Re: Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[Magni]

Permettez ?


Strictement entre un algébrique et l'algébrique directement après il n'y a aucun algébrique, car l'algébrique directement après n'est pas strictement avant lui même (là on peut appliquer la trichotomie, c'est algébrique), et l'algébrique directement avant celui qui est directement après n'est pas strictement après lui même.



Donc, entre un algébrique et l'algébrique directement après, bornes exclues, il ne peut y avoir que des non algébriques, or cet intervalle est non nul (car les algébriques sont dénombrables) et cet intervalle contient une infinité de réels, et donc, tous ces réels sont non algébriques.



*Strictement entre = dans l'intervalle bornes exclues.

[Leonhard]

Donne-moi deux transcendants quelconques, et je te construis explicitement un rationnel qui les sépare, par ma démonstration précédente.

Ta démonstration est nulle, elle ne vaut que pour les nombres qu'on peut distinguer algébriquement.

Elle vaut pour tous les nombres qui possèdent une écriture décimale, c'est-à-dire tous les réels, ce qui inclut les irrationnels, les transcendants, etc. Que ces nombres soient algébriques ou pas, calculables ou pas, ils sont tous déterminés en eux-mêmes par leur écriture décimale, même si celle-ci est éventuellement impossible à calculer en pratique par un algorithme.

Ma démonstration vaut donc inconditionnellement. Le reste n'est que verbiage.

[hks]

à neopilina

Zafiropulo a écrit:
Donc, quel que soit soit le système d'unité choisi, il est impossible, sans commettre de contradiction logique, de décrire le mouvement à l'aide d'un langage impliquant une description discontinue. C.Q.F.D.

Ca devient  compliqué tout ça .
J'essaie de me résumer l'affaire

1)Avec l'option "discontinu" on décrit le mouvement. C'est la physique et ses équations (du moins le mouvement tel que la physique le comprend.) Ce qui correspond au sens commun de déplacement des objets.
.....
2) avec l'option "continu".

Si on dit (e( fait dire à Zénon) que e mouvement n 'existe pas  ce n'est pas acceptable  et Zenon lui même convient qu'il y a  un changement  de  l'état des lieux  (il y a bien une flèche qui arrive sur  une cible)
 Et que tout soit l'UN (continu) de Parménide  ne change rien à l'expérience perceptive.

Du point de vue continuiste : si le changement de formes de l'état des choses est accepté, il faut bien en rendre compte.
Serait-ce une illusion,  il faut expliquer l'illusion. Celle de la variété des états de la nature , de la variété et surtout de la variation.

Difficile de savoir jusqu'à quel point Parmenide serait strictement à l'opposé d'Héraclite. Ni pour Zénon .
Comment rendaient - ils compte de la variation dans l 'UN continu, on ne le sait pas . On n'a pas assez de textes pour en juger, tout simplement.

(et ces paradoxes ne nous aident en rien )

[Magni]

Donne-moi deux transcendants quelconques, et je te construis explicitement un rationnel qui les sépare, par ma démonstration précédente.

Ta démonstration est nulle, elle ne vaut que pour les nombres qu'on peut distinguer algébriquement.

Elle vaut pour tous les nombres qui possèdent une écriture décimale, c'est-à-dire tous les réels, ce qui inclut les irrationnels, les transcendants, etc. Que ces nombres soient algébriques ou pas, calculables ou pas, ils sont tous déterminés en eux-mêmes par leur écriture décimale, même si celle-ci est éventuellement impossible à calculer en pratique par un algorithme.

Ma démonstration vaut donc inconditionnellement. Le reste n'est que verbiage.

Non, ta formule n'est pas valable pour tous les nombres qui possèdent une écriture décimale, elle est valable pour tous les nombres dont tu peux connaître algébriquement la valeur.


Si tu as deux segments dont la différence de longueur est non algébrique, donc non mesurable, tu ne peux pas forcément dire lequel des deux est le plus long, parce que la différence n'est pas mesurable.
Il n'empêche, l'un des deux est plus long que l'autre.

Tu ne sais tout simplement même pas ce qu'est un nombre non-algébrique et non-mesurable.

[Leonhard]

Strictement entre un algébrique et l'algébrique directement après il n'y a aucun algébrique,

Pourtant, la moyenne entre ces deux algébriques est un algébrique strictement situé entre eux. Et BAM. C'est pourtant élémentaire.

[Vanleers]

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

Ce n'est pas complet.

Bien sûr qu'il faut partir de A. Mais pour ne pas rester en A, il faut atteindre un premier A' au-delà de A. Et le paradoxe tient au fait que ce fameux A' n'existe pas... Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A.

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Étude intéressante des 4 paradoxes de Zénon en :

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02268936/document

[Magni]

Strictement entre un algébrique et l'algébrique directement après il n'y a aucun algébrique,

Pourtant, la moyenne entre ces deux algébriques est un algébrique strictement situé entre eux. Et BAM. C'est pourtant élémentaire.

Exact, effectivement, sur ce point tu as raison.

[quid]

Strictement entre un algébrique et l'algébrique directement après il n'y a aucun algébrique,

Pourtant, la moyenne entre ces deux algébriques est un algébrique strictement situé entre eux. Et BAM. C'est pourtant élémentaire.

