Notion mathématique d'intégrale

[quid]

J'ouvre ce sujet suite à la digression sur les intégrales sur un autre sujet.

Cela me permet en outre de poser, de me remémorer et de partager quelques notions mathématiques, réminiscences lointaines de classe de terminale, lesquelles je n'ai plus eu vraiment l'occasion de pratiquer.

Une première partie essaye de reformuler la notion d'intégrale dont je me souviens. Il semble qu'il s'agisse de la méthode d'intégration de Riemann.

Ne prenez pas cela comme un cours, des erreurs ou des imprécisions ont pu s'y glisser.

C'est entre autre pour kercoz. que j'ai pris cette initiative mais aussi pour ceux pour qui ces notions seraient du charabia, me disant qu'une explication assez détaillée, permettrait de sortir du flou.

Bien que tout cela soit amplement documenté sur internet, je me suis dis que s'il n'y a pas de raison d'aller vers l'information, pourquoi l'information ne viendrait-elle pas ici, puisque des questions autour de cela ont été abordées ?

Pour ma part c'est un peu mon taquet en matière de mathématiques, la limite où je peux encore manier des concepts. Au-delà, il y a certainement ceux qui peuvent encore les manier, côtoyant ceux qui ne font plus que suivre des recettes.

Bon il fallait bien que j'enrobe tout cela, car bien que m'ayant au final pris pas mal de temps, le contenu est certainement assez maigre. Cela m'a néanmoins permis de découvrir le logiciel « GeoGebra ». Cela vous fera également un peu de lecture.

I – Sur les intégrales

Idée générale de l'intégration

L'intégration en mathématique, est une méthode permettant de mesurer par approximations successives et de plus en plus fines, une surface.

L'idée est de poser un processus itératif, qui par incréments successifs permet d'affiner de plus en plus la surface à mesurer.

Dans le cadre mathématique, l'objectif n'est pas de procéder directement au processus itératif, tel qu'on pourrait le laisser faire à un programme informatique par exemple, mais plutôt de dégager une formule mathématique de calcul de la surface envisagée, suite à la considération du processus itératif lui-même.

La somme des « n » premiers entiers naturels

Un exemple que j'ai retenu quant à la réduction d'un processus itératif, est par exemple, de pouvoir déterminer la somme des « n » premiers entiers naturels, quelque soit « n ».

Si l'on doit effectuer soi-même cette somme, comme on le ferait d'une addition plutôt que d'une multiplication, cela deviendrait chronophage pour des valeurs élevées de « n ». Avoir une formule qui permet de le faire peut être utile.

Voici une recherche de cette formule ci-après, où l'on remarque que l'on peut associer deux à deux les nombres les plus petits de la somme, respectivement avec ceux les plus grands, et que la somme deux à deux de chaque couple ainsi constitué donne le résultat (n+1) :



On peut donc ainsi calculer par exemple, rapidement la somme des 500 premiers entiers qui est alors de 125250 ; çà nous fait sans doute une belle jambe, mais c'est pour illustrer.

Calcul d'une surface par décomposition en surfaces plus petites

L'intégration est en considération d'une surface, non nulle donc, que l'on tente de calculer en la recouvrant par des surfaces plus petites et juxtaposables, qui sont elles, calculables de par leur forme.

Ces formes peuvent être des triangles, des carrés, ou toute sorte de formes calculables.

Un cas un peu bête par exemple serait de calculer la surface d'un carré avec des triangles, en imaginant que l'on connaisse uniquement la formule de calcul de la surface du triangle qui est égale à sa base que multiplie sa hauteur le tout divisé par 2.

Dans la figure suivante, j'ai divisé un carré en quatre triangles.



Dans notre figure les quatre triangles sont identiques, et l'on calcul donc la surface d'un seul que l'on multiplie par quatre.

On retrouve alors la formule de calcul de la surface d'un carré directement en fonction de la longueur de son côté : S=c².

On vient donc d'intégrer un carré à partir de triangles.

