Re: Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[Magni]

Qu’est-ce que le lieu ?


Le principal mouvement est celui qui se fait selon le lieu : le transport.

Il y a six directions : haut, bas, gauche, droite, devant, derrière.

Mais qu’est-il ? Une masse corporelle ? C’est impossible, sinon deux corps se trouveraient au même endroit. Le paradoxe du lieu, c’est qu’il ne peut appartenir aux choses corporelles ni aux choses incorporelles, il a en effet une grandeur mais pas de corps.

Aristote affirme que l'espace n'est pas matériel, mais il affirme aussi qu'il n'est pas incorporel, c'est à dire que bien que non matériel, l'espace n'est pas métaphysique.
Cela n'entrave pas le mouvement parce que ce n'est pas métaphysique comme les nombres des pythagoriciens. Le même raisonnement est fait avec le temps, bien que le temps n'est pas matériel, il ne peut pas non plus être métaphysique, sinon la dichotomie s'appliquerait et tout mouvement serait impossible.

Avant que Leibniz résolve la dichotomie par l'analyse mathématique, Aristote avait déjà résolu les paradoxes de façon philosophique, en déclarant le temps et l'espace comme des ordres non métaphysiques, ce qui est une contradiction des prémisses de Zénon pour permettre le mouvement, ce qui est en accord avec l'observation.

Aristote trouve que la matière physique est en mouvement dans un temps et un espace non matériel et non métaphysique. Cela résout le problème de la dichotomie en bidouillant les prémisses. Il déplace la dichotomie. Il trouve un lieu général, qui est métaphysique, qui existe dans le même monde que les nombres rationnels, qui est parfait uniforme et infini, comme les rationnels. Et il fait une dichotomie entre le lieu général et le lieu local, ou peuvent trouver place les objets matériels en mouvement.
Le "lieu du lieu" sert à Aristote à créer un intermédiaire entre "le monde métaphysique parfait ou réside les nombres et le moteur immobile de l'univers qu'il appel Dieu" et "le lieu de l'objet matériel".

Il invente le temps non métaphysique et l'espace non métaphysique qui ne sont pas en dichotomie d'échelle avec les corps physiques faits de matière composée de quatre éléments amalgamés (Feu, Air, Eau et Terre.).
Devant le désastre qui se répandait dans le sillage de Zénon, Aristote fut le messie de tous les logiciens parmi lesquels les géomètres n'étaient pas les moins soulagés. Zénon est resté la référence des problèmes complexes et Aristote est resté la référence de la solution logique.

Aristote respecte les traditions en nommant Dieu ce qui est parfait, et il pose les bases de ce que sera la compréhension du monde jusqu'à XVIIIème siècle : Temps, espace et matière dans le même univers physique, et les nombres et les proportions dans une dimension métaphysique parfaite qui dirige le monde.

Einstein a un peu secoué cet assemblage car il a explosé la prémisse du lieu général, qui avait prit le nom d'Éther au cours des millénaires, l'hypothèse de l'Éther est inutile pour le calcul relativiste.
A sa façon, la théorie de la relativité est aussi une solution des paradoxes de Zénon.
Avec Einstein, le monde métaphysique existe toujours et il est encore parfait, mais il n'est plus le moteur du monde physique, il en est seulement le témoin.
A partir de là, puisqu'il faut qu'il n'y ait pas dichotomie pour que le mouvement soit permit, on ne garde que l'espace local et le temps local. Il n'y a plus rien de global, il n'y a qu'un assemblage de petits morceaux qui s'influencent les uns les autres et c'est la quantité de matière qui dirige les proportions d'espace et de temps.

[Leonhard]

En conclusion, je continu d'affirmer que les réels sont un ensemble continu et totalement ordonné, les nombres se succèdent un par un et se touchent deux par deux.

Et tu es incapable de donner un exemple de deux tels nombres qui se touchent, puisque mathématiquement parlant, en analyse, on pourra toujours te réfuter.

Pour ton information, voici un document de cours avec la liste des axiomes de la théorie des nombres réels. Une seule relation d'ordre y est définie, et c'est celle qui vaut pour toute l'analyse, c'est-à-dire pour toutes les notions de suite, de limite, de convergence, de série, etc. Autrement dit, la seule relation d'ordre qui existe en analyse, c'est celle que tu appelles "algébrique" et pour laquelle un réel n'a pas de voisin direct. Il n'y a pas de relation d'ordre "analytique" ou "topologique" sur la droite réelle autre que cette relation "algébrique". En bref, c'est juste la relation d'ordre des réels, sans qualificatif particulier. À toi de voir jusqu'à quel tu te contenteras de tes propres fabulations.

[quid]

En conclusion, je continu d'affirmer que les réels sont un ensemble continu et totalement ordonné, les nombres se succèdent un par un et se touchent deux par deux.

