Un contour infini dans une surface finie

[Leonhard]

Vous connaissez bien le flocon de Koch. Il s'agit d'une fractale obtenue par le procédé suivant, poursuivi à l'infini :



Il est bien connu mathématiquement que le contour de cette figure est de longueur infinie, alors que son aire est finie. (La longueur du contour augmente d'un tiers à chaque étape, donc elle tend vers l'infini, cf. cette page).

Cela signifie donc que si l'on a une piscine ayant cette forme, alors il est possible de remplir la piscine avec un volume fini d'eau. Par contre, il nous faudrait une quantité infinie de peinture pour peindre sa paroi latérale.



Est-ce acceptable comme résultat ?

[neopilina]

Cela signifie donc que si l'on a une piscine ayant cette forme, alors il est possible de remplir la piscine avec un volume fini d'eau. Par contre, il nous faudrait une quantité infinie de peinture pour peindre sa paroi latérale.



Est-ce acceptable comme résultat ?

Rhooo, même moi, je peux répondre !! Déjà qu'on ne peut pas stricto-sensu tracer un cercle, alors construire ta piscine ...

(je n'oublie pas ta réaction dans la fil sur la dichotomie à propos de réel continu / sensations, discours, etc., discrets : j'y pense. Moi-même j'ai vu que mon message n'était pas aussi abouti que je le voulais)

[Magni]

Nous sommes dans un monde mathématique et nous n'avons pas peur de l'infini, ou même des infinis.
La proposition est acceptable.

Disons que la longueur de périmètre est 1 m au départ, la hauteur est 1 m et n'évolue pas.
La fractale est une division algébrique à l'infini.
On multiplie la longueur du périmètre par (1+1/3) une infinité de fois.

La longueur totale est (1 m x Aleph0), ça fait Aleph0 m
La surface est (1m x Aleph0 m), ça fait (Aleph0 m2)

Je décide que l'épaisseur de la peinture est 1/Aleph1 m

Donc le volume de la peinture est ((1/Aleph1) m x Aleph0 m2)
Cela fait (Aleph0/Aleph1 m3); soit exactement :zéro m3


Avec une quantité volumique nulle tu peux peindre une surface infinie avec une épaisseur nulle.

[Leonhard]

Déjà qu'on ne peut pas stricto-sensu tracer un cercle, alors construire ta piscine ...

C'est sûr. Mais la question est théorique :

Si l'espace est continu, alors une telle piscine est théoriquement possible. Et cette piscine pourrait être remplie par un volume fini d'eau, alors qu'il faudrait une quantité infinie de peinture pour peindre sa paroi.

Est-ce acceptable ? Peut-on admettre que l'espace est continu si ça rend possible des choses comme ça ?

[Magni]

On doit peindre la surface, pas le volume.

Si la couche de peinture à l'épaisseur d'un singleton dans le continu, la peinture à une épaisseur qui est quelque chose et pas rien.



Quel est le volume d'une surface en deux dimensions ?

On prend un plan euclidien de la couleur qu'on veut, on l'étale et ça fait l'affaire.
Je propose du bleu saphir, RAL5003.

on ne peut pas stricto-sensu tracer un cercle

Géométriquement on peut tracer un cercle parfait, mais on ne peut pas avoir toutes les informations contenues dans un cercle parfait.

Le cercle parfait a un périmètre parfait qu'on ne peut pas mesurer de façon absolue.

[Leonhard]

Je vais même préciser le paradoxe :

On peut remplir la piscine avec un quantité finie de peinture, mais on aurait besoin d'une quantité infinie de cette même peinture pour peindre la paroi de cette piscine...

[hks]

Remarque bien qu'une fois remplie d'une "quantité finie"
il n'y a qu'à la vider de cette quantité finie pour qu'elle soit peinte.

[Leonhard]

Remarque bien qu'une fois remplie d'une "quantité finie"
il n'y a qu'à la vider de cette quantité finie pour qu'elle soit peinte.

Là est le paradoxe :)

[Magni]

On compare une surface avec un volume.
Par exemple, la surface de la France fait combien de kilomètre cube ?

La France fait 643 000 km2 en surface, et sa surface fait 0 km3
Trouvons autre chose.



Les paradoxes j'aime, mais la plupart de ceux que je connais sont connus de tous ceux qui connaissent tous les paradoxes connus. Donc ...




Le coup de la fractale en deux dimensions repliées (comme une corde de la théorie des cordes) qui ne rempli aucun volume à l'intérieur (mais qui occupe de la place vu de l'extérieur), c'est comme une histoire de Zénon, c'est un truc à tiroir a propos de la dichotomie.





On compare :

1/ Une espace métrique qui est une surface infinie composée d'une quantité dénombrable de mesures unitaires (cet espace a été créé en multipliant une longueur mesurable une quantité de fois qui vaut "seulement" le cardinal des nombres entiers).


Avec :

2/ Un volume fini rempli de surfaces finies qui s'empilent pour former un volume continu, et fini.







Donc aucun paradoxe,

j'ai autant de : surfaces finies dont le périmètre est la fractale de longueur infinie replié en boucle (comme dans la théorie de la gravitation quantique à boucle) sur un diamètre fini. Ce sont des surfaces finies, à peu prêt 1m2. j'appelle ces surface des "couches (de peinture - couleur RAL5003)".

Que de : points sur une longueur de segment fini en bijection avec les réels (sur une hauteur de 1m qui est celle de la fractale dans le sens de la hauteur).


