Re: Temps polynomial

[Invité]

Et la signification de ∞ disparaît ...

Elle se précise, plutôt. Les mathématiques ont donné aux concepts d'infini une caractérisation qui permet de les penser et de les manipuler conceptuellement. Mathématiquement, ce sont des infinis en acte.

[Saint-Ex]

Et la signification de ∞ disparaît ...

Elle se précise, plutôt. Les mathématiques ont donné aux concepts d'infini une caractérisation qui permet de les penser et de les manipuler conceptuellement. Mathématiquement, ce sont des infinis en acte.

Les concepts d'infini donnés par les mathématiques n'entrent-ils pas en conflit avec le l'idée voulant que l'infini est plus grand que tout ce qui a une limite ?

Autrement dit, si on place < ou > entre deux expressions comprenant ∞ ne donnons-nous pas une limite à ∞ dans le cadre exclusif d'un concept entrant en conflit avec l'idée de ∞ ?

[Invité]

Les concepts d'infini donnés par les mathématiques n'entrent-ils pas en conflit avec le l'idée voulant que l'infini est plus grand que tout ce qui a une limite ?

Cette idée reste globalement vraie en maths.

Autrement dit, si on place < ou > entre deux expressions comprenant ∞ ne donnons-nous pas une limite à ∞ dans le cadre exclusif d'un concept entrant en conflit avec l'idée de ∞ ?

Ta question est formulée dans un langage informel et courant. Sa signification précise est encore vague, et les maths permettent d'affiner tout cela.

Intuitivement, les nombres naturels peuvent être symbolisés par une succession discontinue de points :

•     •     •     •     •     •     •     •     •     •     ...
0     1     2     3     4     5     6     7     8     9     ...  

Les nombres réels, eux, peuvent être symbolisés par une droite continue sur laquelle chaque position correspond à un nombre réel :

______________________________________________________

Les deux ensembles sont infinis : il n'y a pas de plus grand nombre naturel, et il n'y a pas de plus grand nombre réel.

Les réels ne surpassent pas non plus les naturels quant à leur valeur numérique (et vice versa) : il n'y a pas de nombre naturel plus grand que tous les réels, et il n'y a pas de nombre réel plus grand que tout les naturels.

Mais les réels surpassent les naturels en cardinalité : il y a plus de points sur la droite, que de points dans une succession discontinue.

[maraud]

Mais les réels surpassent les naturels en cardinalité : il y a plus de points sur la droite, que de points dans une succession discontinue.

Donc la droite est bien infinie, mais pas la droite discontinue! Puisque l'on définit la droite comme étant un alignement infini de points et que tu nous dis que la droite discontinue des naturels comporte moins de points que la droite infinie.

[Kercos]

Un truc qui me gène en économie : En vallée d'Aspe que je connais un peu, ..., on a remplacé la culture du blé par des fonctionnaires en RTT, 1000euros de sape décathlon ..et baton de ski au mois d'Aout. Le blé n'était pas que du blé , c'était aussi des cadets surnuméraires, envoyés en estive des les hauts villages, qui redescendaient pour faucher, battre et courir les filles ds les bals calculés pour....toute une "culture" au sens propre du mot.
Pour les amateurs de choucroute: .....Qd on met en équation un tel modèle, on obtient une équation bizzare avec au numérateur et dénominateur des phrases mathématiques compliquées, ...mais toutes f(t).
Si le prix du pain ou de la farine est le même en Beauce qu'en Aspe, c'est parce que t= zéro...du moins t tend vers 0 .
Qd on prend une équation telle que mon exemple , ..ou toute autre essayant de modéliser le vivant, si l' on fait tendre "t" vers zero .
+ infini x epsi / moins l'infini ...ça explose !.
Pour réenchanter un système, il faut redonner du temps au temps.

[Invité]

Mais les réels surpassent les naturels en cardinalité : il y a plus de points sur la droite, que de points dans une succession discontinue.