Je ne comprends pas expressément ta démonstration, mais je te suis bien sur la conclusion. Peut-être que la plus simple monstration est la notation sous forme d'intervalles que tu as présenté plus haut.

Effectivement un segment de droite a un début et une fin. Il y a donc numériquement un nombre réel qui correspond au début du segment et un autre qui correspond à la fin, tous deux inclus dans le segment.

Soit [AB] le segment commençant au point A et finissant au point B. Si "a" est le nombre correspondant au début et "b" celui correspondant à la fin, l'ensemble des nombres réels représentés par le segment est alors l'intervalle de nombres [a,b] (les crochets fermés autour de a et de b indiquent que a et b font partie de l'intervalle). Si le segment n'a pas une longueur nulle ({A <> B} {A différent de B}) , on a alors {a < b} {"a" strictement inférieur à "b"}.

Soit C un point (position) quelconque du segment. C est identifiable par un nombre réel "c". Normalement, la longueur du segment [AB] est (b-a), celle du segment [AC] est (c-a) et celle du segment [CB] est (b-c). On a donc bien longueur de [AB] = longueur de [AC] + longueur de [CB] {(b-a) = (c-a) + (b-c)}. Algébriquement parlant, çà se tient.

Séparons (coupons) le segment [AB] en C. On obtient deux segments distincts : [AC] et [CB], chacun avec un début et une fin représentable par un intervalle de nombres. [a,c] et [c,b].

Problème, le nombre "c" est représenté deux fois, il appartient (il est inclus) à la fois dans les deux intervalles.
Normalement l'ensemble des nombres réels entre a et b, [a,b] est égal à l'union des intervalles [a,c[ et [c,b]  { [a,c[ U [c,b] }, ou a celui de [a,c] et de ]c,b] ou encore à {[a,c[ U [c,c] U ]c,b]}. (le crochet ouvert signifie que le nombre à l'extrémité de l'intervalle n'appartient à l'intervalle).

En fait quand on coupe le segment en C, que représente C ? C'est une césure, certes, mais c'est aussi un point ou passe le nombre réel qui identifie la position C ? Va-t-il dans le segment [AC] ou dans le segment [CB] ?

L'intervalle [a,c] représentant l'ensemble des nombres réels allant de "a" à "c", ce sont les nombre réel "x" tel que {a <= x <= c} (inférieur ou égal).
L'intervalle [a,c[ représente lui l'ensemble des nombres réels "x" allant de "a" à "c" tel que {a <= x < c}. Ici le nombre "c"  n'appartient pas à l'intervalle.

L'ensemble des nombres allant de "a" à "b", [a,b] représentant le segment [AB] c'est l'union des nombres "x" et "y" tels que {a <= x < c} et {c <= y <= b} {[a,c[ U [c,b]).
Le nombre "c" appartient soit au premier intervalle, soit au second, mais pas aux deux.

Cependant dans le cas où {a <= x < c}, le segment [AC] a bien deux extrémités et à donc un nombre qui correspond à son extrémité de fin. Il a une borne numérique supérieure qui n'est cependant pas "c" lui-même.
Il y a donc bien un nombre " c' " unique (c prime) tel que {c' < c} avec " c' " étant le plus grand nombre "x" tel que {x < c}.

Soit cela est le cas, soit la similitude entre une ligne continue géométrique et les nombres réels s'arrête là. Car le segment [AC] est bien fini en C.

[Leonhard]

Cependant dans le cas où {a <= x < c}, le segment [AC] a bien deux extrémités et à donc un nombre qui correspond à son extrémité de fin. Il a une borne numérique supérieure qui n'est cependant pas "c" lui-même.
Il y a donc bien un nombre " c' " unique (c prime) tel que {c' < c} avec " c' " étant le plus grand nombre "x" tel que {x < c}.

Pourtant, la moyenne entre c' et c, à savoir le nombre (c'+c)/2, est strictement entre c' et c, ce qui contredit le fait que c' était censé être le plus grand nombre x tel que x<c.

Donc aucun nombre réel ne peut être "le plus grand des x tels que x<c".

[neopilina]

Je souligne :

Y a-t-il un extrait où l'auteur dit explicitement ce qu'il entend par "langage discontinu" ? Ou bien peux-tu l'expliquer par tes propres mots ?

Vu mon niveau (" quel niveau,     ? ") en mathématiques, en logique formelle, en physique, etc., etc., cette fois je devrais m'en sortir.

Toi même tu dis, relève :

Attention, rien qu'à l'usage du qualificatif "discontinu", on voit déjà que le mot n'a pas le même sens qu'en mathématique (où il ne sert pas à qualifier un langage, mais un ensemble de nombres).

... le langage discontinu, qu'il admette des unités de grandeur finies ou infinies, ou même une combinaison de ces deux genres d'unités

Ce passage ne dit absolument pas ce qu'est le "langage discontinu" !