Exact, effectivement, sur ce point tu as raison.

C'est sans fin cette histoire.

Pour les nombres entiers qui ne sont pas denses sur l'ensemble réel et qui sont dénombrables, pour un segment fini donné, on aura un nombre fini de nombres entiers sur le segment.

Pour les nombres algébriques, qui sont denses sur l'ensemble réel (et a priori dénombrables), pour un segment fini donné, on aura un nombre infini (aleph0) de ces nombres sur le segment (et ceci pour tous les sous-segments à l'infini).
On trouvera donc toujours un nombre algébrique à positionner entre deux autres, du fait de la propriété de densité, et ceci à l'infini (à l'infiniment petit).
Et pourtant, deux nombres algébriques ne représenterons jamais deux positions contigües, il y aura toujours des nombres non algébriques, transcendants, en nombre beaucoup plus grand (aleph1), qui comblerons les interstices, et ceci à l'infini (à l'infiniment petit).

Problème : A l'infini (à l'infiniment petit), les nombres algébriques (de cardinalité aleph0) convergent-t-ils vers une forme de continuité ? Car ils parviennent toujours à séparer le continu (de cardinalité aleph1) à toutes les échelles, même les plus infimes. Il y a une course entre deux infinis. L'un (a priori) dénombrable et nettement plus petit que l'autre, non dénombrable.

Question : Dans une série géométrique (somme de nombres rationnels) convergente, n'a-t-on pas le même problème quant à la réalisation de la convergence en une solution unique quand on va à l'infini ?

[Leonhard]

Problème : A l'infini (à l'infiniment petit), les nombres algébriques (de cardinalité aleph0) convergent-t-ils vers une forme de continuité ? Car ils parviennent toujours à séparer le continu (de cardinalité aleph1) à toutes les échelles, même les plus infimes. Il y a une course entre deux infinis. L'un (a priori) dénombrable et nettement plus petit que l'autre, non dénombrable.

De façon général, les rationnels sont effectivement beaucoup "moins nombreux" que les irrationnels, les premiers étant dénombrables et pas les seconds. Et pourtant, les rationnels parviennent malgré tout à séparer tous les irrationnels de façon absolue, de sorte que l'ensemble des irrationnels soit totalement discontinu : cela signifie que les irrationnels sont tous isolés les uns des autres, et qu'il n'existe aucun intervalle continu contenant exclusivement des irrationnels.

Il y a moult façon de s'en rendre compte, comme déjà constaté dans cette discussion. Une approche additionnelle est de considérer la célèbre fonction de Dirichlet : c'est une fonction qui vaut 1 en chaque rationnel, et 0 en chaque irrationnel. Son graphe est constitué de points à hauteur 0 ou 1. On peut démontrer que cette fonction n'est continue nulle part, ce qui signifie que son graphe ne contient aucune portion de courbe continue (ni à la hauteur 0, ni à la hauteur 1), ce qui signifie précisément qu'il n'y a aucun amas continu constitué strictement de rationnels, ou strictement d'irrationnels.

Et si les irrationnels, qui contiennent les transcendants, sont totalement discontinus (alors qu'ils sont indénombrables), alors les transcendants le sont inévitablement.

Un bon article de Pour la science qui parle un peu de cette fonction :
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/des-fonctions-monstrueuses-mais-utiles-20322.php

[neopilina]

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

Ce n'est pas complet.
Bien sûr qu'il faut partir de A. Mais pour ne pas rester en A, il faut atteindre un premier A' au-delà de A. Et le paradoxe tient au fait que ce fameux A' n'existe pas... Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A.

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Étude intéressante des 4 paradoxes de Zénon en :

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02268936/document

Merci beaucoup Vanleers. Le document est long, je le lirais demain et je suis certain que j'apprendrais. Mais ! Je fais déjà une remarque sur le titre qui est " Pourquoi les paradoxes de Zénon ne remettent pas en question le mouvement mais plutôt l’immobilité " par Mael Bathfield.

  : Zénon ne nie pas le mouvement !! Il montre que le pythagorisme ne peut pas le décrire avec ses outils. Problématique particulière qui pose ine fine celle beaucoup, beaucoup, plus générale des discours (disciplines), de la connaissance. Dés le V° av. J.C., Zénon, qui dans un premier temps vise les pythagoriciens, met le doigt sur des problèmes qui sont toujours d'actualité pour la connaissance, la science et la philosophie. Le " Vox Zenonis " de Zafiropulo retrace ce parcours épistémologique de la science, je pense que la table des matières va parler à certains :
- Introduction.
I - La genèse du problème.
II - Les moyens d'expression.
III - L'exprimable.
IV - La solution de Pythagore.
V - Les objections de Zénon.
VI - La solution d'Aristote.
VII - L'objection de Galilée.
VIII - La solution de Newton.
IX - L'objection de Michelson et de Morley.
X - La solution d'Einstein.
XI - L'objection de Bohr -Heisenberg.
XII - La solution de Einstein - De Broglie.
XIII - L'objection de Kurt Goëdel.
XIV - Conclusion.

