au lieu de ne donner aucun résultat.

La conclusion de Zénon est erronée parce qu'il aurait du conclure que le mouvement est possible.

Il n'y a pas de paradoxe, il y a une erreur de raisonnement et une conclusion erronée.
Zénon avait tord, on peut tout à fait faire un calcul du mouvement d'un caillou lancé contre un arbre avec l'équation de la chute des corps. L'équation de la chute des corps montre que le caillou lancé avec une vitesse initiale poursuit son mouvement en ligne droite et avec la même vitesse si aucune force extérieure ne vient perturber sa trajectoire et sa vitesse.

ce n'est donc pas Zénon qui a tort mais les pythagoriciens et c'est ce que voulait montrer Zénon.

Zénon à prouvé que personne ne savait calculer un mouvement en faisant un raisonnement erroné et une conclusion erronée que personne n'a su corriger pendant 20 siècle.

Mais on a trouvé où est le problème dans le raisonnement depuis 3 siècles.

Peut être que Zénon a "gagné" en prouvant par l'empirisme que son raisonnement était faux, et peut être que le raisonnement de Zénon n'était pas le sien, mais il y a des erreurs dans le développement de l'argument et dans les conclusions des paradoxes de Zénon.

[Magni]

si tout réel x avait un successeur direct qu'on pourrait noter S(x), alors on pourrait former la suite 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ... qui couvrirait tous les réels à partir de 0. On aurait alors numéroté tous les réels par des naturels, et les réels seraient dénombrables, ce qui est contradictoire. L'existence pour chaque nombre d'un "successeur" immédiat est même un axiome des nombres naturels, en fait. Tout ceci montre bien qu'un réel n'a pas de successeur réel direct.

Ton raisonnement est erroné.


Tu peux effectivement noter le successeur direct de zéro S1(0), et tu peux noter le successeur de S1 sous la forme S2(0) ou bien S1(S1(0)), et tu peux noter le milliardième successeur de zéro S10^9(0),

Après un milliard de successeurs de 0, tu n'as toujours pas avancé d'un iota sur l'axe des réels, et tu peux continuer de définir une infinité de réels successifs en les énumérant avec des entiers, tu n'arriveras jamais a 2 ni a aucun réel que tu auras pu dénombrer, aussi proche soit il de 0.

Il n'y a pas de trou entre les réels et les réels sont ponctuels, donc on n'avance pas quand on les compte les uns après les autres. Le fait qu'ils soient non dénombrables, justement, fait que tu peux en dénombrer autant que tu veux et tu n'as pas avancé.

Les réels sont globalement indénombrables, cela ne veut pas dire que tu ne peux pas en dénombrer autant que tu veux.

Il existe des réels dénombrables, mais on ne peut pas dénombrer tous les réels.
Tu peux dénombrer autant de réels que tu veux dans un intervalle, mais cela ne suffira pas pour dénombrer tous les réels de cet intervalle, aussi petit que cet intervalle soit s'il est non nul.


Cependant, les intervalles de dimension nulle ça existe, c'est un singleton, et là se trouve un et un seul réel, qu'il soit entier ou transcendant, il est unique. Et c'est pour cela que la formule de Pi de Leibniz est valide, parce qu'une suite alternée convergente pointe vers un singleton.
Et la formule de Leibniz qui pointe vers un singleton prouve que le raisonnement et les conclusions de Zénon sont erronées.




Puisque que les formules de limites de fonctions récursives ne t'aident pas, répond a ces deux questions fermées s'il te plait :

1/ Est ce que tu comprends que le résultat de la formule de Leibniz qui pointe vers Pi contredit le raisonnement et le résultat des paradoxes de Zénon ?

Ta réponse est elle oui ou non ?

2/ Est ce que tu penses que c'est Leibniz qui a raison ou est ce que tu penses que c'est Zénon qui a raison ?

Ta réponse est elle Leibniz ou Zénon ?