Je prends ! Pourquoi est-ce que je privilégie la lecture de Zafiropulo (toi-même ci-dessus tu y viens) ? Parce qu'il cumule un nombre impressionnant de compétences, d'expertises, il voit, il comprend, grâce à toutes celles-ci, que le discours (cas particulier des 4 paradoxes et cas général du tout, cet ensemble plus les 4 fragments qu'on a de lui) de Zénon ne rentre pas dans les " boites ", de surcroît postérieures, des mathématiques, de la logique formelle, de la physique, et que le tout (paradoxes et fragments) s'inscrit dans des problématiques radicales qui sont toujours d'actualité. Zafiropulo a compris ce que c'est qu'un éléate, il entend très bien Parménide et consorts en tant que tels, et il a compris que Zénon est un dialecticien, pas un sophiste, etc., Platon et Aristote, excusez du peu, nous disent qu'il est l'inventeur de la dialectique. Je ne sais pas par quoi commencer, je vais essayer de montrer qu'on a plusieurs sérieux problèmes de poupées russes. J'ai l'embarras du choix ! Allez, j'y vais comme ça. Prenons l'article communiqué par Vanleers, " Pourquoi les paradoxes de Zénon ne remettent pas en question le mouvement mais plutôt l’immobilité " par Mael Bathfield. Je lis l'article, je regarde la bibliographie, Zafiropulo n'y est pas, ça me chagrine (désolé !). Vraiment : à plusieurs reprises Bathfield rejoint la lecture de Zafiropulo, je le relève, cite, et hks, de même. Le problème des définitions (une poupée russe aussi) est éternel, c'est toujours de tout temps, in fine affaire de consensus, toujours historiquement mouvant, cas général, la grosse poupée. Je passe à la petite. Zafiropulo est, entre autres helléniste et philologue : quand il cite un texte grec, c'est sa traduction qu'il donne, et si par hasard, il est question d'un passage qui pose traditionnellement, philologiquement, un problème de traduction, il motive ses choix. Même si on s'en tient uniquement au V° siècle avant Jésus-Christ, selon le contexte (philosophique ou autre), plusieurs choix de traduction sont possibles.
Zafiropulo, dans sa monographie sur les éléates, " L'école éléate ", aux " Belles Lettres ", 1950, traite le cas particulier des paradoxes de Zénon en ayant compris qu'ils s'inscrivent dans le cas général : ainsi, selon moi, il en livre la meilleure lecture que je connaisse. Dans " Vox Zenonis ", il repasse par Zénon (l'ouvrage lui-même via le titre lui rend hommage, il faut y penser). Dans cet ouvrage, on a un abrégé de l'histoire de la science, de l'épistémologie : d'abord une vision, un horizon, un paradigme, épistémologiques puis une objection qui remet en cause les premiers, et ainsi de suite. Et donc il ne termine pas avec la relativité générale, mais bien avec Kurt Gödel, les conséquences philosophiques des théorèmes d'incomplétude, je résume en substance ce que pense Zafiropulo, et j'en pensais de même avant ma lecture de celui-ci : avec Gödel, en quelque sorte,  " Zénon " réactualise à l'aune des progrès réalisés depuis, étapes documentées, commentées, dans cet ouvrage, son propos, in fine, le cadre et les problèmes généraux et induits. Où s'inscrivaient déjà le discours de Zénon, reformulés par Gödel et à sa façon donc, et qui donc valent toujours. Dans sa conclusion Zafiropulo rêve, songe, spécule, sur la prochaine étape, la prochaine " objection ", qui fracassera l'horizon, le paradigme, actuels de la connaissance (qui bien sûr n'a pas changé depuis " Vox Zenonis ", 1958) pour le suivant. Comment dire ? Nous (c'est à dire toi, moi, nos chats, et consort, en un mot la vie), nous accommodons d'un réel supposé continu (et la relativité générale a lourdement fait pencher la balance dans ce sens) via des perceptions, une façon de percevoir, et de penser pour l'homme, qui reste fondamentalement discrète (et " peut-être " que c'est le mieux, pour au moins, dans un premier temps, vivre sa vie d'oiseau ou de mammifère) : tous les discours sont discontinus, par nature. Ils posent des symboles, des mots, qui ont un sens (l'éléate, dialecticien, parlera d'Etants uns et Uns). Déjà cité deux fois, je souligne encore la même chose :

La conclusion à tirer de ces quatre arguments s'impose : le langage discontinu, qu'il admette des unités de grandeur finies ou infinies, ou même une combinaison de ces deux genres d'unités, ne peut jamais exprimer le mouvement et doit donc être rejeté comme moyen de description de notre expérience. Il nous faut d'autres définitions et d'autres hypothèses pour serrer la réalité de près [en marge de ce passage j'ai écrit : " Le pythagorisme est mort "]. Zénon tirait-il de sa démonstration, concluant que la seule possibilité consistait à admettre objectivement la continuité tandis que la discontinuité nécessaire à nos raisonnements appartiendrait à l'observateur, non à l'objet observé ?

