Re: L'infini est-il limité ?

[neopilina]

Il y a l'espace d'un instant.

L'instant est un miroir aux alouettes, un piège terrible, une vue de l'esprit, c'est de la durée, c'est à dire une mesure. Une mesure encore plus trompeuse que les autres. Je m'explique, une mesure est bornée par deux limites, deux jalons, etc., par exemple sur une règle, je vois, je regarde, un " 6 " et un " 7 ", entre les deux il est convenu de dire qu'il y a un centimètre. Comme pour toute mesure, tu peux potentiellement infiniment penser plus précis, plus petit. La durée, cette mesure, là, celle du temps, comporte une difficulté supplémentaire : les deux jalons, limites, sont plantés sur un " tapis roulant ", le temps, qui ne cesse pas de s'écouler pendant que je mesure (je jette un oeil sur ma règle qui, elle, n'a pas bougée !). Le temps est un infini en acte, oui !, mais il faut préciser : tant qu'il durera !!    

Le problème est qu'on a beaucoup de difficulté à penser un espace vide.

Pas du tout. L'univers, c'est surtout du vide sidéral, avec quelques photons, un tout petit peu de lumière, d'astres lumineux lointains.

[Leonhard]

Les transcendants sont non dénombrables, ils ont entre eux la puissance du continu

Les transcendants ne forment pas un ensemble continu.

[Magni]

Les nombres ne sont-ils pas toujours, au départ, la valeur de quelque chose ?

On parle de quelque chose de physique ou quelque chose de théorique ?


On n'a aucune application pratique qui pourrait donner une utilité au fait de connaître Pi avec une précision de plus que 60 chiffres après le virgule.
Avec avec les 61 premiers chiffres significatifs de Pi on peut connaître le périmètre d'un cercle de la taille de l'univers visible avec une précision de la taille d'un atome d'hydrogène.

Le fait d'avoir calculé des giga flopées de décimales de Pi n'a aucune utilité dans le monde tangible.

Pi est la valeur de quelque chose de théorique, rien de physique ne peut exprimer la vraie valeur de Pi.

[quid]

Les nombres ne sont-ils pas toujours, au départ, la valeur de quelque chose ?

On parle de quelque chose de physique ou quelque chose de théorique ?

Je parle de quelque chose de théorique, j'émets l'hypothèse que ce sont des valeurs qui relaient les aspects du géométrique idéal (et non pas pratique), sans erreur de mesure donc :

Les nombres ne sont-ils pas toujours, au départ, la valeur de quelque chose ? Ne sont-ils pas construits sur des notions intuitives ? Est-ce que ce qui fait la cohérence des mathématiques qui travaillent sur les nombres en tant que tels, ne relève pas tout de même de quelque chose auxquels ils s'appliquent ? Ce à quoi ils s'appliquent, le fondement de leur cohérence n'est-il pas le géométrique justement ?

Les nombres ce sont des quantités, et on a pris naturellement l'habitude de les utiliser pour tout ce qui a trait à la quantité, qui est quantifiable. Là ou il y a du plus et du moins. Je suppose donc que les mathématiques reflètent cette cohérence du quantifiable et que donc cette cohérence tient de notions intuitives dans le réel. C'est à dire que même lorsque l'on manipule les nombres dans un contexte pur de valeurs, implicitement dans la cohérence de ces manipulations se retrouve non pas la valeur hors de tout contexte, mais une valeur qui relaie (ou porte), cependant (sur) quelque chose dans le domaine du quantifiable. J'émets l'hypothèse que ce domaine quantifiable est la géométrie.

Certes le mathématique peut s'élever et généraliser des principes, par exemple ne pas s'arrêter à 1, 2 ou 3 dimensions, pour lesquelles on sait encore visualiser géométriquement, et passer à "n" dimensions. Par exemple on sait visualiser un cercle qui est à 2 dimensions, à la limite le cercle à 1 dimension c'est une ligne droite, la sphère en 3 dimensions on l'imagine. Mais l'équivalent à 4 dimensions c'est plus compliqué.

D'ailleurs à ce sujet (la généralisation), faut-il concevoir les mathématiques comme "métaphysique". Le "méta", n'est-ce pas le structurel d'où découle ce dont il est le sujet. Le métaphysique n'est-ce pas la structure du physique ? Or dans une démarche de généralisation et d'extension de notions ancrées dans le physique ou dans le conceptuel accessible, peut-on dire dire qu'il s'agisse de métaphysique ? En effet ici c'est alors plus le métaphysique qui découle du physique. Mais bon je ne sais pas trop ce qu'on entend quand on parle de métaphysique.

[Magni]

Les transcendants sont non dénombrables, ils ont entre eux la puissance du continu

Les transcendants ne forment pas un ensemble continu.

On ne peut pas réaliser de bijection de l'ensemble des nombres algébriques vers les nombres transcendants qui est plus grand que l'ensemble des nombres algébriques.
Puisque l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, l'ensemble des réels transcendants est non dénombrable (il a la puissance du continu), et presque tout nombre (parmi les réels ou les complexes) est transcendant.