Tu peux énumérer un ensemble des réels successifs après 0 qui contient autant de réels qu'il y a d'entiers dénombrables, tu ne vas pas couvrir tous les réels (ce que tu dis est faux), tu ne vas même pas couvrir l'espace entre 0 et 0,000000000000000000000000000000000000001

Et ça ne veut pas dire que Zénon a raison quand il dit que tout mouvement est impossible d'après le calcul.
C'est justement là qu'est l'erreur dans les paradoxes de Zénon (ou l'erreur de raisonnement des pythagoriciens que Zénon a répétée dans ses paradoxes pour les tourner en dérision)

Si tu coupes en deux indéfiniment un segment continu, malgré le fait que ce segment soit continu, tu vas effectivement tomber sur un singleton.
Rappelle toi que tu l'as écris toi même.

Démontrer que ce singleton existe ne signifie pas qu'on est capable de calculer sa valeur.
Cependant, on est capable de calculer la valeur de ce singleton quand il a une valeur rationnelle.

[Leonhard]

Magni, tu devrais vraiment revoir tes maths de base...

Concentrons-nous sur l'intervalle [0,1]. On peut définir le successeur de 0 comme étant le nombre, noté S(0) qui vérifie les conditions suivantes :

1. S(0) est un nombre réel.
   
2. 0 < S(0) : en effet, si S(0) était égal à 0, ça ne serait pas "le nombre immédiatement après 0".
   
3. Quel que soit le nombre réel x dans [0,1], autre que 0 et S(0), on a que 0 < S(0) < x : en effet, ceci signifie que S(0) est le réel le plus proche de 0 parmi tous les autres réels de [0,1].
   

Il découle alors de cette simple définition que :

• S(0)/2 est un nombre réel : en effet, tout réel peut être divisé par deux, et le résultat est encore un réel.
  
• S(0)/2 > 0 : en effet, tout réel positif divisé par 2 donne un réel positif.
  
• S(0)/2 < S(0) : en effet, la moitié d'un réel est toujours strictement inférieure à ce réel.
  

Les deux dernières égalités signifient que :

0 < S(0)/2 < S(0)

En notant x = S(0)/2, on a alors construit un réel x, différent de 0 et de S(0), qui est encore plus proche de 0 que ne l'est S(0), ce qui viole la prémisse 3 ci-dessus.

Cela prouve que cette prémisse 3 est nécessairement fausse. Or, c'est une prémisse qui définit le successeur de 0, ce qui signifie que ce concept même est absurde.

[Magni]

Deux réels consécutifs ne sont pas distincts, il faut faire la différence entre l'ordinal et le cardinal.
Une courbe continue ne pourrait pas couvrir une surface continue si deux courbes successives dans le continu étaient distinctes.

Magni, tu devrais vraiment revoir tes maths de base...

Ok, j'ai compris le concept, je sais que tu le penses, inutile de le dire a chaque message.


Maintenant répond à ma question : un intervalle entre deux réels distincts qu'on coupe en deux une infinité de fois, ça pointe vers un intervalle non nul ou vers un singleton ?

D'après toi,  formule de Leibniz, elle pointe vers Pi ou vers un encadrement non nul de Pi ?

[Leonhard]

Deux réels consécutifs ne sont pas distincts

Dans ce cas, il ne s'agit pas de deux réels consécutifs, mais d'un seul et unique réel, en vertu de la loi de trichotomie qui dit que quels que soient deux réels x et y, soit x<y, soit x=y, soit x>y. Impossible pour toi de défendre à la fois que 0<S(0) et que 0=S(0).

https://mathworld.wolfram.com/TrichotomyLaw.html

Maintenant répond à ma question : un intervalle entre deux réels distincts qu'on coupe en deux une infinité de fois, ça pointe vers un intervalle non nul ou vers un singleton ?

Ça pointe vers un singleton, comme je l'ai montré par ailleurs. Et le singleton {a}, c'est l'intervalle [a, a] où les deux extrémités sont un seul et même nombre : on a que a=a (et on n'a pas que a<a). Il ne s'agit pas d'un nombre et de son prétendu "successeur".

Impossible de donner un sens véritable à la notion de "successeur immédiat" d'un réel, ça contredit tous les théorèmes et axiomes sur les réels.

[quid]

(

Merci quid. Je ne connaissais pas Georges Noël, mais j'ai lu Charles Renouvier, 1815 -1903, qui écrit donc bien avant Zafiropulo.

Je ne connaissais pas non plus, ni la revue à laquelle il a contribué. Mais qui est Georges Noël ?