Oublions, on en a le droit aujourd'hui, grâce aux progrès des mathématiques, de la physique, de la cinématique, etc., le cas particulier de l'ensemble que forme les quatre paradoxes, il est obsolète, tout à fait, je suis complétement d'accord. Nous savons décrire de façon très satisfaisante le mouvement (on a des missiles de moyenne portée à la précision décimétrique, etc.). Mais du point de vue général, où il s'inscrit également parfaitement, peut-on en dire autant : non. Zafiropulo le montre un peu, juste ce qu'il faut, dans " L'école éléate ", mais dans " Vox Zenonis ", il passe au cas général en soi. Alors comment nos sensations d'être vivant pour commencer, comment notre connaissance d'être humain formalisée en discours (Logos) et donc discrets (symboles mathématiques, logiques, verbalisations, mots donc, définis, de telles ou telles disciplines) font-ils pour coller un tant soit peu à un réel continu, disant cela je paraphrase Zénon, Gödel, et sans doute d'autres. Traduit philosophiquement, Gödel nous dit qu'il y aura toujours un espace, une distance, entre le réel continu et moi (et au moins dans la mesure où je suis un être vivant, relativement et significativement autonome, il y a effectivement là quelque chose d'irréductible), la connaissance du réel, la physique, les mathématiques (le cas que démontre Gödel). J'ai déjà à plusieurs reprises évoqué l'hypothèse de la nécessité d'un cogito pour la vie, le fait même d'être un être vivant. J'illustre le propos. La science, jusqu'à nouvel ordre dit " réel continu ", choses, alors que pour celui-ci, la philosophie occidentale dit ou a dit (il y a des philosophes, des philosophies, occidentaux, qui n'en usent plus, pas) " être ". Plus prudent, ça serait le dit cogito, je dis " Être " et " Etants ", i.e. produits par un être vivant, voire un Sujet, philosophiquement dit, et alors, de suite, on ajoute le cogito classique, la Conscience de Soi, les Etants en question, c'est les Miens. Précédemment, j'ai souligné " comment ". Je postule, fais mienne, classiquement, depuis très longtemps, une analogie fondamentale, formulée par Parménide, notamment dans le fragment trois du poème (mais aussi dans le huit) : " la pensée aussi c'est d'abord de l'être ", et donc la connaissance est ainsi possible. Mais depuis Parménide, Zénon, de l'eau a coulé sous les ponts !! Si Parménide pour le réel continu dit " être ", c'est en fait, cogito, parce qu'il est un être vivant, un Sujet. Il y a d'abord le réel continu, notre univers physique (on n'en connaît pas d'autres, mais la prudence est un principe) puis l'Être, les Etants, produits par des êtres vivants, dans cet ordre là donc. Donc il faut creuser, revoir sa copie, à propos de cet analogie fondamentale à l'aune des progrès effectués depuis. Je la vois comme ça : l'analogie entre le réel continu et l'Être, qui permet de vivre et de savoir, c'est celle qu'il y a entre le caractère continu du réel et le fait que l'Être produit par un être vivant, un Sujet, c'est l'infini ontologique et potentiel. Et alors " petit souci " : le caractère discret des sensations et des discours rompt ce lien entre le caractère continu du réel et le caractère potentiellement infini de l'Être. En fait ce lien n'est pas rompu parce que, comme suggéré par le propos à caractère général de Zénon qu'il nous reste, les fragments, non seulement il y a une version ressentie, intelligible, pensée, de la chose, de l'étant, qui est l'Etant, mais plus précisément encore, tout Etant, et c'est ainsi que le dit lien est conservé, qui est par nature, pour pouvoir être, un et Un, et donc discret, n'en contient pas moins potentiellement l'infini. Si je prends mon champ de vision à cet instant, il est potentiellement infiniment décomposable, d'une foule de façons, c'est comme ça qu'on vit, grâce à cette potentialité, que l'être vivant, le Sujet, va utiliser pour vivre sa vie. Pour le Sujet en tant que tel, qui produit de l'Être, l'infini ontologique et potentiel, et des Etants discrets, l'infini contenu potentiellement par ceux-ci, peut " infiniment " (tant qu'il est vivant) " circuler ", il y a du possible, potentiellement une infinité de possibilités, entre le caractère continu du réel et lui, producteur d'Être, l'infini ontologique et potentiel, qui s'actualise à tout instant en Etants (les Miens), uns et Uns, discrets, et qui pourtant contiennent eux-aussi potentiellement l'infini, ce qui renvoie au caractère continu du réel (la boucle est volontaire). C'est ainsi le plus radicalement qui soit, possible, selon moi, en toute prudence, en tant qu'éléate, etc., tout à fait, que l'on peut vivre et savoir.