On remarque cependant que l'on n'a pas utilisé de processus itératif, et que les triangles juxtaposés couvrent exactement la surface du carré ; La seconde remarque expliquant la première : Il n'y a pas eu besoin d'itération pour approcher la surface du carré.

Je vous laisse juge de la pertinence de cet exemple dans l'explication globale.

Intégration d'une fonction

Maintenant, considérons la fonction « f » qui donne y = f(x) = x/2 (soit un nombre x ; quelle est sa moitié ?).

Graphiquement, dans un repère orthonormé ayant comme axe horizontal les abscisses « x » et en axe vertical les ordonnées « y », la fonction « f » est représentée par une droite oblique de pente 1/2.

Essayons de calculer la surface se situant entre l'axe des abscisses et la ligne oblique qui représente la fonction « f », en l'intégrant au moyen de formes rectangulaires.

Pour cela, on considérera une certaine longueur « x » de cet axe, que l'on divisera en « n » segments égaux qui serviront chacun de largeur pour dresser un rectangle allant rejoindre la ligne oblique par un de ses coins, sans dépasser la ligne oblique.



On remarque alors que seule une petite partie entre le haut des rectangles et la ligne oblique n'est pas couverte par les rectangles, alors que la majorité de la surface l'est par l'est par ceux-ci.

En calculant la surface couverte par les rectangles, on a donc déjà une approximation de la surface située en dessous de la ligne oblique.

Décomposition en surfaces de plus en plus petites

Si l'on conserve la longueur « x » et que l'on augmente la valeur de « n », diviseur de « x », et que l'on reproduit le processus d'élévation des rectangles jusqu'à rejoindre la ligne oblique, on « s'aperçoit »* que les rectangles deviennent de plus en plus mince, et qu'ils tendent à couvrir une plus grande portion de la surface à approcher, la partie supérieure non couverte, en escaliers, allant en s'amenuisant.

* En général, les « on voit » et les « on s'aperçoit », à part pour les trucs très trivial, les mathématiques n'aiment pas trop, elles aiment tout démontrer. Mais partir dans une démonstration sans avoir une intuition, c'est un peu comme jouer à la loterie. En général, si l'intuition est bonne, la démonstration le montrera.

Bien qu'on augmente « n », la formule précédemment trouvée pour le calcul de la somme des rectangles [ (1/4)x²(1-1/n)] reste valable quelque soit « n ».



Si l'on augmente « n » de manière très importante, on obtiendra cependant toujours la juxtaposition de rectangles de surface non nulle, et il restera toujours une portion non couverte entre le haut des rectangles et la droite oblique, même si cette surface non couverte devient très petite, alors que la surface couverte par les rectangles elle, au contraire, va en augmentant.

Le calcul de l'aire couverte par les rectangles semble s'approcher de l'aire sous la ligne de pente 1/2, plus on augmente « n ».

Considérations sur la fonction « inverse »

La fonction inverse est la fonction qui, pour tout « x » appartenant aux nombres réels retourne « y= 1/x ».

Dans un repère orthonormé, cela donne graphiquement, ceci :



C'est une courbe en forme de « papillon ». La courbe a deux asymptotes qui sont les axes du repère orthonormé.

Une asymptote est une droite vers laquelle la courbe se rapproche de plus en plus, sans jamais s'y confondre.

Cela s'explique car d'une part, lorsque l'on divise « 1 » par un nombre « x » de plus en plus grand, on obtient un résultat, bien que jamais nul, toujours de plus en plus petit, inférieur à « 1 » si « x » est supérieur à « 1 », et « tendant » donc vers la valeur 0 sans jamais pouvoir l'atteindre, ce qui explique l'asymptote horizontal. *

Et d'autre part, lorsque l'on divise « 1 » par un nombre « x » de plus en plus petit, on obtient un résultat de plus en plus grand, supérieur à « 1 » lorsque « x » est inférieur à « 1 », et tendant donc vers « l'infini », car « x » bien qu'étant de plus en plus petit ne peut-être nul, 0 ne pouvant être un diviseur. *

Pour les nombres négatifs, cela se passe respectivement sur la gauche et sur le bas du graphique.

