Re: Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[Leonhard]

Quel est le premier terme de la liste des réels en zéro et l'infini ?
C'est zéro.
Quel est le premier terme de la liste des entiers naturels entre 1 et l'infini ?
C'est 1

Tu ne sembles pas comprendre que dans la Dichotomie, on fait une décomposition infinie à rebrousse-temps.

Si on numérote les distances successives à parcourir dans la décomposition, on a la suite inversée suivante :

..., d₇, d₆, d₅, d₄, d₃, d₂, d₁

d₇ doit être parcouru avant d₆.
d₆ doit être parcouru avant d₅, et ainsi de suite.
Chaque d_n est la moitié de d_n-1, et doit être parcouru avant ce dernier.

Quel est la première distance à parcourir ? Il n'y en a pas.

Si toute longueur peut être divisée par deux, la première de toutes les longueur n'est que le DERNIER terme de la division.

Mais il n'y a pas de dernier terme dans le processus de division, puisqu'on peut sans cesse diviser tout terme.

[alain]

On a résolu les paradoxes de Zénon quand on a su exprimer qu'une addition infinie de termes non nuls peut avoir un résultat fini.

Observez ceci :

Ah oui, comme ça c' est beaucoup plus clair ! 

Pardon, je rigole, j' ai toujours été nul en maths

[neopilina]

Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Non, ma question est : qu'est-ce qui te fait affirmer que les prémisses sont ce qui est souligné ? D'où tu tiens cela ?

Bon. J'aurais aimé qu'on lise attentivement l'extrait de l'introduction de l'ouvrage de Caveing : cette problématique a été surabondamment polluée par des discours anachroniques, etc., fussent-ils très très compétents, c'est le cas. Il faut replacer cet ensemble dans son contexte.
Je réponds à la question de Leonhard. Il suffit de consulter la littérature spécialisée, surtout après 1950 : quand on a éliminé l'intempestif qui a fait florès depuis 1850.
Je choisis " L'école éléate ", Jean Zafiropulo, 1950, Belles Lettres :

