Re: paradoxes, énigmes et récréations mathématiques

[kercoz]

Vos deux réponses sont exactes mais insuffisantes :
On peut tres bien faire des plaques carrées , rectangles, ou exagonales qui ne peuvent pas tomber dans le trou.

[poussbois]

Vos deux réponses sont exactes mais insuffisantes :
On peut tres bien faire des plaques carrées , rectangles, ou exagonales qui ne peuvent  pas tomber dans le trou.

comment ? Pour une économie de moyen, c'est à dire un trou qui a la forme de la plaque, c'est le trou rond qui garantie à la fois la plus grande dimension et une plaque qui ne tombe pas. Ce qui n'est pas le cas du trou carré par exemple. ou j'ai pas compris ta remarque...

[Rêveur]

poussbois, je comparais bien sûr une plaque ronde pour un trou rond à une plaque carrée pour un trou carrée. Je n'ai pas très bien compris votre second message.
kercoz, un h à hexagonales.

[kercoz]

C'est effectivement  pour une économie de moyen...... la démo géométrique passe mieux en expliquant que pour pas que ça tombe sur la tête des gus , c'est la forme qui nécessite le moins de marge d' appui . pour un trou carré il faudrait un appui de racine de 2 soit ( 1,4 fois le coté) sinon le coté de la plaque pourrait tomber dans la diagonale du trou.
avec une forme circulaire, l' appui théorique peut être infiniment petit . 1 cm suffisent largement pour rendre la chute impossible.

[neopilina]

Les plaques sont rondes parce que les buses en dessous sont rondes. Des buses, conduites, tuyaux, ronds, sont plus résistants, ne présentent pas de points faibles, une contrainte se dissipera dans l'ensemble. Physique des matériaux.
Et, initialement, les plus anciennes conduites sont rondes parce qu'en terre cuite, plus facile à fabriquer, elles étaient moulées sur une âme en bois.

[jghislain]

Mon côté réaliste pragmatique me fait dire qu'on y passe mieux pour descendre dans le trou, et aussi que c'est peut-être plus facile à fabriquer à l'origine, raison de plus.

[Rêveur]

kercoz, pourriez-vous développer votre réponse, l'expliquer ?

[Bergame]

Il est nécessaire que le conduit soit un petit peu plus étroit que la plaque pour que celle-ci puisse-être soutenue. Donc la circonférence d'une plaque ronde sera toujours plus grande que la circonférence d'un conduit rond.
En revanche, une plaque carrée ou rectangulaire pourrait tomber dans la diagonale.

[kercoz]

Si l' on prend les figures classiques, disons le cercle et le carré, et que l' on calcule l' épaulement nécessaire pour que la plaque ne puisse tomber dans le conduit , on a un épaulement quasi nul pour le cercle ...alors que pour le carré , il faut que la plaque ne passe pas dans la diagonale ...donc que le coté de la plaque soit supérieur a la diagonale du trou ...donc un épaulement de 1,4 fois le coté sur la diagonale ...faudrait calculer plus précis , mais on doit se retrouver avec un trou de coté 20 cm de moins que la plaque ...
Avec un hexagone on gagne un peu , mais pour un cercle ça peut théoriquement marcher avec un rayon de 1/100 mm de plus que le trou ...bon , ça doit coincer sévère et être chiant pour l' égoutier.

[Rêveur]

Ce que je ne comprends pas, ce sont vos données chiffrées... Normalement, aucune proposition de taille n'ayant été donnée sur ce fil, les réponses devraient dépendre d'une variable x (taille du côté, de la diagonale, du diamètre ou de ce qu'on veut)...
Pour le 1 / 100, j'ai fini par comprendre : c'est la marge d'erreur du cercle (la forme de la plaque ne peut être exactement circulaire, donc en la tournant, elle pourrait passer), non ?

mais on doit se retrouver avec un trou de coté 20 cm de moins que la plaque

  Quelle taille la plaque est-elle censée faire (comme c'est un carré, quelle est la longueur de ses côtés) ?

Edit : le fil s'appelle maintenant i !

[kercoz]

  Quelle taille la plaque est-elle censée faire (comme c'est un carré, quelle est la longueur de ses côtés) ?