* Ces deux explications pour les asymptotes peuvent ne pas sembler triviales, la vrai démonstration fait appel aux limites, où l'on montre qu'un intervalle encadrant la limite repérées, tends à se réduire à 0, tout en encadrant constamment toutes les valeurs de la fonctions qui vont au-delà.
C'est ce qui est illustré par les intervalles « [r ; -r] » et « ]0;a] » sur la figure.

La fonction est symétrique : x = 1/(1/x), c'est à dire que si y=1/x, alors x=1/y, et inversement, ce qui explique sa symétrie graphique avec la droite représentée par la fonction « x=y ».

La fonction n'a pas de solution pour « x = 0 ».

Cette fonction a quatre « limites mathématiques » remarquables, en rapport aux asymptotes :

- Pour « f(x)=1/x » quand « x » tend vers l' infini positif, « f(x) » tend vers « 0 »
- Pour « f(x)=1/x » quand « x » tend vers l' infini négatif, « f(x) » tend vers « 0 »
- Pour « f(x)=1/x » quand « x » est positif et tend vers 0, « f(x) » tend vers l'infini positif
- Pour « f(x)=1/x » quand « x » est négatif et tend vers 0, « f(x) » tend vers l'infini négatif

Résolution de l'intégration

En utilisant le résultat sur les limites pour la fonction 1/x, on peut terminer l'intégration de la fonction y=1/2x.

Ainsi, plus « n » augmente, plus « 1/n » tend vers 0 et plus « (1-1/n) » tend donc vers 1.
La formule précédemment trouvée pour le calcul de la somme des rectangles « (1/4)x²(1-1/n) » tend donc vers « (1/4)x² ».

La limite de « (1/4)x²(1-1/n) » quand « n » tend ver l'infini positif est égale à « (1/4)x² » :

En augmentant « n », on ne pourra cependant atteindre « (1/4)x² », puisque « 1/n » ne peut atteindre 0, mais l'on connaît maintenant une formule de la surface entre la ligne oblique de pente1/2 et l'axe des abscisses, quelque soit x, et qui est cette limite. *

* Je triche peut-être un peu, car rien ne dit que cette limite est belle est bien celle de la surface considérée, et que mon intuition de départ (« on s'aperçoit » que les rectangles deviennent de plus en plus mince) était juste. Cependant, dans ce cas précis de surface, connaissant la formule de calcul de l'aire d'un triangle « b*h/2 », je peux l'affirmer :  x*( (1/2)x)/2 = (1/4)x².

Fort de ce résultat, on peut rétrospectivement connaître par différence, la surface de la partie située entre la droite oblique, et le haut des rectangles et qui est : (1/4)x² – (1/4)x²(1-1/n) = (1/4)x²(1/n), et qui tend effectivement vers 0 quand « n » tend vers l'infini.

Les primitives

En terme de fonction, la fonction F(x)=(1/4)x² est dite une fonction « primitive » de la fonction f(x)=(1/2)x.

A l'inverse, la fonction « f » est dite la fonction « dérivée » « F' » de « F ».

Je ne m'attarderais pas sur ces points concernant les « dérivées » et les « primitives », non seulement parce que lorsqu'on tire un fil dans les explications mathématiques, c'est toute la pelote qu'on voit défiler, mais également parce que les appellations et les concepts mathématiques sont très précis, et qu'il faut prendre nombre de précautions, pour ne pas dire des choses fausses, car il n'y a pas d'à peu prés dans cette discipline. C'est sa condition sine qua non, sans cela l'erreur de démonstration rode.

De plus, et surtout, j'ai mes limites, tout ce que je dis dans ce sujet, est susceptible de comporter des erreurs, voire des énormités, mais c'est le partage de ma compréhension qui m'intéresse ici.

Donc, sur les dérivées, j'ai retenu que c'était une fonction qui reflète la pente d'une autre. Et qu'une primitive est une fonction qui reflète la surface située sous une courbe représentant une autre fonction.