(page 155) ... Chaque idée s'était peu à peu moulée dans le cadre de son moyen d'expression de sorte que lorsque Parménide proposa son hypothèse du continu, il n'existait pas d'instrument approprié à sa description ... (page 157) ... Nous avons vu dans le chapitre précédent que Parménide avait proposé d'appliquer l'hypothèse du continu à l'Être, c'est à dire à " ce qui se conserve " en vertu du principe ex nihilo nihil. Zénon ne semble pas avoir ajouté d'élément positif à la construction érigée par son maître, mais il s'est attaché à la défendre contre les attaques que son aspect insolite avait suscitées ... (page 157) ... Précisons encore ce point qui a conditionné toute l'activité de Zénon : pour les Eléates, l'Être est continu et apparaît comme discontinu, d'où la vérité l'aléthéia et l'opinion la doxa; pour les pythagoriciens, l'Être est discontinu et apparaît discontinu. Pour les Eléates, le langage discontinu dans lequel les humains traduisent cet Être ne contient pas " la croyance en la réalité ". Pour les pythagoriciens, au contraire le langage de la discontinuité atteint bien l'Être, " ce qui se conserve ", c'est à dire l'essence de la réalité. C'est contre cette conception pythagoricienne que Zénon va partir en guerre, c'est contre elle qu'il dirige ses puissantes attaques ... (page 177) ... Nous allons d'abord examiner les quatre célèbres " apories " sur le mouvement. Dans ces arguments, Zénon démontre que le langage discontinu employé par les Pythagoriciens ne saurait décrire le mouvement dans aucun des quatre cas que ce langage permet d'imaginer. Pour comprendre l'argumentation de l'Êléate, il nous faut, tout d'abord, examiner de plus près les conceptions auxquelles l'école de Crotone avait abouti vers le milieu du V° siècle. Toute théorie s'occupant de mouvement envisage nécessairement deux catégories de grandeurs : les grandeurs spatiales et les grandeurs temporelles. Ce sont elles qu'il s'agit de comparer et pour cela il faut d'abord les mesurer afin de les amener dans le champ des grandeurs comparables. La définition que les Pythagoriciens donnaient de ces " dimensions " comportait la notion de discontinuité : ils concevaient ces grandeurs comme composées d'unités discrètes, unités que l'école de Crotone avait mises en correspondance avec les nombres, les supposant implicitement accessibles à la mesure. Leur première idée fut de mettre ces réalités ultimes en rapport direct avec la suite naturelle des nombres entiers. Ceci aboutissait à admettre une composition granulaire de l'espace et du temps qui n'étaient dès lors plus infiniment divisibles. Cette hypothèse, qui offrait de grands avantages pour construire une représentation géométrique de la réalité, parut longtemps satisfaisante. Mais, avec les progrès des mathématiques, ou plus exactement de l'arithmétique, les nombres rationnels firent leur apparition. La notion même d'intervalle s'en trouva bouleversé. Croyant détenir en eux l'instrument d'analyse le plus aigu possible, certains des sectateurs du Samien mirent leurs unités ultimes en relation avec ce nouveau genre de nombre. Mais ceci obligeait à admettre que l'espace et le temps se présentaient sous forme de grandeurs infiniment divisibles : les unités devenaient infiniment petites. Ceux des Pythagoriciens qui se rallièrent à ce nouveau genre d'unités n'en renoncèrent pas pour cela immédiatement à leur conception discontinue. Ils tentèrent de concilier deux hypothèses inconciliables et considérèrent aussi bien l'espace que le temps comme résultant d'une accumulation d'unités infiniment petites mais pourtant discrètes, même à la limite. Si ces idées peuvent nous paraître aujourd'hui bizarres et quelques peu primaires, il ne faut pas oublier qu'à l'époque de Platon et même d'Aristote on trouvait encore des gens pour construire des solides par superposition de surfaces, ce qui revient exactement à l'hypothèse infinitésimale des Pythagoriciens. N'oublions pas, non plus, qu'à l'époque de Zénon les théories d'Anaxagore n'avaient pas encore exercé leur influence et qu'une division à l'infini était, en règle générale, supposée créer une infinité d'unités infiniment petites capables cependant de conserver, selon un processus évidemment difficile à expliquer, son caractère de discontinuité à la grandeur envisagée. Au temps où écrivait notre Êléate, la controverse battait son plein, parmi les tenants du discontinu, entre les adeptes des unités de grandeur finie et les adeptes d'unités infinitésimales. Pour réfuter la thèse du discontinu dans son ensemble, il fallait donc prouver qu'elle s'avérait inapplicable sous l'une et l'autre de ces deux formes. Il fallait donc envisager deux genres d'espace (infiniment divisible et non-infiniment divisible) et deux genres de temps (infiniment divisible et non-infiniment divisible). En combinant ces quatre hypothèses on peut obtenir quatre combinaisons différentes qui représentent quatre moyens d'expressions distincts pour décrire la réalité. Zénon va démontrer que dans ces quatre cas le langage choisi s'avère inadéquat parce qu'il ne peut jamais exprimer l'idée de mouvement. Pour cela, il imagine, pour chacun des quatre cas, un exemple concret conduisant, étant donné les définitions admises, ce qui oblige en fin de compte à rejeter le langage proposé. Voici ces quatre exemples :
- I° Espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible. Tout mouvement est impossible à cause de la " dichotomie ". Un mobile, en effet, avant d'arriver au terme de sa course, doit d'abord en effectuer la moitié et avant de terminer cette demi-course il doit en parcourir à son tour la moitié et ainsi de suite ad infinitum. L'espace étant, par hypothèse, infiniment divisible, nous pouvons ainsi obtenir une infinité de points sur une portion de trajectoire que nous pouvons d'ailleurs choisir arbitrairement. Ces points seront des unités réelles et distinctes puisque nous postulons la discontinuité; donc, dans sa course, le mobile devra successivement entrer en contact avec chacune de ces unités séparés. Or, le temps étant supposé non-infiniment divisible, il faudrait dans l'unité minimum de temps effectuer un nombre de contacts infinis, ce qui est impossible car nous ne disposerions pour chaque contact que d'un temps infiniment bref ce qui est en contradiction avec l'hypothèse finie de divisibilité temporelle admise. Donc tout mouvement est impossible. Or, il est évident que le mouvement a lieu. Il faut conclure de cette contradiction que le langage choisi est inadéquat, donc rejeter les définitions qu'il comporte et les hypothèses qu'elles impliquent.
- 2° Espace ...

Et donc à la suite et dans cet ordre, l'Achille, la Flèche et le Stade. Et le pythagorisme original est mort, c'était le but de cet ensemble. Bravo Zénon, c'était parfait. On est en plein dans l'épisode de l'histoire des mathématiques nommé " crise des irrationnels ".

[Magni]

Les paradoxes de Zénon ne sont absolument pas une preuve que tout mouvement est impossible.

Comme l'a signalé neopilina, l'objectif n'est pas de prouver que tout mouvement est impossible mais d'identifier un paradoxe qui soit est dû à un mauvais raisonnement, soit pour mettre en évidence une limite à l'interprétation mathématique.

Exactement !  

Zénon ne parle pas de tortue, il parle de mathématique, il compare la tortue et "les nombres"


Quand on fait des "calculs" sur l'ensemble des réels, on a parfois (pas toujours) une infinité de calcul a faire avant d'avoir le résultat  et on n'aura jamais fini donc on n'aura jamais le résultat fini.