Donc la droite est bien infinie, mais pas la droite discontinue! Puisque l'on définit la droite comme étant un alignement infini de points et que tu nous dis que la droite discontinue des naturels comporte moins de points que la droite infinie.

La droite discontinue est également infinie, elle contient une infinité de points (qui symbolisent le nombre infini de nombres naturels).

[Saint-Ex]

Mais les réels surpassent les naturels en cardinalité : il y a plus de points sur la droite, que de points dans une succession discontinue.

Donc la droite est bien infinie, mais pas la droite discontinue! Puisque l'on définit la droite comme étant un alignement infini de points et que tu nous dis que la droite discontinue des naturels comporte moins de points que la droite infinie.

La droite discontinue est également infinie, elle contient une infinité de points (qui symbolisent le nombre infini de nombres naturels).

On pourrait avancer le principe de la somme totale et donc infinie de tous les points particuliers, quelle que soient la cadinalité des ensembles qui les réuniraient. Non ?

[maraud]

Mais les réels surpassent les naturels en cardinalité : il y a plus de points sur la droite, que de points dans une succession discontinue.

Donc la droite est bien infinie, mais pas la droite discontinue! Puisque l'on définit la droite comme étant un alignement infini de points et que tu nous dis que la droite discontinue des naturels comporte moins de points que la droite infinie.

La droite discontinue est également infinie, elle contient une infinité de points (qui symbolisent le nombre infini de nombres naturels).

Tu nous dis que l'ensemble formé par la droite inclus le sous-ensemble droite discontinue mais qu'en même temps la droite discontinue égale la droite. On ne peut dénombrer les éléments contenus dans la droite, tout comme on ne peut dénombrer ceux contenus dans la droite discontinue, on est d'accord, mais n'est-il pas logique de dire que tous les éléments de la droite discontinue se trouve aussi dans la droite, alors que l'inverse n'est pas vrai ? Et dans ce cas, l'ensemble droite discontinue n'est-il pas un sous-ensemble de la droite ?

On a définit, par convention, que la droite est infinie or cela implique nécessairement que tout sous-ensemble de cette droite ne peut, au plus, n'être qu'indéfini et non infini.

N'oublions pas qu'il n'y a pas de droite avant que l'on ait définit la droite et qu'il n'y a pas de cercle avant que l'on ait définit le cercle....

Une règle graduée en mm offre plus de possibilités que si elle était graduée en cm. Et la potentialité maximale est atteinte avec l'alignement de points continus puisque le point géométrique est défini comme étant " absence d'étendue".

[Invité]

On pourrait avancer le principe de la somme totale et donc infinie de tous les points particuliers, quelle que soient la cadinalité des ensembles qui les réuniraient. Non ?

Pour montrer quoi ? Détaille ton raisonnement avec sa conclusion ?

n'est-il pas logique de dire que tous les éléments de la droite discontinue se trouve aussi dans la droite, alors que l'inverse n'est pas vrai ? Et dans ce cas, l'ensemble droite discontinue n'est-il pas un sous-ensemble de la droite ?

La "droite discontinue" (ou plutôt, la suite infinie de points) correspond bien à un sous-ensemble de la droite continue. Et ces deux ensembles sont infinis. Et la droite continue contient plus de points que la suite de points.

De même, les nombres naturels sont inclus dans les nombres réels. Et il y a plus de nombres réels que de nombres naturels.

[maraud]

Il n'empêche que ta droite (supposée linéaire) comporte moins de possibilités. D'ailleurs le vocabulaire qui qualifie une asymptote est assez éclairant quand on dit que la partie courbe de l"asymptote tend vers l'infini sans l'atteindre... ( ce qui me permet de comprendre qu'il y a là quelque chose d'indéfini).

[Saint-Ex]

On pourrait avancer le principe de la somme totale et donc infinie de tous les points particuliers, quelle que soient la cadinalité des ensembles qui les réuniraient. Non ?