Après le chapitre sur Aristote, je décroche très vite, ceux qui veulent des mathématiques, de la physique, de la logique, seront abondamment servis. Mais pourquoi donc " Vox Zenonis " ? C'est juste un hommage. Parce que c'est lui qui ouvre le bal, l'ultime limite de sa critique, d'abord visant les pythagoriciens, puis la généralisant autant qu'il le peut à l'époque, est toujours d'actualité, avec cet ensemble (les quatre arguments cinématiques) et les quatre fragments (c'est tout ce qu'on a de lui), il touche " d'entrée " les problèmes épistémologiques les plus fondamentaux de la connaissance, de la science et de la philosophie.

à Leonhard,

Il y a le raisonnement de Zafiropulo, dont la prémisse est "espace divisible à l'infini et temps non divisible à l'infini", et qui conclut que le mouvement est impossible. Ce raisonnement me semble invalide même en acceptant ses prémisses, comme je l'ai déjà dit :

En effet, en supposant que le temps [n'est pas] divisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.

Je reformule cette analyse :

Imaginons que l'intervalle minimal entre deux instants temporels soit de 1 seconde, qui est alors notre unité irréductible de temps.
Imaginons qu'un objet se déplace, a priori, à une vitesse de 1 mètre par seconde. (Une balle qui roule, par exemple.)

Peut-on appliquer le raisonnement de la Dichotomie à cette configuration pour conclure que le mouvement est impossible ? Non. En effet, le raisonnement commencerait par dire que "avant de couvrir 1 mètre, l'objet doit d'abord couvrir 1/2 mètre". Mais rien que cela, c'est déjà absurde. En effet, compte tenu de la vitesse de l'objet, il parcourt en principe 1 mètre en 1 seconde. Et comme la seconde est l'unité irréductible de temps, il n'y a pas d'instant avant 1 seconde (autre que 0 seconde, bien sûr). L'objet n'a donc pas à parcourir quoi que ce soit "avant" d'atteindre 1 mètre. L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Ça, c'est pour le raisonnement de Zafiropulo.

J'ai compris ce que j'ai lu, c'est bien ! Est-ce que ce type de mouvement existe dans la nature ?
Es-tu d'accord avec cela : tu considère que les prémisses de la Dichotomie ne sont pas parfaites parce qu'elles laissent subsister une possibilité théorique, mathématique en l'occurrence, au mouvement (alors que, je le rappelle, l'intention de Zénon est de formuler un énoncé qui le rend parfaitement impossible) ? Je requiers une réponse claire (i.e. pour un nul en maths !).

Vanleers ajoute :

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Une réaction ?

[Leonhard]

Essaye de me construire explicitement un rationnel entre Pi et le premier réel suivant.

Le réel "suivant" n'existe pas. Mais supposons qu'il existe, notons-le x.

Je définis alors le nombre y comme suit :

y est le nombre dont l'écriture décimale commence par la plus longue séquence de chiffres que pi et x ont en commun, et contient de surcroît la décimale suivante de x, rien de plus.

Je n'ai pas besoin de connaître pi ni x pour définir ainsi y, qui est univoquement saisi ainsi.

On a que y est rationnel et strictement entre pi et x. CQFD.

C'est toujours la même démonstration.

[quid]

Il y a moult façon de s'en rendre compte, comme déjà constaté dans cette discussion. Une approche additionnelle est de considérer la célèbre fonction de Dirichlet : c'est une fonction qui vaut 1 en chaque rationnel, et 0 en chaque irrationnel. Son graphe est constitué de points à hauteur 0 ou 1. On peut démontrer que cette fonction n'est continue nulle part, ce qui signifie que son graphe ne contient aucune portion de courbe continue (ni à la hauteur 0, ni à la hauteur 1), ce qui signifie précisément qu'il n'y a aucun amas continu constitué strictement de rationnels, ou strictement d'irrationnels.

On arrive dans le domaine des fractales, à penser c'est pas simple.

[neopilina]

(

Je pense qu'on devrait créer un fil, une section, " Mathématiques " dans " Lignes en marge ". Des messages n'ont absolument plus aucun lien avec le titre du fil.

)

[Vanleers]

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Une réaction ?

Il est heureux que l'on ne puisse pas partir de A si c'est pour ne pas arriver à B.
Cela évite bien des déplacements inutiles.

[Magni]

Essaye de me construire explicitement un rationnel entre Pi et le premier réel suivant.

Le réel "suivant" n'existe pas. Mais supposons qu'il existe, notons-le x.

Je définis alors le nombre y comme suit :

y est le nombre dont l'écriture décimale commence par la plus longue séquence de chiffres que pi et x ont en commun, et contient de surcroît la décimale suivante de x, rien de plus.

Je n'ai pas besoin de connaître pi ni x pour définir ainsi y, qui est univoquement saisi ainsi.

On a que y est rationnel et strictement entre pi et x. CQFD.

C'est toujours la même démonstration.

Tu n'as pas le droit de changer la prémisse, ton "y" a une écriture décimale finie et il est déjà rationnel.

Tu dois prend Pi et un autre nombre, tu n'as pas le droit de prendre seulement un morceau de Pi.
Si tu prends deux rationnels, oui, on peut intercaler un rationnel entre deux rationnels. Mais cela ne démontrer pas qu'il y a toujours un rationnel entre deux réel quelconques.