Ce raisonnement est correct, valide, vrai, ton bon, démontré, c'est un vrai théorème en bon et due forme.




Maintenant, comme vous l'aurez remarqué, Zénon ne parle pas du calcul de Pi et de la formule de Liebniz, il parle d'Achile lancé à la poursuite de la tortue, du caillou lancé sur l'arbre, de la flèche tirée vers la cible.

Voyez: Comme Achille et Pythagore sont de la même nature, et qu'Achille rattrape la tortue alors que Pythagore ne peut pas attraper "racine carrée de 2", cela signifie que la tortue et "racine carrée de 2" ne sont pas de la même nature.

D'ailleurs, fait remarqué Zénon, si la tortue avait la puissance des nombres irrationnels était de la même nature que "racine carrée de 2", on ne pourrait pas l'attraper !

Et en disant cela, Zénon n'essaye pas de vous faire croire qu'on ne peut pas rattraper des tortues à la course, effectivement, il vous montre qu'on ne peut pas attraper un nombre particulier au milieu d'autres nombres en quantité non dénombrables.



Mais attention aux limites des raisonnements antiques. Voyez vos classique, on sait aujourd'hui montrer que les paradoxes de Zénon ne sont pas des paradoxes mais des erreurs de raisonnement.

Zénon connaissait le rationnel et suspectait les irrationnels, mais les constructibles et les algébriques qui sont irrationnels ne sont pas indénombrables, et Leibniz a prouvé qu'on peut dire que Zénon se trompe et oui il y a un dernier terme identifiable à une limite infinie irrationnelle pourvue qu'elle ne soit pas transcendante mais au moins constructible, comme "racine carrée de 2" ou algébrique comme le nombre d'or.


En fait zénon a tord, une limite infinie de divisions de segments telle qu'il nous la propose, même pour un segment continu dont les points sont bijectifs et ordonnés avec les réels, est une suite convergente dont la solution est facile a trouver.

Dans les réels, ceux qui sont impossibles a calculer ce sont les transcendants.
Les algébriques et les constructibles ne sont pas toujours inscriptibles sous forme décimale mais on peut les utiliser dans un calcul sans introduire d'erreur.

Dans les réels, calculer zéro ce n'est pas très compliqué. Zéro n'est pas un nombre transcendant, c'est un entier, et le raisonnement de Zénon ne tiens pas debout.

Diviser un segment fini par moitié une infinité de fois c'est x non nul divisé par l'infini, ça fait zéro.
Le zéro est considéré comme le premier terme des réels positifs.

[Magni]

Quel est le premier terme de la liste des réels en zéro et l'infini ?
C'est zéro.
Quel est le premier terme de la liste des entiers naturels entre 1 et l'infini ?
C'est 1

Tu ne sembles pas comprendre que dans la Dichotomie, on fait une décomposition infinie à rebrousse-temps.

Si on numérote les distances successives à parcourir dans la décomposition, on a la suite inversée suivante :

..., d₇, d₆, d₅, d₄, d₃, d₂, d₁

d₇ doit être parcouru avant d₆.
d₆ doit être parcouru avant d₅, et ainsi de suite.
Chaque d_n est la moitié de d_n-1, et doit être parcouru avant ce dernier.

Quel est la première distance à parcourir ? Il n'y en a pas.

Si toute longueur peut être divisée par deux, la première de toutes les longueur n'est que le DERNIER terme de la division.

Mais il n'y a pas de dernier terme dans le processus de division, puisqu'on peut sans cesse diviser tout terme.

J'ai parfaitement compris que les raisonnements de Zénon sont erronés, et affirmer la même chose que lui est également erroné.

On sait résoudre les paradoxes de Zénon avec un calcul de limite de fonction.
Le fait que Zénon ignorait que ce type de calcul existe ne fait pas qu'il a raison quand il affirme que ça n'existe pas.

On sait calculer les limites finies et convergentes des suites que Zénon nous propose.

La première distance a parcourir existe, c'est la distance zéro.

Le zéro est le premier nombre de la liste des indénombrables.
Parmi les indénombrables, on peut dénombrer les entiers, qui eux sont dénombrables.

Pour toute limite de fonction qui converge vers un entier, on peut calculer le résultat.
Pour toute limite de fonction qui converge vers un transcendant comme Pi, évidemment, là, on ne peut pas calculer le résultat.

0 c'est calculable.

[neopilina]

Voyez vos classique, on sait aujourd'hui montrer que les paradoxes de Zénon ne sont pas des paradoxes mais des erreurs de raisonnement.

Moui, revoir ses classiques, c'est bien, voir ci-dessus ...
Ne comptez pas que je recopie à la main l'élucidation des trois autres arguments, je vais laisser l'intempestif courir. En plus il fait beau aujourd'hui.