[Leonhard]

Cependant dans le cas où {a <= x < c}, le segment [AC] a bien deux extrémités et à donc un nombre qui correspond à son extrémité de fin. Il a une borne numérique supérieure qui n'est cependant pas "c" lui-même.
Il y a donc bien un nombre " c' " unique (c prime) tel que {c' < c} avec " c' " étant le plus grand nombre "x" tel que {x < c}.

Voici une expérience de pensée sous forme d'animation.



Le point P se déplace sur la courbe noire vers la gauche, sans limite de temps. Sur le sol, son ombre laisse une trace notée X, qui correspond à un nombre réel entre 0 et 5. L'intervalle en rose contient tous les points de passage de X.

Le nombre 0 finira-t-il par être marqué en rose ?
Non, puisque le point P ne touche jamais la droite verticale au-dessus de 0.

Quel est l'intervalle de toutes les nombres réels par lesquels X va un jour passer ?
Il s'agit de l'intervalle ]0, 5].

Le point X va-t-il un jour cesser de se déplacer vers la gauche et être strictement immobile ?
Non, puisque P continue sans cesse son déplacement qui l'emmène sans cesse vers la gauche.

Ces trois observations montrent que l'intervalle ]0, 5] n'a pas de "dernier point à gauche". Autrement dit, il ne possède pas d'extrémité gauche.
Autrement dit encore, il n'y a pas de "premier nombre supérieur à 0".

[quid]

Cependant dans le cas où {a <= x < c}, le segment [AC] a bien deux extrémités et à donc un nombre qui correspond à son extrémité de fin. Il a une borne numérique supérieure qui n'est cependant pas "c" lui-même.
Il y a donc bien un nombre " c' " unique (c prime) tel que {c' < c} avec " c' " étant le plus grand nombre "x" tel que {x < c}.

...
Ces trois observations montrent que l'intervalle ]0, 5] n'a pas de "dernier point à gauche". Autrement dit, il ne possède pas d'extrémité gauche.
Autrement dit encore, il n'y a pas de "premier nombre supérieur à 0".

Je m'inspire de l'assertion bien construite de Bergame dans un autre fil :
Soit X ∈ ]0; c[  et  Y ∈ [c; +∞[ , ∀ c ≠ 0, quels que soient X et Y, X ≠ Y

De plus, ]0; c[ U [c; +∞[ = ]0; +∞[

X ∈ ]0; c[ se dit aussi {0 < X < c} et Y ∈ [c; +∞[ se dit aussi {c ≤ Y}

Quelque soit "c", l'ensemble des nombres réels strictement positifs ]0; +∞[ est l'ensemble des X et Y tels {0 < X < c ≤ Y}

Or si quelque soit "c" dans ℝ, {X < c} n'a pas de plus grand élément " c' " (c prime) et donc n'effectue jamais, comme dans la courbe que tu as présentée, de jonction avec "c", les nombres réels strictement positifs sont en tout point distincts et sont absolument discontinus. Or aucun nombre ne peut caractériser cette discontinuité, s'insérer dans les interstices de cette discrétion.

[Leonhard]

Or si quelque soit "c" dans ℝ, {X < c} n'a pas de plus grand élément " c' " (c prime) et donc n'effectue jamais, comme dans la courbe que tu as présentée, de jonction avec "c", les nombres réels strictement positifs sont en tout point distincts et sont absolument discontinus. Or aucun nombre ne peut caractériser cette discontinuité, s'insérer dans les interstices de cette discrétion.

Au contraire, c'est parce qu'il n'y a pas de plus grand élément dans ]0,c[ que cet intervalle peut se joindre continûment à [c,+∞[.

Car s'il y avait un élément maximal c' dans ]0,c[, ça voudrait précisément dire qu'il n'y a aucun nombre qui occupe l'espace entre c' et c. Et il y a toujours un espace entre c' et c, puisqu'on peut y intercaler leur moyenne (c'+c)/2 (puisque c' < c). C'est donc là qu'on aurait discontinuité.

[quid]

Au contraire, c'est parce qu'il n'y a pas de plus grand élément dans ]0,c[ que cet intervalle peut se joindre continûment à [c,+∞[.

Ben non puisque tu me dis aussi que :

Le nombre 0 finira-t-il par être marqué en rose ?
Non, puisque le point P ne touche jamais la droite verticale au-dessus de 0.

Si {0 < x} signifie que x ne touche jamais la droite verticale au-dessus de 0,
alors {x < c} signifie que x ne touche jamais la droite verticale issue de la position "c" en dessous de "c".

"ne touche jamais" implique une disjonction, ce que montre la courbe.