Pour montrer quoi ? Détaille ton raisonnement avec sa conclusion ?.

Pour montrer que si les mathématiques ont donné aux concepts d'infini une caractérisation qui permet de les penser et de les manipuler conceptuellement, elles s'éloignent provisoirement de la définition d'un infini plus grand que tout ce qui a une limite pour y revenir d'une façon ou d'une autre après que lesdits concepts arrivent à leur épuisement, je veux dire à la fin de leurs démonstrations, moment où on peut s'apercevoir que l'ensemble des nombres d'une droite continue sur laquelle chaque position correspond à un nombre réel ENGLOBE l'ensemble des nombres naturels symbolisés par une succession discontinue de points.

Autrement dit, si l'on considère l'ensemble des nombres dans la totalité de toutes leurs définitions d'ensemble cardinaux ou pas cardinaux, hé bien on considère un infini plus grand que tout ce qui a une limite sans concept ni manipulation conceptuelle.

Ma question devient alors :

À quoi servent les concepts et les manipulations conceptuelles dans le cadre de l'infini dont on sait déjà tout de l'essence ?

[Invité]

Le fait que les naturels soient inclus dans les réels, c'est évident (par définition même des réels). Le fait qu'il y a une infinité de naturels, et une infinité de réels, est également évident.

Ce qui n'est pas évident, et que les maths ont révélé, c'est qu'il y a strictement plus de réels que de naturels, alors qu'il y a une infinité de naturels ; comment est-ce possible ? Comment peut-on avoir plus d'objets qu'un ensemble déjà infini d'objets ?

Par ailleurs, il y a plein d'autres phénomènes :

• il y a autant de réels dans l'intervalle ]0,1[ que de réels tout court (alors que l'ensemble ]0,1[ est un sous-ensemble des réels),
  
• il y a autant de naturels que d'entiers (qui sont les naturels 0, 1, 2, 3, ..., ainsi que leurs opposés -1, -2, -3, ...),
  
• il y a autant de naturels que de rationnels (qui sont les fractions d'entiers, comme 1/2, 3/4, -5/17, ...),
  
• etc.
  

[Saint-Ex]

Le fait que les naturels soient inclus dans les réels, c'est évident (par définition même des réels). Le fait qu'il y a une infinité de naturels, et une infinité de réels, est également évident.

Ce qui n'est pas évident, et que les maths ont révélé, c'est qu'il y a strictement plus de réels que de naturels, alors qu'il y a une infinité de naturels ; comment est-ce possible ? Comment peut-on avoir plus d'objets qu'un ensemble déjà infini d'objets ?

Par ailleurs, il y a plein d'autres phénomènes :

• il y a autant de réels dans l'intervalle ]0,1[ que de réels tout court (alors que l'ensemble ]0,1[ est un sous-ensemble des réels),
  
• il y a autant de naturels que d'entiers (qui sont les naturels 0, 1, 2, 3, ..., ainsi que leurs opposés -1, -2, -3, ...),
  
• il y a autant de naturels que de rationnels (qui sont les fractions d'entiers, comme 1/2, 3/4, -5/17, ...),
  
• etc.
  

Le tout représente un ensemble obéissant à la définition de l'infini, mais quelque élément du tout obéit à deux nécessités, l'une conceptuelle voulant qu'il est strictement inférieur au tout, l'autre obéissant comme le tout à la définition de l'infini.

Il y a un paradoxe créé par une différence entre deux point du vue, l'un conceptuel, l'autre non.

Je reste intrigué par la question de savoir à quoi servent les points de vue conceptuels.

Sont-ce des jeux mathématiques définitivement dépourvus d'application pratique ?
Sont-ce des mathématiques déjà appliquée à des pratiques du monde scientifique ?
Sont-ce des mathématiques dont on voit un potentiel d'applications futures, sans pouvoir les nommer encore ?