Si x est rationnel, la moyenne entre Pi qui est non rationnel, et x qui est rationnel, donne un résultat non rationnel.





Les rationnels sont beaucoup moins nombreux que les transcendants, infiniment moins nombreux.
On ne peut pas poser 10 intercalaires entre chaque couple de pages d'un livre de mille pages.
Ici on n'a pas 10 et 1000 mais aleph 0 et aleph 1, et le problème est similaire.

Tu peux toujours faire la moyenne algébrique de deux rationnels, mais tu auras quand même toujours plus de transcendants que de rationnels.

Si on pouvait vraiment insérer un rationnel entre chaque couple de réels quelconque, cela voudrait dire que le cardinal des rationnels est équipotent avec le cardinal des transcendants et qu'il est possible de définir une bijection entre les deux ensembles.






Prenons deux nombres rationnels A et B.
L'argument de la moyenne est un bon argument pour démontrer qu'il n'y a pas de rationnel suivant pour un rationnel donné. Cette méthode est répétable indéfiniment.
Entre deux rationnels donnés, quels qu'ils soient, il y a donc toujours une infinité dénombrable de rationnels.

Mais c'est un infini dénombrable, la quantité est Aleph 0.
Entre A et B, il y a une quantité indénombrable de transcendants, cette quantité est Aleph 1.

Un ensemble de cardinal aleph 0 n'est pas bijectif vers un ensemble de cardinal Aleph 1.

Tu as toujours plus de transcendants que de rationnels et tu ne peux pas intercaler un rationnel entre tous les couples de réels quels qu'ils soient.

[hks]

C'est sans fin cette histoire.

Un fil sur Zenon a -t- il une limite ?

Aux échecs il y a bien le PAT  ... et au jeu de CO on s'arrête quand on trouve que "c'est bien comme ça" .
(et oui ...c'est sino nipon)

[Magni]

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Une réaction ?

Il est heureux que l'on ne puisse pas partir de A si c'est pour ne pas arriver à B.
Cela évite bien des déplacements inutiles.

On peut diviser un espace en deux un autant de fois que l'on veut. La division, qui est un outil algébrique, peut se poursuivre sans fin, et il y a toujours un reste algébrique à diviser.

C'est l'argument de la moyenne que Leonhard nous a aimablement rappelé. La discution sur les partitions de l'infini sont totalement dans le sujet des paradoxes de Zénon. Je vais utiliser ici les résultats de mes cogitations conjointes avec Leonhard à propos de l'infini pour faire avancer le sujet sur les paradoxes de Zénon.







Si on prend un caillou qui doit parcourir 8 mètres, on peut diviser 8 en 2, le résultat par 2, le résultat par 2, et ainsi de suite indéfiniment, et on ne pourra jamais trouver zéro, il y aura toujours un résultat rationnel non nul, ça ne fini jamais.

Étant donné que tout le monde sait très bien qu'on est capable de lancer un caillou, si le lancé de caillou est une opération causale et non magique gérée par les Dieux dans l'unité de la monade divine, alors on doit pouvoir entièrement définir par la logique le mouvement du caillou.

Cependant, Zénon, par le témoignage de Platon, dit que son entreprise est humble.
Il ne cherche pas à prouver que les partisans de l'unité divine ont raison en montrant que le calcul par division est inopérable pour calculer le mouvement du caillou.
Zénon dit, selon Platon, que les arguments en faveur de la division sont tout aussi absurdes que les arguments en faveur de l'unité . Il ne prend pas partit.

Ce que Zénon a montré, humblement, c'est seulement qu'on ne savait pas entièrement définir un mouvement par le calcul avec les outils de calcul connus a son époque, particulièrement pour ce qu'il s'agit d'un calcul de limite a l'infini.





Ce que Zénon ne savait pas faire, et personne ne savait le faire à l'époque, c'est l'analyse, qui permet de pratiquer le calcul infinitésimal, c'est à dire passer outre l'infini algébrique avec un autre infini encore plus grand.

Si on ne peut pas finir une division algébrique récursive avec l'algèbre, on peut le faire avec l'analyse.
Avec l'analyse on obtient véritablement une infinité de division.

L'analyse est un outil plus puissant que l'algèbre.
L'algèbre à la puissance de l'infini dénombrable.
L'analyse à la puissance de l'infini indénombrable.

Ce que Zénon a montré, c'est que les nombres rationnels ne suffisent pas.
Ce que Leibniz a montré, c'est qu'il faut une classe de nombres qui dépasse la puissance du mesurable, et il a été le premier à croire à l'existence des nombres transcendants, parce que ce type de nombre est nécessaire pour résoudre certains types de problèmes comme les paradoxes de Zénon.





Avec la méthode de Zénon, on divise une mesure, et on trouve une autre mesure, il y a toujours un reste mesurable différent de zéro.

Avec le calcul infinitésimal, on obtient un reste non mesurable.

En algèbre, "l'infini divisé par l'infini" est une forme indéterminée, il n'y a pas de résultat.
En analyse, "l'infini dénombrable, divisé par un infini encore plus grand et indénombrable" ça donne un résultat, c'est exactement zéro.