[Leonhard]

- I° Espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible.

Dans ce texte, l'auteur sort cette combinaison d'hypothèses de nulle part.

Soit le monde (espace et temps) sont infiniment divisibles tous les deux, soit ils ne le sont pas tous les deux (c'est ce que pensent les atomistes antiques comme Pythagore).

Mais d'où sort alors cette combinaison où l'un des deux termes (l'espace) est supposé divisible tandis que l'autre (le temps) est supposé indivisible ? L'auteur ne donne aucune indication sur l'origine de cette combinaison d'hypothèses. Il me semble que c'est là son interprétation subjective personnelle et infondée.

D'autant plus que son raisonnement, ensuite, me semble erroné : s'il existe une unité indivisible de temps, alors ça permet précisément, en un coup, d'entamer le mouvement en faisant le premier saut qui, parce que le temps est indivisible, n'est pas décomposable en sous-sauts à faire dans ce même temps.

La première distance a parcourir existe, c'est la distance zéro.

Tu te pièges toi-même. Si la première distance à parcourir est zéro, alors en la parcourant, l'objet n'avance pas... puisque c'est zéro. Et s'il n'avance lors de la toute première étape, c'est précisément que son mouvement ne démarre pas !

[Magni]

Pour être précis et complet il faut dire : " espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible ".

Zénon a raison, si l'espace est discontinu mais que le temps est continu, les phénomènes ne peuvent pas avoir lieu (si l'univers physique est causal, et si l'espace, le temps et la matière sont physiques)

Mais ses exemples ne sont pas valides pour démontrer son point de vue, les suites dont Zénon affirme qu'elles n'ont pas de solution ont en fait une solution qu'on sait maintenant calculer.

[neopilina]

Je souligne :

- I° Espace infiniment divisible, temps non-infiniment divisible.

Dans ce texte, l'auteur sort cette combinaison d'hypothèses de nulle part.

Non : il les sort du capharnaüm en vigueur à l'époque (capharnaüm que j'ai essayé d'illustrer avec les extraits choisis), notamment grâce aux progrès de l'époque en arithmétique, qui sont notoirement du fait des pythagoriciens, qui même entre eux finiront par se déchirer. C'est le contexte, et Zafiropulo le rend très bien dans son ouvrage. In fine, pour entendre, il faut réintégrer le contexte des mathématiques pythagoriciennes, c'est elles que vise Zénon. Pas Cantor ...

[Magni]

La première distance a parcourir existe, c'est la distance zéro.

Tu te pièges toi-même. Si la première distance à parcourir est zéro, alors en la parcourant, l'objet n'avance pas... puisque c'est zéro. Et s'il n'avance lors de la toute première étape, c'est précisément que son mouvement ne démarre pas !

Apprend que :

Parcourir une distance nulle prend un temps nul et non pas un temps infini !
Donc le mouvement commence après un temps nul et pas après un temps infini.


Toute distance positive commence toujours par la distance zéro comme les réels positifs commencent par le nombre zéro.


Quel est le premier réel positif ?
C'est le nombre zéro.

Sur une demie droite continue dont les distances sont bijectives avec les réels positifs, qu'elle est la première distance ?
C'est la distance zéro. Cette distance existe comme le zéro existe dans les réels.
Et si on divise par deux une infinité de fois une distance non nulle, on obtient quoi ? Une distance nulle.
Je ne vois pas où est le problème. La limite de cette fonction n'est plus mystérieuse 25 siècles après la mort de Zénon.

Dans l'équation du mouvement, être au début du mouvement n'impose pas de rester coincé au début du mouvement.
Vous pouvez prendre l'équation du mouvement à l'envers ou à l'endroit, avec le temps allant dans un sens ou dans un autre, décomposer en partant du début ou de la fin du mouvement, les exemples de Zénon ne sont pas valides.

On sait résoudre les problèmes dont Zénon nous dit qu'ils n'ont pas de solution.

[hks]

le temps est discontinu ...

Claude François le chantait si bien

La pendule de l'entrée
S'est arrêtée sur midi
À ce moment très précis ( ah tiens donc...un moment très précis)

le temps c'est comme l'amour
comme une chanson populaire
c'est fait de tout petits riens

ça s'en va et ça revient.

excusez moi d'ironiser sur le fond de l'affaire :
la foi en la discontinuité du temps.

[Magni]

des pythagoriciens, qui même entre eux finiront par se déchirer.

Les pythagoriciens pensaient pouvoir conquérir l'infini du continu avec les rationnels, le fait que "racine carrée de 2" s'est révélé être en dehors de l'ensemble des rationnels leurs a sapé le fondement.

La logique de la doxa ça fait du dégât.