Prends un crayon !.
Si le trou ( ou le support de la plaque)carré , fait 1 m2 soit des cotés de 1m pour un carré . la plaque devra avoir une surface double mini ( un mm de plus) .
Pour faciliter le calcul tu fais des carrés inscrits et circonscrits sur un cercle . La surface du circonscrit est double de l' inscrit ( la diag de l' inscrit correspond au coté du circonscrit .
La diag est le coté x racine de 2....soit 1, 414... fois le coté ....donc l' épaulement nécessaire devra avoir au mini la meme surface que le trou .......pas rentable et lourd a porter .

[Rêveur]

X


Personne n'a lu, hein ?
Bon.
Le truc de kercoz, on le trouve facilement avec le théorème de Pythagore.
Mais ce n'était pas à moi de "faire le calcul". Et puis, je ne comprends toujours pas le 20 cm :

faudrait calculer plus précis , mais on doit se retrouver avec un trou de coté 20 cm de moins que la plaque ...

c / 1,4 = c - 0,2 <=> c = 1,4 ( c - 0,2) <=> 0,4c = 0,28 <=> c = 0,7

Pfiouuhh... Je suis pas en forme, moi, j'ai du mal avec des calculs très simples. Enfin bref, pourquoi avoir choisi (sans prévenir) une plaque de côté 0,7 ?? Le trou, lui, fait 1/2, ce qui n'est qu'un peu mieux. Pourquoi pas 1, comme tout le monde ?



...Et puis, "épaulement", suis-je le seul à ne l'avoir jamais entendu dans ce contexte ?
En revanche, même si elle est déduite de Pythagore qui permet immédiatement de dire que diag = v-(2c)   (de plus, elle ne permet pas de déduction relative au problème qui nous intéresse évidente), j'aime bien votre remarque : "la surface du carré circonscrit est le double de celle du carré inscrit." Je ne m'étais jamais fait la réflexion (je crois).



(En vérité, le vrai problème, c'est que je dois toujours m'accrocher pour comprendre les messages de kercoz, quoique il écrive toujours la même chose. On jurerait qu'il fait exprès d'écorcher sa syntaxe et sa ponctuation dans tous ses messages )





...Bon, au fait, nous avons maintenant une énigme, grâce à kercoz. Elle est facile à résoudre mais bon... Si on essaie tard le soir, on arrive moins (j'ai écrit n'importe quoi tout à l'heure ) !

Démontrez que la surface du carré circonscrit dans un cercle vaut le double de celle du carré inscrit dans le même cercle.

[jghislain]

Pour couvrir entièrement un trou de diamètre 2 (rayon 1), il faudra une plaque carré de largeur au moins 2 (et de diagonale au moins 2,83).
C'est tout.

[kercoz]

"la surface du carré circonscrit est le double de celle du carré inscrit." Je ne m'étais jamais fait la réflexion (je crois).

[/quote]

""Nul n' entre ici s'il n'est géomètre ."""

C'est la seule façon de tracer un carré ou un cercle du double du précédent ( ou de moitié).
C'est le genre de truc basique qui fait le lien entre l' algèbre et la géométrie...c'est la base de l' algèbre tirée de la géométrie ...Peu de prof débutent par cette démo qui est un jeu d'enfant au sens propre ....c'est dommage car ça intéresserait les gosses.
non seulement la surface est double mais la diagonale de l' un est le coté de l' autre ....d' ou la racine de 2 .

Curieusement ça marche aussi pour le cercle : le cercle circonscrit a un carré est le double de surface de celui inscrit dans le meme carré . ...je te laisse trouver la démo.
@JG : il n'est pas spécifié que le trou soit obligatoirement circulaire.

[quid]

Au final, tout polygone (non croisé), voire même toute forme fermée et non croisée, a un cercle qui est le plus petit cercle le circonscrivant en entier, et un autre cercle qui est le plus grand cercle tenant à l'intérieur du polygone.

Le cercle extérieur a un diamètre qui correspond à la plus grande largeur transversale du polygone, et le cercle intérieur a un diamètre qui correspond à celle la plus petite.

Le rapport entre ces deux largeurs donne le rapport homothétique entre les deux cercles. Pour le rapport en terme de surface, il faux élever ce rapport homothétique au carré.