[Invité]

Sont-ce des jeux mathématiques définitivement dépourvus d'application pratique ?
Sont-ce des mathématiques déjà appliquée à des pratiques du monde scientifique ?
Sont-ce des mathématiques dont on voit un potentiel d'applications futures, sans pouvoir les nommer encore ?

Cela fait 3 siècles au moins que ces mathématiques sont appliquées dans les sciences. En fait, elles ont même permis l'essor des sciences. L'étude de l'infini est centrale dans la branche des maths la plus appliquée aux sciences, le calcul différentiel et intégral, initié par Newton et Leibniz. Cette branche a permis la naissance de la physique moderne et des sciences de l'ingénieur en général.

[Saint-Ex]

Sont-ce des jeux mathématiques définitivement dépourvus d'application pratique ?
Sont-ce des mathématiques déjà appliquée à des pratiques du monde scientifique ?
Sont-ce des mathématiques dont on voit un potentiel d'applications futures, sans pouvoir les nommer encore ?

Cela fait 3 siècles au moins que ces mathématiques sont appliquées dans les sciences. En fait, elles ont même permis l'essor des sciences. L'étude de l'infini est centrale dans la branche des maths la plus appliquée aux sciences, le calcul différentiel et intégral, initié par Newton et Leibniz. Cette branche a permis la naissance de la physique moderne et des sciences de l'ingénieur en général.

Ah oui, en effet, le calcul différentiel et intégral doit énormément pour ne pas dire tout à l'infini.

Ce qui m'amène à poser deux autres questions :

1)  Quelle est la place des cardinalités dans le calcul différentiel et intégral ?

2)  L'infini du calcul différentiel et intégral n'est-il pas l'infini de l'infiniment petit, exclusivement ? Si c'est le cas, y a-t-il quand même un rapport avec l'infiniment grand ? Autrement dit, les science de l'ingénieur sont-elles les mêmes que celles de la cosmologie moderne ?

Je crois que ce seront mes dernières interrogations. Elle auront été animées par une curiosité maladive de ma part, surtout que j'adore littéralement les mathématiques, mais que les mathématiques ne m'aiment pas. C'est un plaisir pour moi que de lire tes réponses à mes interrogations, mon vieux !

[Invité]

Ah oui, en effet, le calcul différentiel et intégral doit énormément pour ne pas dire tout à l'infini.

On dit parfois que c'est la "théorie mathématique de l'infini".

1)  Quelle est la place des cardinalités dans le calcul différentiel et intégral ?

Centrale. En particulier, la cardinalité des nombres naturels est appelée le "dénombrable", et celle des nombres réels est appelée le "continu". On dit que l'ensemble des nombres réels possède la puissance du continu. Les deux cardinalités sont infinies, mais le continu est strictement supérieur au dénombrable.

C'est fondamental car seul un ensemble ayant la puissance du continu peut former une étendue de mesure non nulle. C'est la différence entre un ensemble disparate de points alignés et isolés (dont la longueur totale vaut 0, chaque point étant de longueur 0) et un segment continu de points (dont la longueur totale n'est pas 0). Le calcul différentiel et intégral possède une branche qui est la théorie de la mesure : c'est la théorie qui conceptualise la notion de "longueur", "aire", "volume", etc. à toutes les dimensions et dans toutes les situations (sa notion technique centrale est celle d'intégrale). Dans cet univers théorique aux innombrables applications, la distinction dénombrable/continu est une base incontournable.

Pour info, la continuité des nombres réels est posée par un axiome fondamental, l'axiome de complétude, qui possède de nombreuses formulations équivalentes. C'est un des axiomes disponibles quand on démontre des théorèmes en calcul différentiel et intégral.

2)  L'infini du calcul différentiel et intégral n'est-il pas l'infini de l'infiniment petit, exclusivement ? Si c'est le cas, y a-t-il quand même un rapport avec l'infiniment grand ? Autrement dit, les science de l'ingénieur sont-elles les mêmes que celles de la cosmologie moderne ?