Et bien il n'a pas de page Wikipedia. C'est un professeur agrégé de philosophie qui a participé au projet de "La revue de métaphysique et de morale" :
- https://books.openedition.org/pur/120678?lang=fr
- https://books.openedition.org/pur/120678?lang=fr#tocfrom1n3

124 - À la fin de l’année 1892, le réseau des collaborateurs potentiels s’était considérablement élargi : nombre de professeurs de philosophie de Paris ou de province avaient suivi le mouvement : Hannequin²⁰⁸, Thamin²⁰⁹, Dunan, Noël²¹⁰, Pierre-Félix Pécaut²¹¹. Bergson semblait bien disposé à l’égard de la Revue mais se réservait pour le second numéro²¹². Quant à Jules Lagneau, ce « spéculatif sentimental » qui méprisait les « actions extérieures²¹³ », Xavier Léon n’était pas parvenu à éveiller son intérêt.
...
210 - Georges Noël, agrégé de philosophie (1878), professeur de lycée en province puis au lycée Lakanal. Il fut l’un des rares professeurs français à travailler sur Hegel.

La revue est distribuée sur cairn.info : https://www.cairn.info/revue-de-metaphysique-et-de-morale.htm
)

[Magni]

un intervalle entre deux réels distincts qu'on coupe en deux une infinité de fois, ça pointe vers un intervalle non nul ou vers un singleton ?

Ça pointe vers un singleton

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui a une valeur unique.

Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n'est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la réciproque est fausse.

Les nombres ordinaux


Dans l'ensemble des réels, tous les réels sont classés dans l'ordre, donc, pour chaque réel donné il y a un précédent et un suivant, et tous les réels sont identifiables a des ordinaux.

Mais ces ordinaux ne sont pas tous identifiables à des cardinaux entre eux parce que quelque soit l'intervalle entre deux réels distincts, cet ensemble de réel est infini. La trichotomie ne s'applique pas entre deux réels consécutifs, le suivant est différent du précédent au niveau de l'ordre, mais il n'est pas non plus supérieur au précédent en valeur algébrique.



Soit deux réels qui ont un développement décimal infini.

A=1
B=1,0000000000(une quantité infinie de cardinal Aleph 0 de 0)1

Dans l'ordre, B est après A dans l'ensemble de réels
En dimension, B n'est pas plus grand que A

Pourtant, comme j'ai réussis à faire deux réels distincts, on peut encore fourrer une infinité de réels entre les deux.
C=1,0000000000(une quantité infinie de cardinal Aleph 1 de 0)1
Dans l'ordre, C est entre A et B, en dimension, les trois sont confondus.
B n'est pas encore le réel consécutif de A.

Il n'empêche, les réels sont ordonnés.

Impossible pour toi de défendre à la fois que 0 < S(0) et que 0 = S(0).

Tu paris combien ?


Si trois réels (dont au moins deux sont) transcendants sont arrangés dans l'ordre A,C et B et sont confondus algébriquement, alors au niveau ordinal on a : A < C < B; et au niveau cardinal on a A=C=B

[Leonhard]

un intervalle entre deux réels distincts qu'on coupe en deux une infinité de fois, ça pointe vers un intervalle non nul ou vers un singleton ?

Ça pointe vers un singleton

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui est unique.

Ben non, puisqu'il n'y a pas de "dernière" étape à une infinité d'étapes. C'est bien pour ça que l'objet ne peut pas avancer : il ne sait pas quelle distance couvrir en premier, puisqu'il n'y en a pas !

Soit deux réels qui ont un développement décimal infini.

A=1
B=1,0000000000(une quantité infinie de cardinal Aleph 0 de 0)1

Dans l'ordre, B est après A dans l'ensemble de réels
En dimension, B n'est pas plus grand que A

Désolé, car B n'est pas un réel. Cette écriture n'est pas celle d'un réel; ce n'est même pas une écriture décimale correcte. Une écriture décimale, c'est un chiffre pour chaque puissance entière de dix. Après la virgule, c'est un chiffre pour les dixièmes, un chiffre pour les centièmes, un pour les millièmes, etc. Dans l'écriture de ton B, le denier "1" ne correspond à aucune puissance de 10, il ne s'agit donc pas d'une écriture décimale correcte.

Impossible pour toi de défendre à la fois que 0 < S(0) et que 0 = S(0).