[neopilina]

Je rappelle aimablement qu'à l'époque tout le monde, y compris de très très mauvais gré (Platon par exemple) a considéré que Zénon avait touché au but : le pythagorisme primitif, en pleine crise avec la découverte et le travail sur les irrationnels ils ne savent plus sur quel pied danser (avec le temps, l'espace, etc.), est bel et bien " décédé " de la critique éléate. D'où le platonisme, d'où l'atomisme, d'où le néo-pythagorisme, etc., tout cela, c'est à cause de la critique éléate. Ne les prenons pas pour des imbéciles. Ils ont entendus cela bien mieux que nous.

[Bergame]

Il s'agit d'un paradoxe formulé dans un contexte où il est admis que l'espace est continu et infiniment divisible.
La Dichotomie :
A - Pour parcourir une distance L, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2.
B - Donc, aucun objet ne peut se mettre en mouvement.
C - Donc, le mouvement n'existe pas.

Je ne connaissais pas ce paradoxe, et il doit y avoir une subtilité qui m'échappe, mais je ne vois pas comment on déduit B de A ! Ce n'est pas parce que toute distance à parcourir est divisible que le mobile ne peut pas "se mettre en mouvement". Je ne vois pas.

[Magni]

Il s'agit d'un paradoxe formulé dans un contexte où il est admis que l'espace est continu et infiniment divisible.
La Dichotomie :
A - Pour parcourir une distance L, tout objet doit au préalable parcourir la distance L/2.
B - Donc, aucun objet ne peut se mettre en mouvement.
C - Donc, le mouvement n'existe pas.

Je ne connaissais pas ce paradoxe, et il doit y avoir une subtilité qui m'échappe, mais je ne vois pas comment on déduit B de A ! Ce n'est pas parce que toute distance à parcourir est divisible que le mobile ne peut pas "se mettre en mouvement". Je ne vois pas.

B n'est pas déductible de A, Zénon a fait une erreur en l'affirmant.
Mais à l'époque on ne savait pas montrer que Zénon avait tord, et ça a mis en échec toutes les mathématiques de son époque.


Voici en gros l'argument de Zénon, sachant que tous les paradoxes de Zénon sont fondés sur les propriétés du continu.
Pour Zénon, si un segment non nul est continu, il contient une infinité de sous segments. C'est une tautologie, donc c'est vrai.


C'est vrai aussi mathématiquement sur l'ensemble des réels, entre 0 et 1, il y a une infinité d'intervalles.

Zénon dit que s'il y a une infinité d'intervalles, on peut diviser par deux le nombre d'intervalles autant de fois qu'on veut, il en restera toujours une quantité non nulle, on ne trouvera jamais le dernier intervalle.
Zénon se trouve avec une forme indéterminée de type l'infini divisé par l'infini et il conclu, sans preuve, que le résultat est l'infini, il dit qu'on ne peut jamais finir cette série de division d'une quantité infinie d'intervalles.



Le raisonnement de Zénon est erroné.

Si on divise un segment de droite en deux une infinité de fois, on obtient un et un seul résultat, on obtient un segment de longueur nulle.




Et ça, c'est Gottfried Wilhelm Leibniz qui a donné les éléments de calcul de limite qui ont permis de le démontrer.

Si le milieu de ce segment de longueur est un encadrement du nombre Pi, on ne pourra pas dire exactement ou se trouve ce segment, mais on pourra dire qu'il est exactement au même endroit que Pi.

Si ce segment de longueur nulle est un encadrement du nombre zéro, on pourra dire que ce segment de longueur nulle est exactement au même endroit que zéro, et on pourra dire où il se trouve, parce qu'on sait exactement ou est zéro.

[alain]

Pourquoi en fait ne diviser que l'espace a parcourir ?
Si on suit la logique de la division il faudrait que le mobile se divise lui aussi.
Le conducteur perdrait sa voiture, puis son volant et a la fin plus de conducteur ...il ne resterait que le caleçon ( qui lui aussi disparaîtrait ).

Je m' excuse ... 
Et je prends la porte.

Ce sujet est trop Innaccessible pour moi.

[Vanleers]

Je me hasarderai à dire que pour parcourir une distance L, l'objet doit passer par tous les points dont l’abscisse est comprise entre 0 et L.
L’ensemble de ces nombres est infini et a la puissance du continu.
Cet ensemble est donc non dénombrable et non numérotable.
Le numérotage est donc voué  l’échec : on ne peut pas donner un numéro à chaque stade par lequel passe l'objet.
On ne peut donc pas expliquer le déplacement  de 0 à L en numérotant les stades par lesquelles l’objet passe.
Mais ce n’est pas parce qu’on ne peut pas donner un numéro à chacun de ces stades que l’objet ne peut pas se déplacer.

[Leonhard]

La première distance a parcourir existe, c'est la distance zéro.