[Leonhard]

Au fond, comment peut-on "toucher" un point sans épaisseur, si ce n'est en étant carrément ce point ?

Si deux points sont sans épaisseur, comment peuvent-ils se toucher sans former un seul et même point ? C'est comme si, quand on a l'impression qu'ils se touchent, on pouvait toujours zoomer sur eux et voir, à nouveau, qu'ils étaient séparés.

Le verbe "toucher", qui est issu du langage courant et qui n'a qu'un sens intuitif, empirique, convient-il pour parler de la continuité des points d'une droite, sachant que ces points n'ont pas d'épaisseur ? Les mathématiques, elles, ont renoncé à ce genre de langage imagé pour adopter un langage permettant de se délivrer des apories du langage courant.

Autrement dit, peut-être bien que la propriété d'"être continu" est médiocrement décrite par des phrases comme "les points se touchent".

[Magni]

tu es incapable de donner un exemple de deux tels nombres qui se touchent

J'en suis capable, tu m'as fourni toi même le bon exemple.

________________________________________

Le dernier rouge touche le premier bleu.
Il y a un et un seul dernier rouge (le supremum des rouges), et il y a un et un seul premier bleu.
Ces deux points se touchent.





Regardez, c'est permis par l'axiome de la complétude.




Étudiez ce point de logique : un majorant n'est pas strictement supérieur à ses prédécesseurs, il peut être égal à ses prédécesseurs. L'égalité algébrique entre deux points n'empêche que ces points soit ordonnés.
Le supremum d'un segment fini est un point unique, et c'est le plus petit des majorants.

Le supremum d'un segment est un point unique qui est toujours strictement après tous les autres points du segment et toujours strictement avant tous les autres majorants du segment.

En mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique.

Supremum




Tout découle du fait qu'il n'y a pas seulement une unique relation d'ordre dans les réels.

S'il n'y a pas que des nombres algébriques dans les réels et si les réels sont ordonnés, il faut autre chose qu'une relation d'ordre algébrique pour ordonner tous les réels.

La notion de "plus petit majorant" est une relation d'ordre qui permet l'analyse de l'ordre des réels à la limite d'une borne.
Cette relation d'ordre topologique est différente de la relation d'ordre algébrique, un majorant peut être algébriquement égal à ses prédécesseurs (inférieur ou égal), mais il est toujours après ses prédécesseurs au niveau topologique.

C'est l'axiome de la complétude, avec sa définition du plus petit majorant, qui permet par corolaire de construire des bornes exclues ou inclues.

La borne incluse d'un segment est son supremum, ce point est unique.

Si la borne d'un segment est exclue du segment, le supremum du segment est le point unique immédiatement avant le point de borne.








Le fait que les réels soit un ensemble totalement ordonné ne fait pas que cet ensemble est dénombrable.

Si un segment a un supremum inclus et unique, on peut exclure ce supremum du segment et le segment a maintenant un nouveau supremum unique, qui est plus petit que le point précédent.
Mais ce point précédent est algébriquement égal à ce nouveau point, c'est un de ses adhérents algébrique, on peut recommencer indéfiniment et énumérer des réels les un après les autres dans l'ordre mais on ne peut pas dénombrer suffisamment de réels unitairement pour avoir autre chose que des adhérent algébriquement égaux entre eux.

On peut toujours dénombrer des réels les uns après les autres, mais cela ne rend pas les réels globalement dénombrables: la quantité de réel consécutifs nécessaires pour obtenir une longueur mesurable est indénombrable.

Il ne faut pas confondre "on peut dénombrer une partie des éléments" avec "on peut tout dénombrer".
Il ne faut pas confondre "on ne peut pas tout dénombrer" avec "on ne peut rien dénombrer".

On peut effectivement dénombrer des réels, je dénombre Pi et e, deux réels, mais je ne peux pas dénombrer tous les réels.


Adhérence

[Magni]

Si la borne majorant un segment est exclue du segment, le supremum du segment est le point unique immédiatement avant le point de borne.

Ici le supremum du segment et la borne du segment sont deux singletons différents et ordonnés qui se touchent.







soit le segment [0;1[

Le supremum du segment [0;1[ n'est pas 1, c'est un point unique qui touche le singleton 1.

[Leonhard]

tu es incapable de donner un exemple de deux tels nombres qui se touchent

J'en suis capable, tu m'as fourni toi même le bon exemple.

________________________________________

Le dernier rouge touche le premier bleu.

Je vois que le dernier pixel rouge touche le premier pixel bleu. Mais je ne vois pas que le dernier point mathématique rouge touche le premier point mathématique bleu.

Le supremum d'un segment fini est un point unique, et c'est le plus petit des majorants.

Le supremum d'un segment est un point unique qui est toujours strictement après tous les autres points du segment et toujours strictement avant tous les autres majorants du segment.