Tu paris combien ?

Si trois réels (dont au moins deux sont) transcendants sont arrangés dans l'ordre A,C et B et sont confondus algébriquement, alors au niveau ordinal on a : A < C < B; et au niveau cardinal on a A=C=B

Ca n'a strictement aucun sens, puisque les réels (à l'exception des naturels) ne sont pas des ordinaux ni des cardinaux.

Entre les réels, il n'y a que les relations d'ordre ≤ et <, axiomatisés dans la théorie des nombres réels.

Si A et C sont confondus, alors il est faux que A < B.

Par définition de la relation d'ordre strict <, si A et C sont des réels, "A < C" est équivalent à "A ≤ C et A ≠ C".

https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre#Relation_d'ordre

Par conséquent, si A et C sont confondus, alors A = C, et par conséquent A < C est faux.

[Magni]

Un réel est entièrement défini par son développement décimal infini.

L'infini ce n'est pas une puissance de 10 !

Les puissance de 10 sont des nombres.
L'infini n'est pas un nombre.

Mais un réel qui a une quantité infinie de décimales reste un nombre.

Pi est un nombre réel.

[Magni]

un intervalle entre deux réels distincts qu'on coupe en deux une infinité de fois, ça pointe vers un intervalle non nul ou vers un singleton ?

Ça pointe vers un singleton

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui est unique.

Ben non, puisqu'il n'y a pas de "dernière" étape à une infinité d'étapes. C'est bien pour ça que l'objet ne peut pas avancer : il ne sait pas quelle distance couvrir en premier, puisqu'il n'y en a pas !

Si tu dis qu'une infinité d'étape de divisions ne peut pas épuiser un ensemble de cardinal infini, alors pour être cohérent tu dois dire que la formule de Leibniz ne pointe pas vers Pi.

Je te rappelle que l'objet peut avancer et donc le raisonnement qui dit qu'il ne peut pas est faux.

[hks]

La conclusion de Zénon est erronée parce qu'il aurait du conclure que le mouvement est possible.

Mais le mouvement de qui de quoi ?
Puisque Zenon semble -t -il pense la matière continue . Où est Achille  ? En quoi consiste- t -il ?

Je te rappelle que l'objet peut avancer

mais quelle est la constitution d'un objet "qui peut avancer "?

Est- ce l'objet qui avance ou bien toute la nature qui change de forme ?

Parce que, excuse- moi, mais, oui, la nature toute entière change continûment de forme .
( sauf toi )

Moi aussi je doute de la réalité du mouvement  plus exactement de la vision physicienne du mouvement .
Parce que pour moi la nature est continue.

Je ne dis pas et surtout pas que la nature ne change pas de formes .
Ce changement, C'est le mouvement,
mais compris autrement.

C'est pourquoi les mathématiques ne me servent pas expressément.(du moins en philosophie)

[Leonhard]

Si tu dis qu'une infinité d'étape de divisions ne peut pas épuiser un ensemble de cardinal infini, alors pour être cohérent tu dois dire que la formule de Leibniz ne pointe pas vers Pi.

Je ne suis pas sûr que ton sens de la cohérence soit fiable quand tu écris tant de choses contradictoires sur les réels

[Magni]

si A et C sont confondus, alors A = C, et par conséquent A < C est faux.

A et B peuvent être différents au niveau ordinal et identiques en cardinalité.

L'ordinalité ça existe, et ce n'est pas la même chose que la cardinalité.

Un nombre réel est entièrement défini par son développement décimal infini parce que son développement décimal infini le défini au niveau ordinal. Mais l'infini plus dix ou l'infini moins dix c'est le même cardinal.









Es tu d'accord avec cette affirmation :

Si un ensemble de nombres allant de moins l'infini a plus l'infini est ordonné, alors chaque élément de cet ensemble a un ordre spécifique par rapport a tous les autres, et chaque élément a un et un seul premier précédent et il a un et un seul premier suivant.


Si tu es d'accord avec mon affirmation j'ai maintenant une question:
D'après toi, les réels sont ils un ensemble ordonné ?

[Magni]

Si tu dis qu'une infinité d'étape de divisions ne peut pas épuiser un ensemble de cardinal infini, alors pour être cohérent tu dois dire que la formule de Leibniz ne pointe pas vers Pi.