Nombres transcendants


Parmi les transcendants il y a plusieurs ensembles distincts qui sont des classes de nombres ayant eux même la puissance du continu.
Classe des nombres transcendant de type U
Classe des nombres transcendant de type T

[Magni]

Les nombres ce sont des quantités

Il est exact que les nombres sont des quantités, mais toutes les quantités ne sont pas des nombres.
Les infinis sont des quantités qui ne sont pas des nombres.

Dans l'ensemble des quantités, il y a plusieurs classes distinctes, la classe des nombres et la classe des infinis, ces deux classes étant des ensembles qui ont eux même de nombreux sous ensembles distincts qui sont autant de classes d'objets mathématiques.

on a pris naturellement l'habitude de les utiliser pour tout ce qui a trait à la quantité, qui est quantifiable.

Attention, là vous confondez vocabulaire dialectique et vocabulaire mathématique.

Les infinis sont desquantités mathématiques mais dialectiquement, ils ne sont pas quantifiables.
Les nombres sont quantifiables ... seulement quand ils sont algébriques, car les transcendants ne sont pas quantifiables non plus. On ne sait pas dire exactement la quantité qui est attachée au nombre Pi.

Je suppose donc que les mathématiques reflètent cette cohérence du quantifiable et que donc cette cohérence tient de notions intuitives dans le réel.

L'algèbre traite du quantifiable, mais tout ce qui est mathématique mais non algébrique est au delà du quantifiable.

D'autre part, dans le monde physique, d'après le modèle de la mécanique quantique, qui est basé sur la théorie des quantas, tout est supposé non continu, donc algébrique, donc quantifiable.


D'après la science, le monde physique ne contient pas d'infini, il est quantifiable et dénombrable.

Mais pour les mathématiques, l'infini existe bel et bien, et cet infini est très réel, mais c'est un infini métaphysique, au delà du monde physique.

C'est le sens du mot "métaphysique" depuis qu'Aristote a produit ce mot qui était un néologisme à son époque.

C'est justement de là que vient la renommée d'Aristote, il a résolu les énigmes de Zénon en inventant le monde métaphysique qui est "au delà" du monde physique, et il met dedans l'infini des nombres continus avec lequel on peut compter le temps ou l'espace, mais il met le temps et l'espace dans le monde physique, ou rien n'est infini, et donc l'espace physique et le temps physique et la matière physique sont atomistes pour Aristote, mais les principes, comme les nombres et la logique, sont continus, infini et métaphysique.

Ainsi on peut toujours diviser un segment théorique à l'infini, parce que ce qui est théorique est métaphysique, mais on ne peut pas toujours diviser l'espace ou le temps, parce que ces choses sont physiques.

La force d'Aristote c'est d'avoir le premier compris que non matériel ne signifie pas non physique.

Le temps et l'espace sont non matériels, mais ils ne sont pas métaphysique, ils sont physiques, et donc ils ne sont pas infinis.


La science d'aujourd'hui est Aristotélicienne, le paradigme de la science est d'accepter les infinis mathématiques et de supposer que le monde physique, le temps, l'espace et la matière, ne contient pas l'infini.

[Magni]

Max Planck disait qu'il y a une limite physique à la précision de la mesure, à cause de la théorie des quantas.



Il y a aussi une limite théorique à la précision de la mesure quand la formule de calcul n'est pas algébrique.

Certes, un cercle de diamètre de longueur 1 a un périmètre de longueur Pi, mais il n'est pas possible de calculer mathématiquement la mesure du périmètre d'un cercle ayant un diamètre de longueur 1.

Ce n'est pas seulement qu'on ne sait pas le faire, on a démontré que ce n'est pas faisable.

Une fonction récursive convergente vers zéro a un résultat calculable.
Pour une fonction récursive convergente vers Pi, le résultat existe mais on ne sait pas le calculer.

Pi est une quantité mathématique déterminée mais Pi n'est pas quantifiable. La quantité existe mais on ne peut pas accéder à la connaissance absolue de cette quantité.

Le continu contient des éléments indéterminés.
Entre un réel et le réel suivant, sachant que le réel suivant existe, et bien si on connaît le premier réel, on ne peut pas connaître le suivant.

Dans les réels, vous pouvez connaître les entiers (et aussi les décimaux avec un nombre de chiffres après la virgule qui soit "raisonnable").

Vous connaissez zéro, mais vous ne pouvez pas déterminer quel est le réel suivant, pourtant vous savez que les réels positifs vont de zéro à 1, et même ils se poursuivent plus loin.
Donc il y a un réel derrière 0, et il est plus petit que 1, vous savez approximativement l'encadrer, et vous pouvez même refermer l'encadrement aussi précisément que vous voulez aussi longtemps que vous ne voulez pas une précision infinie.

Les réels ont la puissance du continu, il y a un réel immédiatement après zéro, mais celui ci est forcément un transcendant, et il est inconnaissable.

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