Tu te pièges toi-même. Si la première distance à parcourir est zéro, alors en la parcourant, l'objet n'avance pas... puisque c'est zéro. Et s'il n'avance lors de la toute première étape, c'est précisément que son mouvement ne démarre pas !

Apprend que :

Parcourir une distance nulle prend un temps nul et non pas un temps infini !
Donc le mouvement commence après un temps nul et pas après un temps infini.

Si la première étape consiste à parcourir une distance zéro, alors après la première étape, l'objet n'a pas encore avancé. Avancerait-il alors lors de la deuxième étape ? Mais quelle est la distance à parcourir à la deuxième étape, si à la première c'était zéro ?

On n'a pas avancé d'un poil sur le problème.

[Magni]

On ne peut donc pas expliquer le déplacement  de 0 à L en numérotant les stades par lesquelles l’objet passe.
Mais ce n’est pas parce qu’on ne peut pas donner un numéro à chacun de ces stades que l’objet ne peut pas se déplacer.

Exact, on ne peut pas numéroter toutes les étapes intermédiaires entre 0 et L s'il y a une infinité d'étapes.

Mais on sait quand même que 0 est la première étape et L est la dernière.

[Magni]

La première distance a parcourir existe, c'est la distance zéro.

Tu te pièges toi-même. Si la première distance à parcourir est zéro, alors en la parcourant, l'objet n'avance pas... puisque c'est zéro. Et s'il n'avance lors de la toute première étape, c'est précisément que son mouvement ne démarre pas !

Apprend que :

Parcourir une distance nulle prend un temps nul et non pas un temps infini !
Donc le mouvement commence après un temps nul et pas après un temps infini.

Si la première étape consiste à parcourir une distance zéro, alors après la première étape, l'objet n'a pas encore avancé. Avancerait-il alors lors de la deuxième étape ? Mais quelle est la distance à parcourir à la deuxième étape, si à la première c'était zéro ?

On n'a pas avancé d'un poil sur le problème.

D'abord, les paradoxes de Zénon ont été résolus depuis des siècles. On a bel et bien avancé sur le problème.





Prenons les réels entre 0 et 1.

Quelle est la taille de l'intervalle entre 0 qui est le premier de la liste, et le réel suivant, sachant qu'il y a continuité entre les deux ?

Peu importe, les réels entre 0 et 1 vont quand même jusqu'à 1.
Les réels ne bloquent pas à coté du zéro sous prétexte que l'intervalle entre zéro et le réel suivant est nul.


Maintenant, quel que soit deux réels pris arbitrairement, mais deux réels que vous pouvez prendre, donc pas deux réels contigus, parce que si vous connaissez un réel, vous ne pouvez pas connaître le suivant. C'est une propriété du continu qui découle du fait que le continu est indénombrable.
Donc, si vous avez un nombre, vous ne pouvez pas avoir le réel suivant, car le suivant est forcément itranscendant. Mais le réel suivant existe, parce que l'ensemble des réels à la puissance du continu.

Tous les réels ne sont pas indénombrables, parmi les réels on peut dénombrer les entiers, les entiers sont dénombrables, et il sont connaissables.

Mais les entiers ne se succèdent pas en continu, il y a infinité de réels indénombrables entre chaque entier.

Vous pouvez connaître des nombres dénombrables comme zéro, mais le suivant est forcément transcendant, et de la même façon que vous ne pouvez pas connaître Pi, vous ne pouvez pas connaître le réel qui suis immédiatement zéro (ou n'importe quel nombre algébrique) dans le continu.

[neopilina]

Je souligne pour ceux qui ont mal vu !
Si on pose, si on admet, " un espace infiniment divisible et un temps non-infiniment divisible ", c'est l'argument de la Dichotomie, alors :

Tout mouvement est impossible à cause de la " dichotomie ". Un mobile, en effet, avant d'arriver au terme de sa course, doit d'abord en effectuer la moitié et avant de terminer cette demi-course il doit en parcourir à son tour la moitié et ainsi de suite ad infinitum. L'espace étant, par hypothèse, infiniment divisible, nous pouvons ainsi obtenir une infinité de points sur une portion de trajectoire que nous pouvons d'ailleurs choisir arbitrairement. Ces points seront des unités réelles et distinctes puisque nous postulons la discontinuité; donc, dans sa course, le mobile devra successivement entrer en contact avec chacune de ces unités séparés. Or, le temps étant supposé non-infiniment divisible, il faudrait dans l'unité minimum de temps effectuer un nombre de contacts infinis, ce qui est impossible car nous ne disposerions pour chaque contact que d'un temps infiniment bref ce qui est en contradiction avec l'hypothèse finie de divisibilité temporelle admise. Donc tout mouvement est impossible. Or, il est évident que le mouvement a lieu. Il faut conclure de cette contradiction que le langage choisi est inadéquat, donc rejeter les définitions qu'il comporte et les hypothèses qu'elles impliquent.