Je ne suis pas sûr que ton sens de la cohérence soit fiable quand tu écris tant de choses contradictoires sur les réels

Ce n'est pas parce que tu ne comprends rien qu'il n'y a rien a comprendre.

[Leonhard]

si A et C sont confondus, alors A = C, et par conséquent A < C est faux.

A et B peuvent être différents au niveau ordinal et identiques en cardinalité.

L'ordinalité ça existe, et ce n'est pas la même chose que la cardinalité.

Je répète qu'un réel, autre que naturel, n'est pas un ordinal ni un cardinal. Manifestement, tu ne sais pas ce que sont les nombres ordinaux et cardinaux, tu utilises un lexique dont tu ne connais pas le sens, donc je ne vais pas continuer sur ce sujet.

Es tu d'accord avec cette affirmation :

Si un ensemble de nombres allant de moins l'infini a plus l'infini est ordonné, alors chaque élément de cet ensemble a un ordre spécifique par rapport a tous les autres, et chaque élément a un et un seul premier précédent et il a un et un seul premier suivant.

Pas d'accord. Il existe des ensembles totalement ordonnés, tels qu'aucun élément ne possède de "précédent" ni de "suivant". Il suffit que l'ordre soit dense, c'est-à-dire que pour tous x et y avec x < y, il existe un z tel que x < z < y. Par exemple : l'ensemble des rationnels, l'ensemble des réels.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_dense

L'herbe t'est donc coupée sous le pied, c'est une impasse pour toi.

[neopilina]

Déjà cité, le traitement de la Dichotomie par Zafiropulo :

- I° Espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible. Tout mouvement est impossible à cause de la " dichotomie ". Un mobile, en effet, avant d'arriver au terme de sa course, doit d'abord en effectuer la moitié et avant de terminer cette demi-course il doit en parcourir à son tour la moitié et ainsi de suite ad infinitum. L'espace étant, par hypothèse, infiniment divisible, nous pouvons ainsi obtenir une infinité de points sur une portion de trajectoire que nous pouvons d'ailleurs choisir arbitrairement. Ces points seront des unités réelles et distinctes puisque nous postulons la discontinuité; donc, dans sa course, le mobile devra successivement entrer en contact avec chacune de ces unités séparés. Or, le temps étant supposé non-infiniment divisible, il faudrait dans l'unité minimum de temps effectuer un nombre de contacts infinis, ce qui est impossible car nous ne disposerions pour chaque contact que d'un temps infiniment bref ce qui est en contradiction avec l'hypothèse finie de divisibilité temporelle admise. Donc tout mouvement est impossible. Or, il est évident que le mouvement a lieu. Il faut conclure de cette contradiction que le langage choisi est inadéquat, donc rejeter les définitions qu'il comporte et les hypothèses qu'elles impliquent.

Et donc à la suite, l'Achille, si " espace infiniment divisible, temps infiniment divisible, alors une splendide absurdité, la Flèche, si " espace non-infiniment divisible, temps infiniment divisible ", alors une splendide absurdité, le Stade, si " espace non infiniment divisible, temps non infiniment divisible ", alors une splendide absurdité. Et immédiatement à la suite, voilà sa conclusion à propos des arguments cinématiques avant de passer à autre chose :

La conclusion à tirer de ces quatre arguments s'impose : le langage discontinu, qu'il admette des unités de grandeur finies ou infinies, ou même une combinaison de ces deux genres d'unités, ne peut jamais exprimer le mouvement et doit donc être rejeté comme moyen de description de notre expérience. Il nous faut d'autres définitions et d'autres hypothèses pour serrer la réalité de près [en marge de ce passage j'ai écrit : " Le pythagorisme est mort "]. Zénon tirait-il de sa démonstration, concluant que la seule possibilité consistait à admettre objectivement la continuité tandis que la discontinuité nécessaire à nos raisonnements appartiendrait à l'observateur, non à l'objet observé (en note de l'auteur : " C'était alors la seule échappatoire possible car le calcul infinitésimal n'existait pas plus que la théorie de la connaissance ") ? Nous ne saurons probablement jamais jusqu'où il avait su pousser ses déductions. Il semble pourtant peu probable qu'il ait formulé clairement une semblable proposition (en note : " Nous avons vu que cet argument était déjà impliqué par les raisonnements de Parménide ") car s'il avait été en mesure d'avancer un argument aussi massif en faveur en faveur de la théorie éléate, il pourrait paraître curieux de constater que personne ne l'ait trouvé digne d'être conservé. Pourtant il faut noter ici que la doxographie concernant Zénon est tout particulièrement lamentable et nos textes authentiques de fort peu d'étendue. Ces fragments ainsi que la substance des raisonnements de l'élève de Parménide, relèvent chez notre Eléate un esprit extraordinairement pénétrant et une puissance logique peu commune qui n'ont parfois pas mis ses travaux à la portée de ses commentateurs. Cette circonstance peut rendre compte de bien des lacunes et n'a pas peu contribué à former de Zénon l'image d'un ergoteur dénué de fond que l'on s'en fait, parfaitement à tort d'ailleurs.