Il faut avoir recours a l'analyse pour résoudre mathématiquement les paradoxes de Zénon.

[neopilina]

Un fil sur Zénon a t-il une limite ?

Je me permets de modifier la question : un fil sur les arguments cinématiques de Zénon a t-il une limite ? Je motive cette modification ci-dessous. La réponse à cette question est : oui, c'est possible, à deux conditions. Je reprends un peu de ce que j'ai dit ci-dessus pour qu'on comprenne bien les dites conditions.

Bien sûr, le problème particulier des arguments cinématiques, de cet ensemble, sciemment conçu comme tel, cohérent et exhaustif avec un but précis (" Le pythagorisme est mort "), de ses qualités intrinsèques, s'intègre complétement dans le problème bien plus général du discontinu et du continu, et donc de la connaissance, comment dire les choses aussi bien que possible (objet de " Vox Zenonis ", Zafiropulo part du pythagorisme pour terminer avec la relativité générale, c'est de l'épistémologie des sciences). Et voilà pourquoi, in fine, avec Zénon, ça n'en finit jamais de rebondir.

Dans " Vox Zenonis ", la conclusion des quelques pages consacrées à Zénon, " V - Les Objections de Zénon ", est la suivante :

   Zafiropulo a écrit:
   Donc, quel que soit soit le système d'unité choisi, il est impossible, sans commettre de contradiction logique, de décrire le mouvement à l'aide d'un langage impliquant une description discontinue. C.Q.F.D.

En " VI - La solution d'Aristote ", Zafiropulo montre comment peu à peu, en commençant par Aristote, les difficultés mises en exergue par Zénon commenceront à être surmontées correctement. En fin de volume, on trouve " XII - La solution Einstein - De Broglie " et " XIII - L'objection de Kurt Goëdel ", puis la conclusion.

Le premier des quatre arguments a être correctement liquidé l'est par Aristote, c'est la Flèche. Tous les autres le seront par la suite, mais donc ça sera laborieux à souhaits, à cause de soi-disants réfutations, réponses, etc., qui sont à " coté de la plaque ", ou qui se tromperont de problèmes, j'y viens :

Zénon ne nie pas le mouvement !! Il montre que le pythagorisme ne peut pas le décrire avec ses outils. Problématique particulière qui pose ine fine celle beaucoup, beaucoup, plus générale des discours (disciplines), de la connaissance. Dés le V° av. J.C., Zénon, qui dans un premier temps vise les pythagoriciens, met le doigt sur des problèmes qui sont toujours d'actualité pour la connaissance, la science et la philosophie. Le " Vox Zenonis " de Zafiropulo retrace ce parcours épistémologique de la science, je pense que la table des matières va parler à certains :
- Introduction.
I - La genèse du problème.
II - Les moyens d'expression.
III - L'exprimable.
IV - La solution de Pythagore.
V - Les objections de Zénon.
VI - La solution d'Aristote.
VII - L'objection de Galilée.
VIII - La solution de Newton.
IX - L'objection de Michelson et de Morley.
X - La solution d'Einstein.
XI - L'objection de Bohr -Heisenberg.
XII - La solution de Einstein - De Broglie.
XIII - L'objection de Kurt Goëdel.
XIV - Conclusion.

Après le chapitre sur Aristote, je décroche très vite, ceux qui veulent des mathématiques, de la physique, de la logique, seront abondamment servis. Mais pourquoi donc " Vox Zenonis " ? C'est juste un hommage. Parce que c'est lui qui ouvre le bal, l'ultime limite de sa critique, d'abord visant les pythagoriciens, puis la généralisant autant qu'il le peut à l'époque, est toujours d'actualité, avec cet ensemble (les quatre arguments cinématiques) et les quatre fragments (c'est tout ce qu'on a de lui), il touche " d'entrée " les problèmes épistémologiques les plus fondamentaux de la connaissance, de la science et de la philosophie.

Les arguments sur le mouvement de Zénon s'inscrivent donc pleinement, remarquablement, au sein de problématiques beaucoup plus vastes, touchant à la fois, l'épistémologie, la connaissance, la science, la philosophie, ça fait beaucoup. Dés lors que c'est-il passé avec Zénon, notamment avec cet ensemble ? Enormément de ceux qui se sont intéressés à cet ensemble, ont :
- réagi à coté de la plaque (et donc même un Cantor, un Russel, etc., victimes de leur génie spécifique peuvent répondre " à coté de la plaque ").
et/ou :
- sans s'en apercevoir, sont passés de la problématique particulière (Zénon montre, de façon remarquable, que les outils mathématiques de l'époque ne peuvent pas décrire le mouvement) aux problématiques générales, au sein desquelles, c'est donc totalement vrai, s'inscrit le problème particulier.

Et donc, ça fait beaucoup, tout à fait, ça nous donne cette littérature ainsi hypertrophiée, qui part dans tout les sens (ici aussi !), etc.

Et donc, conscient de cela suite à ma très longue fréquentation de cette littérature, ici, sur ce fil, je garde le cap, je ne sors pas de la problématique particulière. Et je continue :

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Une réaction ?

Il est heureux que l'on ne puisse pas partir de A si c'est pour ne pas arriver à B.