Les primitives et les résultats autour d'elles, apportent donc des outils pour le calcul d'intégrales :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27analyse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Primitive

Conclusion sur cette première partie

Bien évidement, cet exemple n'est que pour expliquer le principe de l'intégration, car dans ce cas précis de surface, celle sous une droite oblique, l'intégration n'est pas nécessaire.

La méthode est cependant valable pour des surfaces moins triviales.

Utiliser la méthode des rectangles pour faire l'intégration d'une surface, a l'avantage de pouvoir s'appuyer sur la notion de fonction mathématique qui exprime une valeur « y » en fonction d'une autre « x ».

Dans un repère orthonormé, on peut donc exprimer alors la hauteur d'un rectangle en fonction de sa largeur, et tenter de trouver une formule de résolution, soit en s'appuyant sur les primitives connues, soit en faisant soit même l'intégration, quitte à la décomposer en plusieurs fragments plus simples.

On pourrait utiliser d'autres formes élémentaires pour approcher la surface, tel que des triangles ou autres, mais on préférera sans doute la méthode offrant le plus d'outils.

Dans tous les cas, il faut choisir une méthode qui permettent de converger vers la surface à intégrer.

[quid]

II – La question de kercoz

Retour sur l'objection de kercoz.

Tout d'abord, ce questionnement me dis quelque chose, et j'ai donc déjà dû me faire la remarque un jour, mais je n'avais sans doute pas poussé plus loin.

Kercoz questionne le principe même de l'intégration, en faisant remarquer que si la forme choisie pour couvrir d'une manière de plus en plus fine la surface à intégrer, est un cercle (ou un disque en l'occurrence), le cercle n'étant pas une forme s'ajustant avec les autres cercles voisins, un vide reste entre les cercles, qui ne se comblera jamais. (j'ai transposé les sphères en cercle, car le raisonnement est le même)

Il fait remarquer alors que le présupposé de l'intégration comprend une faille dans le cas d'un cercle comme forme de base, puisque ce présupposé semble affirmer qu'en réduisant de plus en plus les petites surfaces calculables servant à intégrer, on comblera le vide lié à l'inadéquation entre la surface à intégrer et la multitude des formes de base calculables.

En effet, le rapport entre la surface couverte par les cercles et celle des espacements entre les cercles qui n'est pas couverte, reste constant ; comment cette espacement pourrait tendre vers 0, si la surface de couverture des cercles ne tendent pas également vers 0 ?

Il y voit alors un parti pris qui affirmerait la prédominance de l'augmentation de la couverture par les formes de plus en plus petites, au détriment de l'espacement entre ces mêmes formes.

Les formes couvrantes tendraient donc à couvrir de plus en plus la surface, alors que les interstices entre les formes irait-elles en s'amenuisant ; condition pour que le la somme de la surface des petites formes tendent vers la couverture de la surface entière et la rende calculable.

Recouvrement d'une surface par des cercles

Dans le schéma ci-dessous, j'ai dessiné deux agencements réguliers possibles de cercles sur une surface.



Le premier agencement est un agencement 3 par 3, l'agencement le plus naturel si l'on considère sa correspondance volumique sous formes de billes physiques sphériques. Le second est un agencement 4 par 4.

Dans les deux cas, on peut isoler une forme de base ou un motif, toujours le même, qui se juxtapose à ses voisins, sans laisser d'interstice.

Dans le cas de l'agencement 4 par 4, il s'agit d'un carré, et dans le cas de l'agencement 3 par 3 d'un hexagone.
L'espacement laissé par un type ou l'autre d'agencement de cercles, est la différence entre le motif qui s'ajuste exactement à ses voisins, et la surface du cercle qui y est contenu.

On peut alors effectivement calculer un rapport toujours le même entre la surface du cercle, et l'espacement non couvert. Ou ce qui revient au même, entre la surface couverte exactement par le motif juxtaposable, et la surface du cercle.

Quelques remarques

L'intégration étant une méthode globale et conceptuellement itérative, la méthode est d'utiliser un même motif qui par l'entremise de la multiplication peut donner lieu à un calcul.

