Le paradoxe d'Antisthène

[benfifi]

Je rebondis à partir de :
https://digression.forum-actif.net/t1904-presentation-d-une-demonstration-simplifiee-des-theoremes-de-godel#65881

Soit G0 la formule G.
Considérant la formule G0 on peut dire :
« (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) » énonçant " la formule portant le nombre de Gödel sub (n,13,n) est indémontrable " est indécidable.

Considérons la formule G1 :
« (x) ~ Dem (x, sub (sub (n,13,n),13,n)) » énonce : la formule portant le nombre de Gödel sub (sub (n,13,n),13,n) est indémontrable.
À la formule portant le nombre de Gödel sub (n,13,n), soit G0, substituons donc n à la variable portant le nombre de Gödel 13, c'est-à-dire y. Comme G0 ne contient pas y, la formule G1 obtenue après substitution est égale à G0. Et sub (sub (n,13,n),13,n) est égal à sub (n,13,n). Et  sub (n,13,n) = n . Soit E cette égalité.
Ainsi :
Considérant la formule G1 on peut dire :
« (x) ~ Dem (x, sub (sub (n,13,n),13,n)) » énonçant " la formule portant le nombre de Gödel sub (sub (n,13,n),13,n) est indémontrable " est indécidable.

En généralisant, considérant la formule Gn (prononcer géhenne), on peut dire :
« (x) ~ Dem (x, sub (sub (... sub (n,13,n)... ,13,n),13,n)) » énonçant " la formule portant le nombre de Gödel sub (sub (... sub (n,13,n)... ,13,n),13,n) est indémontrable " est indécidable.

De même, suivant le même procédé, partant de G0, on peut considérer G-1, G-2, ..., G-n (prononcer j'ai moins [la] haine).

La formule G est formulée de telle façon qu'elle "se mord la queue" lors de sa formulation même.
C'est le syndrome de l'auto-référencement. Dit aussi syndrome du barbier. Lequel peut s'énoncer ainsi :
"... rase s'il ne se rase pas se rase s'il ne se rase pas se..." . Ou encore :
"... rase ne se rase pas s'il se rase ne se rase pas s'il se..." . Bref en boucle.

Antisthène dirait que la roue tournant indéfiniment dans un sens comme dans l'autre, emportée par son mouvement, il est impossible de fixer, déterminer la formule G. Donc la formule G n'existe pas. Paradoxe !

Ce à quoi Zénon rétorquerait qu'une fois la roue bloquée, le mouvement n'existant pas par ailleurs (paradoxe^ !), on se retrouverait avec la formule G sur les bras, lourde de (son) sens, l'indécidabilité.

Rien de nouveau sous le soleil.

^  Cf   https://digression.forum-actif.net/t1852-le-paradoxe-de-la-dichotomie-de-zenon

[benfifi]

Le principe du théorème d'incomplétude est simple. Gödel a essentiellement bâti « une formule qui énonce qu'elle n'est pas démontrable » dans un système formel donné. Si cette formule était démontrable, cela signifierait que l'on pourrait démontrer « qu'elle n'est pas démontrable », d'où la contradiction. [Source Wikipedia, benfifi souligne]

Cette contradiction m'apparaît comme un rapport de force entre "elle" et "on".  Comment régler ce litige ? Il ne suffit pas de démontrer qu'il existe une démonstration « qu'elle n'est pas démontrable ». Il faut énoncer cette démonstration. Arriver à : voilà démontré que G est fausse/vraie.
Ou alors déconstruire G.

Petit rappel de la construction de Gödel :
Soit Y une formule quelconque du système formel S(A) et y son nombre de Gödel.
Considérons la formule portant le nombre de Gödel sub (y,13,y).
Remarque : Comme la variable y porte le nombre de Gödel 13, la formule obtenue après substitution est égale à la formule avant substitution. Et ainsi y = sub (y,13,y).
Soit la formule Z : « (x) ~ Dem (x, sub (y,13,y)) » et n son nombre de Gödel.
Soit la formule G : « (x) ~ Dem (x, sub (n,13,n)) ».
Sub (n,13,n) étant le nombre de Gödel de G, G énonce " la formule G est indémontrable ".

Reprenons l'égalité E établie dans le post précédent.
Partant de cette égalité, la formule G porte le nombre de Gödel n. Les formules G et Z portant le même nombre de Gödel, n,  G = Z . Donc  n = y . Les formules G et Y portant le même nombre de Gödel, y,  G = Y .
Y étant une formule quelconque du système formel S(A), G est une formule quelconque du système formel S(A).
De deux choses l'une où toutes les formules du système formel S(A) sont indémontrables, l'autre où toutes les formules de S(A) sont démontrables. Comme il existe au moins dans le système formel S(A) une formule démontrable alors toutes les formules de S(A) sont démontrables.

Château de sable. Miroir aux alouettes !