Merci Vanleers. Mais c'est à Leonhard que je demandais une réaction :

à Leonhard,

Il y a le raisonnement de Zafiropulo, dont la prémisse est "espace divisible à l'infini et temps non divisible à l'infini", et qui conclut que le mouvement est impossible. Ce raisonnement me semble invalide même en acceptant ses prémisses, comme je l'ai déjà dit :

En effet, en supposant que le temps [n'est pas] divisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.

Je reformule cette analyse :

Imaginons que l'intervalle minimal entre deux instants temporels soit de 1 seconde, qui est alors notre unité irréductible de temps.
Imaginons qu'un objet se déplace, a priori, à une vitesse de 1 mètre par seconde. (Une balle qui roule, par exemple.)

Peut-on appliquer le raisonnement de la Dichotomie à cette configuration pour conclure que le mouvement est impossible ? Non. En effet, le raisonnement commencerait par dire que "avant de couvrir 1 mètre, l'objet doit d'abord couvrir 1/2 mètre". Mais rien que cela, c'est déjà absurde. En effet, compte tenu de la vitesse de l'objet, il parcourt en principe 1 mètre en 1 seconde. Et comme la seconde est l'unité irréductible de temps, il n'y a pas d'instant avant 1 seconde (autre que 0 seconde, bien sûr). L'objet n'a donc pas à parcourir quoi que ce soit "avant" d'atteindre 1 mètre. L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Ça, c'est pour le raisonnement de Zafiropulo.

J'ai compris ce que j'ai lu, c'est bien ! Est-ce que ce type de mouvement existe dans la nature ?
Es-tu d'accord avec cela : tu considère que les prémisses de la Dichotomie ne sont pas parfaites parce qu'elles laissent subsister une possibilité théorique, mathématique en l'occurrence, au mouvement (alors que, je le rappelle, l'intention de Zénon est de formuler un énoncé qui le rend parfaitement impossible) ? Je requiers une réponse claire (i.e. pour un nul en maths !).

Vanleers ajoute :

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

Une réaction ?

à Vanleers,

Que penses-tu de l'objection de Leonhard :

En effet, en supposant que le temps [n'est pas] divisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.
Je reformule cette analyse :

Imaginons que l'intervalle minimal entre deux instants temporels soit de 1 seconde, qui est alors notre unité irréductible de temps.
Imaginons qu'un objet se déplace, a priori, à une vitesse de 1 mètre par seconde. (Une balle qui roule, par exemple.)

Peut-on appliquer le raisonnement de la Dichotomie à cette configuration pour conclure que le mouvement est impossible ? Non. En effet, le raisonnement commencerait par dire que "avant de couvrir 1 mètre, l'objet doit d'abord couvrir 1/2 mètre". Mais rien que cela, c'est déjà absurde. En effet, compte tenu de la vitesse de l'objet, il parcourt en principe 1 mètre en 1 seconde. Et comme la seconde est l'unité irréductible de temps, il n'y a pas d'instant avant 1 seconde (autre que 0 seconde, bien sûr). L'objet n'a donc pas à parcourir quoi que ce soit "avant" d'atteindre 1 mètre. L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Depuis, tu as ajouté, toujours en acceptant les deux prémisses de la Dichotomie :

Pour Zénon, non seulement on ne peut pas partir de A (dichotomie régressive), mais on ne peut jamais atteindre B (dichotomie progressive).

et :

Il est heureux que l'on ne puisse pas partir de A si c'est pour ne pas arriver à B.

Pour moi c'est assez sybillin : si l'objection de Leonhard est réfutée, etc., ce n'est pas manifeste pour moi.

[Leonhard]

J'ai compris ce que j'ai lu, c'est bien ! Est-ce que ce type de mouvement existe dans la nature ?

Si la nature était non divisible à l'infini (et, avec la physique quantique, il semblerait qu'il y ait bel et bien une durée observable minimale indivisible entre deux événements, qui est le temps de Planck), alors le mouvement observable s'effectuerait effectivement par "saut" d'un instant au suivant...

Es-tu d'accord avec cela : tu considère que les prémisses de la Dichotomie ne sont pas parfaites parce qu'elles laissent subsister une possibilité théorique, mathématique en l'occurrence, au mouvement (alors que, je le rappelle, l'intention de Zénon est de formuler un énoncé qui le rend parfaitement impossible) ? Je requiers une réponse claire (i.e. pour un nul en maths !).

En gros oui. Je le dirais plutôt ainsi : avec les prémisses de Zafiropulo, le raisonnement de la Dichotomie n'est pas inéluctablement valide. Il nous faut au moins des prémisses permettant au raisonnement d'être 100% valide, pour que ce raisonnement (qui établit une absurdité : l'impossibilité du mouvement) puisse servir à réfuter les prémisses en question.

La prémisse "espace et temps divisibles à l'infini" me semble donner beaucoup plus de force au raisonnement de la Dichotomie. Là, chaque objet doit vraiment parcourir L/2 avant de parcourir L/2, et l'inexistence d'une "toute première distance à parcourir" est alors l'argument de fond du paradoxe.

Lever le paradoxe exige d'expliquer comment le mouvement est, en fait, possible malgré l'inexistence de cette toute première distance à parcourir.