Le calcul différentiel et intégral traite des deux types d'infinis (petit et grand). Par exemple, on peut observer la force de gravitation F qui s'exerce entre deux corps massifs m₁ et m₂ :

F = Gm₁m₂/d²

où G est la constante gravitationnelle et d la distance entre les deux corps.

Le calcul différentiel permet de dire que cette force augmente à l'infini quand la distance qui les sépare tend vers 0. Aussi, cette force tend vers 0 quand la distance augmente à l'infini.

C'est sensiblement ce genre de considération qui entre en jeu en astronomie, quand on étudie par exemple les champs gravitationnels des trous-noirs, avec des infinis qui apparaissent quand on s'approche de leurs centres.

[hks]

Elle se précise, plutôt. Les mathématiques ont donné aux concepts d'infini une caractérisation qui permet de les penser et de les manipuler conceptuellement. Mathématiquement, ce sont des infinis en acte.

Le problème lancinant et qui réaffleure plus ou moins consciemment dans les remarques, est que l'infini ne s'actualise que dans la finitude.
 L'archifond infini
demeure (intuitivement) comme l'au delà ou l'en de ça de toutes déterminations en acte. Il en suit une résistance intuitive (relativement sceptique, à tout le moins interrogative).

On dit parfois que c'est la "théorie mathématique de l'infini"

Laquelle a d'innombrables qualités à faire valoir, cela dit.

[Saint-Ex]

.

[..][..][..]

Merci, mon vieux !

[Magni]

En revanche, heu : 2^∞ > ∞ . Ca n'a pas de sens, ou bien ?

Une illustration possible est la suivante : il y a une infinité de nombres naturels, il y a une infinité de nombres réels. Mais on peut démontrer qu'il y a plus de nombres réels que de nombres naturels. Par ailleurs, si ∞ désigne le nombre de nombres naturels, alors on peut démontrer que 2^∞ correspond au nombre de nombres réels. Il en découle que 2^∞ > ∞.

Et la signification de ∞ disparaît ...

L'infini est une quantité dont la valeur dépasse la valeur qu'un nombre peut contenir.

Comme les mots, les nombres sont des contenants de signification qu'on peut concaténer jusqu'à l'infini (en théorie mais pas en acte; peut-on vraiment ecrire une infinité de livre, en théorie pourrait, mais en fait ça n'arrivera pas).

L'infini n'est pas un superlatif. Il existe des infinis plus grands que d'autres.
Pythagore croyait en un seul infini unifié et superlatif, il avait tort, Zénon l'a montré, Cantor l'a démontré.

Cela peut surprendre, mais c'est ainsi : 2^∞ et ∞ sont deux infinis de tailles différentes, et il n'y a pas de limite.

2^(2^∞) > (2^∞)

Et la signification de ∞ disparaît ...

Elle se précise, plutôt. Les mathématiques ont donné aux concepts d'infini une caractérisation qui permet de les penser et de les manipuler conceptuellement. Mathématiquement, ce sont des infinis en acte.

J'ai toujours la même opinion différente.

Il n'y a pas d'infini en acte, on manipule les infinis intellectuellement, pas manuellement.
Les concepts sont métaphysiques, la manipulation conceptuelle est virtuelle, pas réelle.

Tout acte nécessite une cause, il n'y a aucune cause à 2+2=4; cela existe depuis toujours, c'est inné et incréé, ce n'est pas physique, aucune quantité finie ou infinie n'est actualisée.




A propos de ce que je vois comme relation au sujet dans mon intervention, un algorithme efficace est un algorithme qui ne tombe pas dans un nombre de calculs exponentiel comme les paradoxes de Zénon d'Élée où il faut un nombre d'étapes de calcul infini pour chaque course, comme lorsqu'on veut rattraper le lapin, c'est semblable à vouloir calculer Pi.

Fournir une formule pour calculer Pi n'est pas la même chose que obtenir la valeur de Pi.

Calculer huit décimales comme Pythagore, ou 2^109 décimales, c'est pareil, on n'a toujours pas Pi en acte.