Ce à quoi j'ajoute, personne dans l'antiquité n'a jamais taxé Zénon de sophiste, et Platon et Aristote qui sont rarement d'accord, le sont pourtant sur ce point, ils disent tous les deux explicitement que Zénon est l'inventeur de la dialectique.

Le but de Zénon est un raisonnement par contradiction, c'est-à-dire un raisonnement valide et sensé qui repose sur une prémisse P, et qui aboutit à une contradiction, ce qui permet de conclure que la prémisse P est fausse.

Oui. Tu surlignes, je souligne :

Mais ici, la prémisse " espace divisible + temps indivisible " ne permet même pas au raisonnement de la Dichotomie d'être valide ! Comme je l'ai montré plus haut, avec cette prémisse, le mouvement est possible.

C'est ce que je dis depuis le début : pour la Dichotomie, l'hypothèse doit être " espace divisible et temps divisible ". C'est toi (via Zafiropulo) qui prétends que la bonne hypothèse est " espace divisible et temps indivisible ". Mon message montre que ton hypothèse n'aurait pas de sens pour la Dichotomie.

Sincèrement, je n'ai pas vu ou compris, peux-tu réitérer, merci. Les prémisses exactes, chez Zafiropulo, tout à fait, de la Dichotomie sont " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Tu fais erreur. Si les paradoxes de Zénon étaient tous valides, cela signifierait que le monde ne peut pas être continu (à cause des paradoxes 1 et 2), mais ne peut pas être discontinu non plus (à cause des paradoxes 3 et 4). Le monde ne serait alors ni continu, ni discontinu, ce qui est absurde en vertu du principe du tiers-exclus. Il y a donc nécessairement une faille dans les raisonnements de Zénon ...

Non : voir la conclusion de Zafiropulo sur les arguments cinématiques donnée ci-dessus. L'autre hypothèse étant que ni Zénon ni personne d'autre à l'époque ne disposait de quoi décrire mathématiquement et/ou physiquement le mouvement, ce que montre, a contrario, par l'absurde, ces arguments. Le principe du tiers exclu est découvert par Aristote !

C'est Magni qui souligne :

La conclusion de Zénon est erronée parce qu'il aurait du conclure que le mouvement est possible.

Moui, que le mouvement est possible, je crois que tout le monde est au courant. Tu peux penser ce que tu veux des prémisses des arguments, mais tu n'as pas le droit de les oublier. Et si une prémisse ou la combinaison de deux prémisses conduit à la négation du mouvement, c'est qu'une prémisse, voire la combinaison voire les deux prémisses, est erronée, pas le raisonnement.

La revue [" La revue de métaphysique et de morale "] est distribuée sur cairn.info : https://www.cairn.info/revue-de-metaphysique-et-de-morale.htm
)

Je n'ai jamais lu cette revue, par contre c'est un pilier des bibliographies, elle est souvent citée, ils ont fait du bon travail.

Donc contrairement a ce que Zénon affirme, quand on coupe un segment continu en deux une infinité de fois, il y a un dernier terme qui a une valeur unique.

Zénon n'a jamais dit une chose pareille, il ne va pas aussi loin, il dit simplement que la dichotomie est inactualisable parce que la tâche serait infinie, c'est tout.

Je résume mon propos : est-ce que quelqu'un, en acceptant les prémisses, voit une erreur de raisonnement dans les quatre arguments cinématiques ?

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