La solution de Magni consiste à dire qu'il y a bel et bien une première distance à parcourir, mais c'est mathématiquement faux au sens où il n'y a pas de nombre réel "juste après" 0, puisqu'un tel nombre, divisé par deux, donnerait un nouveau nombre encore plus proche de zéro (ce qui est contradictoire).

In fine, le paradoxe de la Dichotomie correspond au problème mathématique suivant : comment une droite peut-elle être continue alors qu'aucun de ses points ne possède de voisin direct ?

[hks]

L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Donc Achille saute .( je n'ironise pas ) mais peut être... sur place.
Mais non vous pensez bien qu'il avance  
Le mouvement dont  vous discutez) n'est justement pas sur place .
Mais la question de la force et de sa direction est une autre question.

Car Remarquez que si Achille sautille sur place la question est la même.
Il était là au sol et il est maintenant là en l'air et puis encore là sur le sol
Et entre 2 positions il y a un trou dans l'espace.

Comme chaque position est liée  à l'instant discret. Un instant est aussi une position.
Je veux dire qu"entre les positions a tel instant il n'y a pas de position d'Achille.  Il est (savoir si Achille y existe encore) dans un non espace

Sauf si c'est l'espace absolu de Newton.
Un espace absolu dans lequel on peut sauter et qui est une présence neutre et  permanente,  il n'y a plus de vide vide entre les sauts .
Et l'espace absolu ce n'est pas un espace divisible.
On peut y sauter de A à B.
L'espace est toujours là, entre les instants, dans ce vide entre les instants, il y a l'espace absolu comme support .
C 'est le sous bassement neutre et permanent, hors du temps, indifférent .

Et donc s' il faut faire une critique c'est celle rl'espace absolu de Newton (ce que Leibniz a fait)
ou l'endosser, sans critique, par conviction postulante.
Ce dont sur ce fil personne ne semble douter.

Et les questions proprement philosophiques sont occultées aux bénéfices de réponses mathématiques dont les postulats philosophiques sont peu clairs.

[jean tardieu]

comment une droite peut-elle être continue alors qu'aucun de ses points ne possède de voisin direct ?

Deux points (particules) sont pourtant bien continus par leurs champs respectifs... Les mathématiques pures semblent considérer deux points comme séparés alors qu'il n'en serait rien dans le réel... Hum, je perplexe...

[neopilina]

( merci à l'administration pour le déplacement du fil dans le section " Eléates ". Leonhard consentirait-il à une modification du titre : " Les arguments cinématiques de Zénon ". Merci. )

...................................................

à hks,

L'espace a beau être divisible, mais puisque le temps ne l'est pas, le mouvement non plus ne l'est pas et peut s'effectuer d'un coup, sous forme de "saut" d'une position à la suivante. Le mouvement est donc possible.

Donc Achille saute .( je n'ironise pas ) mais peut être... sur place.
Mais non vous pensez bien qu'il avance  
Le mouvement dont vous discutez) n'est justement pas sur place .
Mais la question de la force et de sa direction est une autre question.

Car Remarquez que si Achille sautille sur place la question est la même.
Il était là au sol et il est maintenant là en l'air et puis encore là sur le sol
Et entre 2 positions il y a un trou dans l'espace.

Comme chaque position est liée  à l'instant discret. Un instant est aussi une position.
Je veux dire qu"entre les positions a tel instant il n'y a pas de position d'Achille.  Il est (savoir si Achille y existe encore) dans un non espace

Sauf si c'est l'espace absolu de Newton.
Un espace absolu dans lequel on peut sauter et qui est une présence neutre et  permanente,  il n'y a plus de vide vide entre les sauts .
Et l'espace absolu ce n'est pas un espace divisible.
On peut y sauter de A à B.
L'espace est toujours là, entre les instants, dans ce vide entre les instants, il y a l'espace absolu comme support .
C 'est le sous bassement neutre et permanent, hors du temps, indifférent .

Et donc s' il faut faire une critique c'est celle rl'espace absolu de Newton (ce que Leibniz a fait)
ou l'endosser, sans critique, par conviction postulante.
Ce dont sur ce fil personne ne semble douter.

Et les questions proprement philosophiques sont occultées aux bénéfices de réponses mathématiques dont les postulats philosophiques sont peu clairs.

Et tu passe aux problématiques générales.

Et il y a bien de la part de Zénon une attaque intéressante dirigée contre l'idée d'espace absolu, on la trouve examinée à deux reprises chez Aristote. Mais ce n'est pas via les arguments cinématiques, c'est via le fragment IV : " Fragments B 4 (D.K.).

Ce qui se meut ne se meut ni dans le lieu où il se trouve, ni dans le lieu où il ne se trouve pas ".

C'est bien via celui-ci, pas par les arguments cinématiques, que la littérature spécialisée se penche sur l'espace absolu, l'alternative de Leonhard n'étant pas évoquée. Comme de bien meilleurs que nous se sont penchés là-dessus, on peut supposer que l'alternative de Leonhard a été identifiée, mais si ce mouvement, possible mathématiquement (?), n'existe pas, n'est pas possible dans la nature, la Dichotomie a tout de même été déclarée valide ?