Pour l'Achille : si " un espace infiniment divisible, un temps infiniment divisible ", alors ...
Pour la Flèche : si " un espace non-infiniment divisible, un temps infiniment divisible ", alors ...
Pour le Stade : si " un espace non-infiniment divisible, un temps non infiniment divisible ", alors ...

Cet ensemble est un joyau de la pensée humaine. Si on admet les prémisses, c'est " plié ", les quatre arguments sont impeccables.

[Magni]

Ces arguments ont tenu les mathématiciens en échec pendant deux millénaires. C'est bien !
Mais on n'est plus au moyen âge.

Les paradoxes de Zénon représentaient un problème important pour les philosophes antiques et médiévaux, qui n'ont trouvé aucune solution satisfaisante jusqu'au XVIIe siècle, avec le développement en mathématiques de résultats sur les suites infinies et de l'analyse.

Les philosophes l'ont réfuté de bien des manières et si différentes que chacune de ces réfutations enlève aux autres le droit de se croire définitives

Paradoxes de Zénon

En termes et en notations modernes, la durée du parcours décomposé à la façon de Zénon s'écrit, à un choix d'unité près, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2n + ... . Cette addition d'une infinité de nombres est une série numérique. Or il s'agit d'une série convergente : plus on additionne de termes, plus le résultat se rapproche, d'aussi près que souhaité, du nombre 2, qui constitue la « somme » de la série. Que cette somme soit un nombre fini prouve que la conclusion de Zénon était erronée : le temps de parcours est fini.

Jean Pierre Ramis - Les séries divergentes




Répétez après moi : la conclusion de Zénon était erronée

[Vanleers]

Je reprends, plus simplement.
Pour aller de A à B distants de L, le mobile M a d’abord du passer par le milieu de AB situé à L/2 de A et, auparavant, par le point situé à L/4… etc.
A l’étape N, le mobile a du passer par le point situé à L(1/2) ^ N de A.
Il est vrai qu’à toutes les étapes envisagées par Zénon, ce qui sépare M de A est un ensemble infini de points mais, en même temps, la distance qui le sépare de A est décroissante.
M part bien de A car, si ce n’était pas le cas et si M partait de A’ situé à une distance ε de A, pour N supérieur à Nε tel que L(1/2) ^ Nε < ε, M serait déjà remonté en amont de A’.

[Leonhard]

Donc, si vous avez un nombre, vous ne pouvez pas avoir le réel suivant, car le suivant est forcément itranscendant. Mais le réel suivant existe, parce que l'ensemble des réels à la puissance du continu.

C'est mathématiquement faux. Par exemple, il n'y a pas de "réel suivant" après le nombre 1.

Démonstration : supposons que x soit le "réel suivant" après 1. Cela signifie donc que x est le réel plus grand que 1 le plus proche de 1 (sinon il ne serait pas le "suivant"). Or, x/2 est encore plus proche de 1 que ne l'était x, ce qui contredit l'hypothèse que x était le "réel suivant".

Conclusion il n'existe pas de "réel suivant" après 1 tout court, qu'il soit transcendant ou pas. Un nombre réel n'a pas de voisin direct.

Cet ensemble est un joyau de la pensée humaine. Si on admet les prémisses, c'est " plié ", les quatre arguments sont impeccables.

Séduit par l'apparente élégance formelle de l'explication de Zafiropulo (4 paradoxes, 4 combinaisons possibles d'hypothèses, c'est trop beau pour être faux), tu en oublies d'examiner la pertinence. Tu ne la justifies jamais, et Zafiropulo non plus.

La combinaison d'hypothèses "espace divisible + temps indivisible" n'est pas un présupposé du paradoxe de la Dichotomie qui proviendrait d'une idéologie des anciens Grecs, c'est un présupposé de Zafiropulo. Pour cette raison, son raisonnement n'a pas d'intérêt.

De plus, son raisonnement est faux. En posant "espace divisible + temps indivisible", le contexte même du paradoxe devient absurde, comme je l'ai déjà mentionné avant.

En effet, en supposant que le temps est indivisible à l'infini, appelons T l'unité irréductible de temps. En allant suffisamment vite, un objet peut toujours couvrir une distance L : il suffit qu'il aille à la vitesse L/T. Et il ne doit pas parcourir de distance L/2 "avant", puisqu'il n'y a pas d'avant (car T est indivisible) ! En pratique, il suffit de prendre une distance suffisamment petite, qui peut être couverte d'un coup, en un saut, en la durée indivisible T, et le mouvement aura déjà démarré.