Dans le cas du carré, sa plus grande largeur étant sa diagonale, et sa plus petite son côté, et le rapport entre sa diagonale et son côté étant égal à racine carré de deux (d/c = sqrt(2)),  le rapport des surfaces des deux cercles qui pour l'un circonscrit le carré et et pour l'autre est contenu par lui, est de racine de deux au carré, soit 2.

De la même manière, si l'on fait subir à un polygone, une homothétie sur la base de ce rapport entre sa plus grande largeur transversale et sa plus petite largeur transversale, celui-ci viendra alors circonscrire le cercle qui le contenait avant l'application du rapport par homothétie.

La surface de ce nouveau polygone sera aussi fonction du rapport appliqué. Dans le cas du carré, cela amènera à lui doubler sa surface.

Dans le cas d'un triangle équilatéral, sa plus petite largeur transversale étant sa hauteur, et sa plus grande son côté, et le rapport entre son côté et sa hauteur étant égal à deux sur racine de trois (c/h = 2/sqrt(3)), le rapport en terme de surface pour une telle homothétie est de quatre tiers, 4/3.

Erratum, le cercle inscrit dans le triangle a un diamètre inférieur à sa hauteur, reste donc à affiner ce que j'ai dit dans ce post.

Le fait remarquable que pour le carré, cela amène à doubler la surface, est uniquement lié au rapport entre sa diagonale et son côté.

Pour le cercle, ce rapport est de 1, il se circonscrit et se contient lui même.

[quid]

Bon, revenons sur ce que j'ai écrit juste avant.

D'abord, on peut toujours trouver le cercle le plus petit qui circonscrit une forme fermée, ainsi que le plus grand cercle contenu entièrement dans cette même forme.

Par contre, le diamètre des cercles n'est pas la plus grande et la plus petite largeur transversale.
Dans le cas du triangle équilatéral par exemple, la plus grande largeur transversale de la figure est son côté, et la plus petite serait quasiment nulle, car traversant un des sommets du triangle.

Donc la détermination de ces largeurs transversales n'est pas aussi trivial, et ne permettent pas d'identifier directement la position et la taille de ces cercles, qui de plus n'ont pas forcément le même centre.
Notamment pour la détermination de la plus petite largeur, il faudrait faire référence à un point qui ajouterait donc une contrainte supplémentaire. Ce serait alors la plus petite largeur passant par ce point (par exemple le centre de gravité de la forme). Mais même avec cela, dans le cas d'une forme ou d'un polygone libre, le cercle issu de cette plus petite largeur comme diamètre, ne serait pas forcément entièrement à l'intérieur de la forme.

Bref. Une fois ces cercles identifiés, le principe de l'homothétie et du rapport des surfaces tel que je l'ai décrit reste valable, mais pour l'identification des cercles, il faut se restreindre quant à la nature des formes envisagées.

Restons donc alors sur le cas des polygones réguliers où les deux cercles dont nous parlons sont alors de même centre, qui est également le centre du polygone. Le plus petit cercle qui circonscrit le polygone a alors pour rayon, la distance avec le point du polygone le plus éloigné du centre, et qui est un sommet, et le plus grand cercle inscrit dans le polygone a pour rayon, la distance avec le point du polygone le plus proche du centre, et qui est un point central des côtés.

Il n'est plus alors question de plus grande ou plus petite largeur, mais de distance par rapport au centre du polygone.

Il se trouve alors que pour le carré, la plus grande distance ainsi définie, est la moitié de sa diagonale, et que la plus petite distance, a la taille de la moitié de son côté. Ces distances sont respectivement le rayon des deux cercles.

Pour le triangle équilatéral, la plus grande distance est de la moitié « haute » de la hauteur du triangle, et la plus petite distance est la moitié « basse » de cette même hauteur.

Etant donné que le centre d'un triangle équilatéral se situe au tiers de sa hauteur en partant du bas, le rayon du plus grand cercle mesure les deux tiers de la hauteur, et le plus petit seulement un tiers de celle-ci.

On a donc un rapport homothétique de 2 entre le plus petit cercle pouvant circonscrire le triangle et le cercle le plus grand pouvant être contenu dans le triangle. Ce qui fait un rapport de surface de 4.

Maintenant, pourquoi a-t-on cette différence d'approche entre le triangle, et le carré dont la taille des cercles semble directement déduite soit de ses côtés, soit de sa diagonale ?