On est d'accord. Ce que tu ne comprends pas, c'est le fait que le supremum de l'intervalle [0, 1[, qui existe et qui vaut 1, n'est pas contenu dans ce même intervalle.

Il est écrit sur cette page que : "l'intervalle ]0, 1[ admet 0 comme borne inférieure et 1 comme borne supérieure [supremum]". Donc un intervalle qui est ouvert à droite admet un supremum mais ne le contient pas.

Tout découle du fait qu'il n'y a pas seulement une unique relation d'ordre dans les réels.

S'il n'y a pas que des nombres algébriques dans les réels et si les réels sont ordonnés, il faut autre chose qu'une relation d'ordre algébrique pour ordonner tous les réels.

Pourtant, dans le document des axiomes de l'analyse, on ne voit qu'une seule relation d'ordre et elle suffit à définir toutes les notions de l'analyse. Ton "autre" relation d'ordre est une fabulation.

La notion de "plus petit minorant" est une relation d'ordre qui permet l'analyse de l'ordre des réels à la limite d'une borne.

La définition du "plus petit minorant" ne contient que la relation d'ordre normale sur les réels. Il n'y a rien d'autre que celle-là.

un majorant peut être algébriquement égal à ses prédécesseurs (inférieur ou égal), mais il est toujours après ses prédécesseurs au niveau topologique.

Non. Un majorant d'un intervalle S est simplement soit après ses prédécesseurs dans S, soit sur le dernier des prédécesseurs dans S. C'est écrit dans la définition même : m≤m', ça signifie "plus petit ou égal", c.-à-d. que m' est après ou sur m. Sais-tu lire les définitions ?

[Magni]

Soit [AB] le segment commençant au point A et finissant au point B. Si "a" est le nombre correspondant au début et "b" celui correspondant à la fin, l'ensemble des nombres réels représentés par le segment est alors l'intervalle de nombres [a,b] (les crochets fermés autour de a et de b indiquent que a et b font partie de l'intervalle). Si le segment n'a pas une longueur nulle ({A <> B} {A différent de B}) , on a alors {a < b} {"a" strictement inférieur à "b"}.

Exact.

Soit C un point (position) quelconque du segment. C est identifiable par un nombre réel "c". Normalement, la longueur du segment [AB] est (b-a), celle du segment [AC] est (c-a) et celle du segment [CB] est (b-c). On a donc bien longueur de [AB] = longueur de [AC] + longueur de [CB] {(b-a) = (c-a) + (b-c)}. Algébriquement parlant, çà se tient.

Attention à la dichotomie : Additionner des nombres "usuels" c'est a dire algébriques, est dichotomique avec le fait d'additionner  des segments continus !

Ce qui est vrai au niveau algébrique n'est pas forcément significatif au niveau analytique (tu peux avoir une égalité algébrique pour tous les points adhérents, ce n'est pas significatif analytiquement, le point avant la borne est avant la borne, mais algébriquement, le point avant la borne et la borne sont le même nombre algébrique.)

éparons (coupons) le segment [AB] en C. On obtient deux segments distincts : [AC] et [CB], chacun avec un début et une fin représentable par un intervalle de nombres. [a,c] et [c,b].

Problème, le nombre "c" est représenté deux fois, il appartient (il est inclus) à la fois dans les deux intervalles.
Normalement l'ensemble des nombres réels entre a et b, [a,b] est égal à l'union des intervalles [a,c[ et [c,b]  { [a,c[ U [c,b] }, ou a celui de [a,c] et de ]c,b] ou encore à {[a,c[ U [c,c] U ]c,b]}. (le crochet ouvert signifie que le nombre à l'extrémité de l'intervalle n'appartient à l'intervalle).

Ici tu montres la dichotomie qui est une contradiction du fait qu'additionner les longueurs continues c'est comme additionner des nombres.




Si tu additionnes les segments, tu peux avoir deux points c.
L'addition des deux moitiés de segments bornes incluses donne le segment plus un point supplémentaire.

Dans le segment entier et continu, il n'y a qu'un point c, dans les deux morceaux de segment qui contiennent chacun une fois le point c, il y a deux points c.

Par contre si tu additionnes les deux moitiés d'intervalles algébriques, tu obtiens exactement l'intervalle entier avec rien de plus.

[Magni]

tu es incapable de donner un exemple de deux tels nombres qui se touchent

J'en suis capable, tu m'as fourni toi même le bon exemple.

________________________________________

Le dernier rouge touche le premier bleu.

Je vois que le dernier pixel rouge touche le premier pixel bleu. Mais je ne vois pas que le dernier point mathématique rouge touche le premier point mathématique bleu.

Le supremum est le dernier point faisant partie d'un segment.
Le minimum est le premier point faisant partie d'un segment.
Le point mathématiquement supremum du segment rouge touche le point mathématiquement minimum du segment bleu.