[Magni]

A propos du point de vue, le décalage, je le perçois, je ne le conçois pas.

:)

[Invité]

Il n'y a pas d'infini en acte, on manipule les infinis intellectuellement, pas manuellement.
Les concepts sont métaphysiques, la manipulation conceptuelle est virtuelle, pas réelle.

Tout acte nécessite une cause, il n'y a aucune cause à 2+2=4; cela existe depuis toujours, c'est inné et incréé, ce n'est pas physique, aucune quantité finie ou infinie n'est actualisée.

Tu confonds juste "actuel" avec "physique, matériel".

Il n'y a pas de grandeur infinie physique, matérielle, que l'on observer d'un coup avec nos sens. On peut être d'accord là-dessus (en tout cas, les physiciens le sont).

Mais la distinction infini potentiel/infini actuel se fait au sein du domaine intellectuel : elle met en opposition des processus mentaux qui n'ont pas de fin (les infinis potentiels) et des objets conceptuels qui sont des infinis considérés comme un tout achevé (les infinis actuels). Depuis la théorie des ensembles, on manipule (mathématiquement, donc par la pensée) des ensembles infinis comme des totalités achevées. On les découpe en morceaux, on assemble ceux-ci arbitrairement, on fait des opérations avec, on compare leurs cardinaux, on les injecte les uns dans les autres, on les représente géométriquement, etc.

[Kercos]

Nos capacités limitées ne peuvent concevoir l'infini qu'en terme de quantité ....ce qui implique quantité d'une qualité identique ....
Si l'on imagine une variabilité de qualité, cette notion d'infini devient plus acceptable.

[Magni]

Il n'y a pas d'infini en acte, on manipule les infinis intellectuellement, pas manuellement.
Les concepts sont métaphysiques, la manipulation conceptuelle est virtuelle, pas réelle.

Tout acte nécessite une cause, il n'y a aucune cause à 2+2=4; cela existe depuis toujours, c'est inné et incréé, ce n'est pas physique, aucune quantité finie ou infinie n'est actualisée.

Tu confonds juste "actuel" avec "physique, matériel".

Il n'y a pas de grandeur infinie physique, matérielle, que l'on observer d'un coup avec nos sens. On peut être d'accord là-dessus (en tout cas, les physiciens le sont).

Mais la distinction infini potentiel/infini actuel se fait au sein du domaine intellectuel : elle met en opposition des processus mentaux qui n'ont pas de fin (les infinis potentiels) et des objets conceptuels qui sont des infinis considérés comme un tout achevé (les infinis actuels). Depuis la théorie des ensembles, on manipule (mathématiquement, donc par la pensée) des ensembles infinis comme des totalités achevées. On les découpe en morceaux, on assemble ceux-ci arbitrairement, on fait des opérations avec, on compare leurs cardinaux, on les injecte les uns dans les autres, on les représente géométriquement, etc.

Il n'y a pas d'infini en acte
Il n'y a pas d'infini qui soit fini, ou bien achevé.

Je comprends le concept et je le révoque.
Ce n'est pas une erreur de ma part.

[Invité]

Il n'y a pas d'infini qui soit fini, ou bien achevé.

Je comprends le concept et je le révoque.

Cette phrase prouve que tu ne comprends pas le concept, car pour toi, "achevé" est synonyme de "fini". Un infini "achevé" n'est pas un infini "fini". La confusion est toutefois légitime, vu qu'elle repose sur l'acception courante du mot "achevé". Les choses s'éclaircissent quand on utilise le langage mathématique, plus précis.

[maraud]

La petite inversion qui échappe souvent au bon sens, vient de ce que le concept d'Infini s'épuise avec la capacité intellectuelle d'abstraction: ce en quoi nous confondons l'un et l'autre...

le terme adéquat, qui a engendré "achevé" est le terme "parfait" qui unifie ce qui est conçu avec ce qui le conçoit. La forme achevée de l'Infini correspond à la capacité achevée de l'abstraction intellectuelle.
Ainsi, lorsque j'épuise le concept d'Infini, il n'y a plus place pour quelque chose qui soit plus parfait, plus achevé que cet Infini, donc tout le reste est soit fini, soit indéfini.