P.S. Et j'ai bien vu la création et l'activité sur le fil " Espace absolu " ! J'attends un peu !

[hks]

à neopilina
je me suis surtout intéressé à cette idée de saut  
Parce que je  la trouve aussi chez Quid.
Les postulats de départ sont ce qu'il y a de plus difficile à exhumer.
Il faut forcer contre des convictions qui n'apparaissent peut- être pas sous la forme de conviction/postulat.

cComme quoi par exemple : le temps serait composée d'instants et de saut
puisqu'il faut bien passer de l'un à l'autre, on saute  ou CA saute .

Et donc ma critique est assez précise.
Si ça saute alors il y a un entre deux
Dans cet entre deux Achille n'a pas de position ( savoir si Achille  existe encore )
S' il n'a pas de position il est hors toute spatialisation.
Il a perdu l'espace .
 Ce qui sauve la théorie, du passage par sauts, c'est que l'espace n'est pas perdu,
parce que absolu toujours là et même s'il n'y a personne qui y soit positionné.

L'espace absolu lie  les deux Achilles  celui de l'instan 1 et celui de linstant 2
Il peut sauter de l'instant 1 à l instant 2
parce qu'il y a non pas un vide d'espace dans lequel il tomberait sans pourvoir espérer un instant 2 (sa planche de salut)
mais il y a l'espace absolu.

autrement dit
On a un instant où l'espace est déterminé (par Achille)
on saute dans l'instant 2 où l'espace est déterminé (par Achille)
Et entre les deux on a l'espace indéterminé absolu. Et Leibniz pense (en gros) que c'est une fiction imaginaire que cet espace indéterminé.

je n'hésite pas à me répéter comme tu le vois
L' Espace absolu, on a un peu la même idée avec L'ETHER
.....................

[Magni]

comment une droite peut-elle être continue alors qu'aucun de ses points ne possède de voisin direct ?

Une telle droite ne peut pas être continue.

Soit c'est discret et cela ne se touche pas, soit c'est continu est ça se touche.
Si un point sur une droite n'a pas de voisin direct, il n'y a pas continuité en ce point.

[Magni]

Les nombres algébriques n'ont pas la puissance du continu, cela signifie qu'on peut toujours mettre un nombre algébrique entre deux nombres algébriques différents.
L'intervalle entre deux nombres algébriques différents est toujours mesurable.

Les nombres non-algébriques ont la puissance du continu, cela signifie qu'on ne peut pas toujours mettre un nombre non-algébrique entre deux nombres non-algébriques.
L'intervalle entre deux nombres non-algébriques différents n'est pas toujours mesurable.


Quelle est la différence algébrique entre un infinitésimal et zéro ?
Au niveau algébrique c'est identique.
Par contre, au niveau de la relation d'ordre des réels, zéro vient avant l'infinitésimal.

John Wallis







Leonhard, est un infinitésimal, est un infinitésimal différent, peux tu comparer ces deux nombres avec la trichotomie et trouver qu'ils sont différents ?





On ne connaît pas le plus petit infinitésimal de tous les infinitésimaux.
D'ailleurs il n'y en a pas de plus petit, ils sont tous algébriquement aussi petits.
L'infinitésimal n'est pas de taille mesurable. On peut avoir plusieurs infinitésimaux différents, si on veut les mesurer, on obtient zéro, et si on veut mesurer leur différence on obtient zéro.
Il n'y a pas de plus petit infinitésimal, mais est ce qu'il y a un premier infinitésimal ?


Et la c'est intéressant, parce que dans le continu, au niveau analytique, l'infinitésimal est après zéro, ce n'est plus zéro, pas au niveau algébrique, au niveau de la mesure algébrique c'est toujours zéro, mais dans l'ensemble complet des réels qui contient le non algébrique, l'infinitésimal est différent de zéro.


Leonhard, supposons que le caillou de Zénon est en , a t-il commencé à bouger ou est ce qu'il n'y a toujours pas de mouvement ?



Ce qu'il faudrait connaître, pour connaître l'élément immédiatement après zéro dans le continu de l'ensemble des réels, c'est le premier élément après zéro, dans l'ordre strict des réels.
zéro n'est pas un infinitésimal, c'est zéro.
On ne connaît pas le premier infinitésimal.
Le fait qu'on ne le connaît pas (et qu'on ne pourra peut être jamais le connaître) n'est pas une preuve qu'il n'existe pas.

Soit le premier nombre après zéro existe et les réels sont un ensemble continu, ce qui est le cas.
Soit le premier nombre après zéro n'existe pas et les réels sont un ensemble discontinu, ce qui n'est pas le cas.

[Leonhard]

Les infinitésimaux ne sont pas des réels, mais des hyperréels. Or, on parle de la droite des nombres réels.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hyperr%C3%A9el

De toute façon, les hyperréels forment également un ensemble dense, c.-à-d. qu'entre deux infinitésimaux a et b, il existe toujours un infinitésimal qui les sépare. On le démontre dans la théorie des hyperréels (l'analyse non standard), qui formalise la notion d'infinitésimal de Leibniz.

Le jour où tu comprendras la notion d'ensemble dense (ou d'ordre dense), tu pourras enfin arrêter d'être responsable de désinformation.

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