La double-hypothèse "espace divisible + temps indivisible" ne permet même pas de poser le contexte initial de la Dichotomie, à savoir que "tout objet, pour parcourir L, doit d'abord parcourir L/2". En effet, c'est faux si sa vitesse est L/T où T est l'unité indivisible de temps. Ceci prouve que cette double-hypothèse n'est pas un présupposé possible de la Dichotomie.

[Magni]

Donc, si vous avez un nombre, vous ne pouvez pas avoir le réel suivant, car le suivant est forcément itranscendant. Mais le réel suivant existe, parce que l'ensemble des réels à la puissance du continu.

C'est mathématiquement faux. Par exemple, il n'y a pas de "réel suivant" après le nombre 1.

Démonstration : supposons que x soit le "réel suivant" après 1. Cela signifie donc que x est le réel plus grand que 1 le plus proche de 1 (sinon il ne serait pas le "suivant"). Or, x/2 est encore plus proche de 1 que ne l'était x, ce qui contredit l'hypothèse que x était le "réel suivant".

Conclusion il n'existe pas de "réel suivant" après 1 tout court, qu'il soit transcendant ou pas. Un nombre réel n'a pas de voisin direct.

Vous venez seulement de prouver que vous ne pouvez pas calculer la valeur exacte du réel qui se trouve immédiatement après 1.

1 étant un réel déterminé, vous ne pouvez pas déterminer quel est le suivant, mais le suivant existe.




Si vous voulez que deux réels ne puissent pas être contigus, si vous voulez qu'il y ait des trous entre les réels, alors il faut affirmer que le continu soit discret ...

Pensez vous que le continu est discret ?
Ou allez vous admettre qu'il n'y a pas de trou entre les réels ?

[quid]

Cet ensemble est un joyau de la pensée humaine. Si on admet les prémisses, c'est " plié ", les quatre arguments sont impeccables.

Séduit par l'apparente élégance formelle de l'explication de Zafiropulo (4 paradoxes, 4 combinaisons possibles d'hypothèses, c'est trop beau pour être faux), tu en oublies d'examiner la pertinence. Tu ne la justifies jamais, et Zafiropulo non plus.

La combinaison d'hypothèses "espace divisible + temps indivisible" n'est pas un présupposé du paradoxe de la Dichotomie qui proviendrait d'une idéologie des anciens Grecs, c'est un présupposé de Zafiropulo. Pour cette raison, son raisonnement n'a pas d'intérêt.
...
La double-hypothèse "espace divisible + temps indivisible" ne permet même pas de poser le contexte initial de la Dichotomie, à savoir que "tout objet, pour parcourir L, doit d'abord parcourir L/2". En effet, c'est faux si sa vitesse est L/T où T est l'unité indivisible de temps. Ceci prouve que cette double-hypothèse n'est pas un présupposé possible de la Dichotomie.

Du coup j'ai essayé de chercher quelques autres sources à ce propos et j'ai trouvé ceci :

Les arguments de Zénon rapportés par Aristote sont au nombre de quatre et peuvent se répartir on deux groupes. Au premier appartiennent la dichotomie et l’Achille ; la flèche et le stade forment le second. Dans le premier groupe d’arguments, le temps et l’espace sont supposés continus et divisibles à l’infini ; dans le second, ils sont l’un et l’autre considérés comme discontinus et composés d’éléments indivisibles. Cette distinction, que M. Renouvier a le premier mise en lumière, n’est pas indiquée par Aristote, mais elle ressort incontestablement du texte, pour peu qu’on le lise avec attention. Les deux premiers arguments postulent d’une manière évidente la divisibilité indéfinie de l’espace. Sans doute le temps n’y est pas explicitement considéré ; mais la conclusion n’est intelligible que s’il est comme l’espace indéfiniment divisible, et qu’à la division de l’un corresponde point par point celle de l’autre. Au rebours, les deux derniers arguments postulent immédiatement l’indivisibilité des éléments du temps et médiatement celle des éléments de l’espace. Ainsi considéré, l’ensemble de ces raisonnements constitue un véritable dilemme. Deux suppositions sont possibles sur la nature de la quantité continue, étendue ou durée : ou cette quantité est, comme nous sommes naturellement portés à l’admettre et comme les mathématiciens le supposent, effectivement divisible à l’infini, ou sa continuité n’est qu’apparente et elle est réellement un agrégat d’éléments indivisibles, un véritable nombre formé d’unités absolues. Or dans l’une et l’autre hypothèse le mouvement est impossible.

Il est vrai qu’entre les deux alternatives on pourrait à la rigueur concevoir un moyen terme. On pourrait accorder l’infinie divisibilité de l’espace et nier celle du temps, ou inversement. Zénon, autant que nous en pouvons décider par les textes qui nous sont parvenus, n’a pas prévu cette échappatoire. Peut-être jugeait-il une pareille attitude trop ouvertement illogique pour qu’on fût tenté de la prendre.

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