Comment faites-vous pour distinguer deux infinis sans que ceux-ci ne se confondent en un seul ? Comment vous accommodez-vous de ne pas hiérarchiser l'un par rapport à l'autre ?

Chez les grecs anciens, la forme parfaite qui contient, donc, le plus de possibilités est la sphère. Il n'y a donc que dans la sphère que l'on peut synthétiser la notion d'infini, avec un centre qui se "trouve" partout et un périmètre nul part. ( on peut "situer" le lapin partout mais ne le définir nul part)

[Vanleers]

A Maraud

Vos réflexions me rappellent le débat que j’ai eu avec hks sur ce forum à propos de l’infini chez Spinoza.
Je serais assez d’accord avec vous pour entendre l’infini au sens de la perfection et non au sens de l’infini de Cantor, même si ce dernier est bien un infini en acte comme le rappelle Antisubjectiviste.

Je m’interrogeais sur la notion d’infini dans la définition de Dieu chez Spinoza :
« Par Dieu, j’entends un étant absolument infini, c’est-à-dire une substance consistant en une infinité d’attributs dont chacun exprime une essence éternelle et infinie ».

Comment comprendre « une infinité d’attributs » ?
Ce ne peut être au sens d’un nombre infini d’attributs, ce qui poserait la question de la cardinalité de ce nombre.
Deleuze avait bien compris le problème et est allé chercher chez Duns Scot la notion de distinction formelle, c’est-à-dire réelle mais non numérique.
Il y aurait donc une distinction formelle entre les attributs de la substance : par exemple, l’Étendue et la Pensée sont des attributs formellement distincts de Dieu mais on ne peut pas dire qu’il s’agit de deux attributs.
Cela s’est éclairé en lisant, sur JSTOR, l’article de Jean-Michel Lespade Substance et infini chez Spinoza (Revue de métaphysique et de morale 1991/3) qui distingue infinité multitudinale et infinité numérique :
Expliquant l’infinité multitudinale d’attributs infinis,

Cette multitude ne relève plus de l’infini imaginatif et successif, propre à l’arithmétique, mais se conçoit tota simul dans sa perfection. D’ailleurs, qu’il ne s’agisse pas dans un tel procès d’une série numérique indéfinie, cela se conçoit sur le fondement de l’hétérogénéité des attributs : la quantité numérique implique au contraire l’homogénéité de ce qui est nombré comme le rappelle Leibniz autant que Spinoza. […] Transcendant à toute énumération qui voudrait le ramener à un procès imaginatif inachevable, cet infini actuel d’attributs substantiels et hétérogènes, conçu par l’entendement, relève d’une intelligence ontologique de la quantité, échappant aux apories de l’imagination et de l’arithmétique. La raison en est simple : chaque attribut constitue une essence simple et unique qui ne se rencontre qu’à un seul exemplaire ; or, comme le dit Spinoza dans la lettre 50 à Jarig Jelles, le nombre ne concerne que l’existence et non l’essence, c’est-à-dire la reproduction existentielle d’une essence exemplaire. Ici, tout au contraire, l’infini de multitude ne s’applique qu’aux essences des attributs, innombrables, hétérogènes et incomparables, dont l’unicité (transcendantale et non prédicable) d’existence est incluse pour chacun dans son essence. (pp. 338-339)

Dans la lettre 50 :

Qui tient en main par exemple un sou et un écu, ne pense pas au nombre deux s’il ne range le sou et l’écu sous une même dénomination, celle de pièce de monnaie. Alors seulement il pourra dire qu’il a deux pièces de monnaie, l’écu et le sou étant tous deux dénotés par ce terme.

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