Et donc, on fait quoi maintenant ?, c'est là qu'il faut avoir de l'astuce !
On prend la limite à l'envers et on renverse le paradoxe


Au lieu de : étaler la peinture dans tous les sens de la surface de la fractale
Il faut : mètre une ligne de peinture sur le pourtour de chaque "couche (de peinture)".








Pour une ligne de moins de trois millimètre de large, je peints 1m par jour (quand je suis à fond).

Le premier jour la fractale fais un mètre de long, c'est avant le premier allongement de 33%.

Je suis pas con, mais comme je suis mal organisé, je ne commence pas le premier jour (comme le boulet d'Achille qui laisse un peu d'avance à la tortue). Le deuxième jour je commence, avec mon pinceau de deux et mon p'tit pot d'peinture, je fais 1m, ça me prend 4 minutes (j'ai pas qu'ça à faire, ok ?),
La longueur de la fractale  fait 1.333333..... m, je fini pas, trop long.
Le lendemain je reviens, il me reste pas 0.33333...; ça à rallongé ! Ouate deux phoque ! ?

Bon, en fait je fais que les trois quart de ce qu'il y a à peindre, ça me parait adapté à la situation.
Hier j'ai fais 1 m sur 1.33333... m, trois tiers de mètre sur quatre tiers de mètre. Aujourd'hui je fais pareil, juste les 3/4 de ce qu'il reste.

Et là ça peut durer un moment quand même, et après, comme la fractale est maintenant infinie, alors elle est inanimée, immobile comme le moteur d'Aristote qui fait se mouvoir l'univers d'Aristote.
Enfin je dis ça, c'est pour dire que si la fractale est supposée être en mouvement, alors on doit continuer à peindre, mais si on parle d'un objet qui est seulement infini comme la liste des réels, alors c'est comme la borne des réels, c'est toujours au même endroit et ça ne bouge pas plus qu'un point adhérent au bord d'une limite (comparaison dichotomique ou pas ?).


Et après je passe à la deuxième "couche (de peinture)", et je refais une ligne sur tout le tour de la fractale, mais le tout en 4 minutes (j'ai pas qu'ça à faire, ok ?).
Et une fois que tout est fait, que j'ai passé un nombre de jour indénombrable à faire ça au lieu de me rendre utile dans une station orbitale ou à décarboner le volume dans lequel on respire, et bien tout est peint et on n'a pas rempli le volume.

La couche de peinture fais moins de trois millimètre d'épaisseur et c'est comme si la fractale était 3 mm plus prêts du milieu, comme si elle avait 15mm de longueur en moins sur le triangle initial. Il reste du volume pour mettre de l'eau et en faire une piscine.

[hks]

C'est sûr. Mais la question est théorique :Si l'espace est continu, alors une telle piscine est théoriquement possible.

Je ne sais pas par quel bout te prendre  

Tout ce que tu avances ( le segment, Zenon et le  flocon...  tout cela est mathématiquement démontré.
A tout le moins jusqu'à une autre démonstration qui dans l'avenir te contredirait  (si c'est possible).

Il y a bien des postulats ou axiomes (c'est comme tu veux pour le mot ) au départ  des raisonnements mathématiques .
Ne serait ce  que "le point". Je passe  sur le principe logique d' identité à soi ( A=A)
Ce corpus mathématiques est mis en relation ou importé dans le monde de  la perception ordinaire  de la nature (et, antérieurement même au monde de  la perception, importé dans le monde plus global du ressenti ou du sentir du monde ).

Tu dis  si l'espace est ... et là il y a un grave problème .
parce que l'espace est . .. ; il "est "selon le domaine  où il est compris (intelligé). Il n'est pas intelligible en soi mais selon le domaine d'intellection.

Les concepts mathématiques sont dérivés  /extraits / aménagés  à partir de concepts produits par l'expérience ordinaire .
Ils rompent avec l'ambiguïté/ le flou certes/  l'imprécision, l'ineffable peut -être, et il génèrent alors une certaine sécurité intellectuelle (psychologique).
On aurait pu espérer qu'ils ne génèrent plus aucune difficulté psychologique telle que celle de paradoxes . mais apparemment ce n'est pas le cas .
Pire, là où le sens commun ne voit pas de difficultés  les mathématiques en introduisent .
ESt-ce qu'on y a gagné ?
Entre s'en tenir au sens commun et d' autre part approfondir une science  qui rompant avec lui  introduit de l'incompréhensible là où il y en avait déjà suffisamment ?

A supposer que la perception ou le ressenti ordinaire (expérience spontanée du monde si l'on veut... ou en première conscience ) est  certes problématique ...
ne peut- on pas  se demander si l'expérience abstraite des mathématiques ne l'est pas encore plus .

Je parle du sens commun comme  de l'expérience réflexive consciente  précritique et antérieure à toute science ... disons ce qui se donne phénoménologiquement à voir et ressentir :
Les données immédiates de la conscience  dirait Bergson.
...
On discute encore ( on discutait autrefois ) des preuves de existence de Dieu  et on parlait  bien de preuves.
Mais discute-t- on des preuves de l'existence des mathématiques ?
Ce serait dommage de ne pas en discuter parce que je vois que mentalement  il y a analogie dans la question de la preuve .



[/b]

[Vanleers]

Je rappelle ce qui a déjà été vu ailleurs, qu’en ce qui concerne les nombres réels, il est possible de construire une bijection entre les points situés à l’intérieur d’un carré de dimensions finies et une droite infinie.
A chaque point « peinture » situé à l’intérieur de la piscine de dimensions finies, on peut faire correspondre un point « paroi à peindre » de son contour de longueur infinie.
En remplissant la piscine de « peinture », il y en aura donc assez pour « peindre » le contour.

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