Dans ces circonstances, si l'on souhaite approcher une surface par intégration, on choisira de préférence un motif juxtaposable avec ses voisins, de manière à couvrir exactement les surfaces centrales, qui ne posent pas de problème de positionnement des motifs, au contraire des bords de la surface à intégrer.

Même dans l'intégration par des rectangles, telle que je l'ai décrite dans la première partie, il n'est pas question de la disparition de l'espacement, puisque cet espacement, situé exclusivement au dessus des « escaliers » dans ce cas, ne sera jamais comblé.

Par contre, ce qui est important dans ce cas, c'est de voir que cet espacement au dessus des escaliers,  va effectivement tendre vers 0, au détriment inévitable de la surface couverte exactement en dessous des escaliers.

Intégration avec un motif non juxtaposable.

Même si la forme de base calculable choisie pour l'intégration n'est pas juxtaposable avec ses voisines, il faut tout de même que sa répétition sur la surface soit régulière, c'est une condition pour le calcul intégral.

Dans cet agencement régulier, on pourra donc faire ressortir un motif, comprenant à la fois la forme de couverture et un certain espacement, et qui sera juxtaposable avec ses voisins.

Dans le cas des cercles agencés 3 par 3, ce motif est un hexagone.

Il va de soit que voir dans un motif juxtaposable, une partie qui serait de l'espacement et une autre de la couverture, est une distinction qui n'a pas d'influence sur le processus d'intégration, sinon en terme de rapport de surface au sein de ce motif.

Il n'y a alors pas de différence de méthode entre intégrer la surface avec le motif juxtaposable relevé dans l'agencement régulier de la forme de base calculable choisie non juxtaposable, ou avec cette forme de base.

En définitive, l'espacement considéré comme tel au sein du motif juxtaposable, ne diminue pas au détriment de la surface de couverture considérée comme telle au sein de ce même motif juxtaposable.

Il n'y pas d'espacement qui s'effacerait naturellement au détriment d'une surface de couverture.

Le seul endroit où se phénomène se produit, et où donc l'espacement diminue pour céder la place à du remplissage, c'est aux alentours des contours de la surface globale à intégrer, là où peuvent se glisser des motifs où l'on ne pouvait en insérer précédemment avec des motifs plus grand.





Au fur et à mesure que l'on fait diminuer la taille du motif, on va pouvoir en insérer aux abords des contours, et couvrir plus finement ces abords ; là se situe l'espacement qui tend vers 0 pour des valeurs très grandes du nombre de motifs utilisés, qui ont par ailleurs une surface très petite.

La tendance de couverture d'un motif non juxtaposable.

Si l'on considère la partie couvrante du motif juxtaposable, et qui correspond à la forme de base choisie et non juxtaposable, cette part couvrante est égale au rapport entre la surface de la forme couvrante et du motif juxtaposable complet.

Dans le cas d'un agencement régulier de cercles 3 par 3 avec un hexagone comme motif juxtaposable, cela donne un rapport de « Racine(3)*Pi/6 ».

La tendance d'une intégration d'une surface couverte par des cercles avec cet agencement, convergera donc vers « Racine(3)*Pi/6 » du total de la surface intégrée.

L'espacement entre les cercles ne disparaît pas.

A l'inverse, si l'on choisi un motif juxtaposable avec ses voisins, par exemple un hexagone, avec lequel ont intègre une surface, l'intégration ne remettra pas en cause l'agencement des hexagones, qui n'égalera jamais strictement la forme approchée.

On peut cependant pratiquer des évidements ou des trous dans les motifs ainsi juxtaposés, et dans l'exemple d'un hexagone, enlever une parti de chaque motif pour retomber sur un agencement de cercles 3 par 3.

La surface intégrée avec les hexagones tendait alors vers la surface exacte, et si l'on considère maintenant l'agencement des hexagones qu'on a évidé pour obtenir un agencement de cercles 3 par 3, elle tend donc maintenant vers « Racine(3)*Pi/6 » de la surface réelle.