Cela est dû au nombre de sommets du polygone.

Un polygone avec un nombre de sommet pair verra son cercle le plus petit le circonscrivant entièrement, ayant un diamètre égal à la distance entre deux sommets opposés du polygone (soit la diagonale pour le carré), et le diamètre du plus grand cercle inscrit dedans ayant un diamètre égal à la longueur de la perpendiculaire entre deux côtés opposés (soit la taille d'un côté dans le cas du carré).

Ai-je dis une connerie cette fois ?  

[kercoz]

@Rêveur :
Sur ce site ,
http://debart.pagesperso-orange.fr/college/carre_college.html
va voir aux carrés  de léonard de Vinci .
Mais ce truc est plus dingue si en plus tu traces un autre cercle circonscrit au carré le plus grand ....ce cercle aura lui aussi le double de surface du premier cercle.

On remarque aussi qu'un carré double de surface ne parait pas beaucoup plus grand que sa moitié ......C'est la principale arnaque des marchands de bois ...On te présente un poteau 10x10 pour ta tonnelle ......mais on peut te le faire avec un look plus fun en 15x15 ...
Tu te dis ça fait plu massif !....10 ou 15 c'est pas des masses plus cher .......sauf que c'est le double de section donc de poids donc de prix ....

[Rêveur]

Une énigme proposée par un ami :

20 enfants sont attendus par leurs grands-pères à la sortie de l’école primaire. On suppose que
deux enfants quelconques choisis parmi les 20 ont au moins un grand-père en commun. Montrer qu’il y a au
moins un grand père qui attend au moins 14 de ses petits-enfants.

[Rêveur]

Énigme de Bergame :

Je suis un homme, mais je ne suis pas un homme.

J'ai proposé deux interprétations :
Le narrateur est un homme qui ne suit personne - ou alors, ce qu'il suit n'est pas un homme, mais en général, << ne suivre personne >> signifie << ne suivre aucune personne >>, et seuls les hommes sont qualifiés de personnes.
Le narrateur n'est pas un homme - mettons que c'est un chien -, et il suit un homme - ce qui est courant chez les chiens.

C'est l'idée mais ce n'est pas la bonne réponse.

Je propose alors une nouvelle interprétation : le narrateur est une femme. Elle est un homme au sens d'<< humain >>, mais ne l'est pas au sens de << personne de sexe masculin >>.
Ou alors, c'est la personne que le narrateur suit qui est une femme et etc.

[kercoz]

On creuse un trou cylindrique ( un vrai cylindre ) dans une sphère.......seule indication: la hauteur du trou : 1m.
Quelle est le volume restant de la sphère ?
( je ne sais pas dessiner sur l' écran..mais y' a pas d' astuce graphique)

[Rêveur]

Quelle est le volume restant de la sphère ?

En fonction du rayon du cylindre ?

Si, je sais : pour que le trou soit parfaitement cylindrique, il ne faut pas que la base du haut soit << arrondie >>. Donc, elle doit être nulle ; le volume restant de la sphère est donc le même que celui qu'elle avait avant qu'on creuse ce trou...d'une seule dimension, si l'on peut dire...
...Je ne pense pas que ce soit la solution, mais ma réponse a le mérite d'être originale...

[kercoz]

Quelle est le volume restant de la sphère ?

En fonction du rayon du cylindre ?

Le rayon n'est pas nécessaire au calcul.
Il est évident que le creusement d' un cylindre dans l' axe d' une sphère engendre deux surfaces plates , vides et circulaires.

[Rêveur]

Pfff... J'pige pas tout...

[Rêveur]

Quelle est le volume restant de la sphère ?

Nouvelle tentative : la sphère n'existe plus, depuis qu'on a creusé un trou. Elle n'est plus exactement une sphère.
Donc ce volume est nul.

[kercoz]

Y' a aucune astuce , c'est purement mathématique. Il reste un anneau.
Comme indice : le volume restant est invariant. Il ne dépend pas du rayon.
Bien sur la sphère doit avoir un diamètre de 1 m minimum.

[kercoz]

2e joker:
Le volume restant est constant et assez facile à calculer.......C'est de démontrer l' invariance qui est moins facile.

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