Le supremum d'un segment fini est un point unique, et c'est le plus petit des majorants.

Le supremum d'un segment est un point unique qui est toujours strictement après tous les autres points du segment et toujours strictement avant tous les autres majorants du segment.

On est d'accord. Ce que tu ne comprends pas, c'est le fait que le supremum de l'intervalle [0, 1[, qui existe et qui vaut 1, n'est pas contenu dans ce même intervalle.

Algébriquement le supremum vaut 1, mais il n'est pas le singleton 1.

Le supremum est par définition dans le segment.
Le borne excluse n'est pas dans le segment, le 1 qui est un singleton n'est pas dans le segment continu.

Cela ne fait pas que le supremum d'un segment peut être en dehors du segment, cela fait que le supremum de ce segment là n'est pas 1, mais le point immédiatement avant.

[Magni]

Tout découle du fait qu'il n'y a pas seulement une unique relation d'ordre dans les réels.

S'il n'y a pas que des nombres algébriques dans les réels et si les réels sont ordonnés, il faut autre chose qu'une relation d'ordre algébrique pour ordonner tous les réels.

Pourtant, dans le document des axiomes de l'analyse, on ne voit qu'une seule relation d'ordre et elle suffit à définir toutes les notions de l'analyse. Ton "autre" relation d'ordre est une fabulation.

Le notion de plus petit majorant est une relation d'ordre analytique.
Le plus petit majorant n'existe pas algébriquement.





Les majorants de 1 plus petit que 2 sont tous les points entre 1 et 2.
Tu peux indéfiniment couper l'intervalle entre 1 et 2 et tu auras toujours un résultat algébrique qui ne sera jamais le plus petit majorant de 1.
C'est Zénon qui nous l'a enseigné.

L'infini n'est pas algébrique, tu peux diviser 1 par n'importe quoi d'algébrique, tu n'auras pas zéro. Le plus petit existe, c'est zéro, mais tu ne l'auras jamais par division d'un entier.

C'est la dichotomie entre le rationnel et le continu.

[Magni]

La notion de "plus petit minorant" est une relation d'ordre qui permet l'analyse de l'ordre des réels à la limite d'une borne.

La définition du "plus petit minorant" ne contient que la relation d'ordre normale sur les réels. Il n'y a rien d'autre que celle-là.

Ton affirmation gratuite ne vaut que ce qu'elle coute : rien.

Ce n'est pas le "plus petit minorant", je me suis trompé, c'est le "plus petit majorant"

un majorant peut être algébriquement égal à ses prédécesseurs (inférieur ou égal), mais il est toujours après ses prédécesseurs au niveau topologique.

Non. Un majorant d'un intervalle S est simplement soit après ses prédécesseurs dans S, soit sur le dernier des prédécesseurs dans S. C'est écrit dans la définition même : m≤m', ça signifie "plus petit ou égal", c.-à-d. que m' est après ou sur m. Sais-tu lire les définitions ?

Oui je sais lire.

Une égalité algébrique est possible entre un nombre et son plus petit majorant. Mais ce n'est pas une égalité topologique dans le continu.

Dans le continu, un majorant est après ce dont il est le majorant, mais comme le plus petit majorant réel touche ce dont il est le plus petit majorant, il y a égalité algébrique.

[Magni]

Cependant dans le cas où {a <= x < c}, le segment [AC] a bien deux extrémités et à donc un nombre qui correspond à son extrémité de fin. Il a une borne numérique supérieure qui n'est cependant pas "c" lui-même.
Il y a donc bien un nombre " c' " unique (c prime) tel que {c' < c} avec " c' " étant le plus grand nombre "x" tel que {x < c}.

Voici une expérience de pensée sous forme d'animation.



Le point P se déplace sur la courbe noire vers la gauche, sans limite de temps. Sur le sol, son ombre laisse une trace notée X, qui correspond à un nombre réel entre 0 et 5. L'intervalle en rose contient tous les points de passage de X.

Le nombre 0 finira-t-il par être marqué en rose ?
Non, puisque le point P ne touche jamais la droite verticale au-dessus de 0.

Quel est l'intervalle de toutes les nombres réels par lesquels X va un jour passer ?
Il s'agit de l'intervalle ]0, 5].

Le point X va-t-il un jour cesser de se déplacer vers la gauche et être strictement immobile ?
Non, puisque P continue sans cesse son déplacement qui l'emmène sans cesse vers la gauche.

Ces trois observations montrent que l'intervalle ]0, 5] n'a pas de "dernier point à gauche". Autrement dit, il ne possède pas d'extrémité gauche.
Autrement dit encore, il n'y a pas de "premier nombre supérieur à 0".

Évidemment, si tu dis que zéro ne fait pas parti du segment des x, il n'en fait pas parti. C'est analytique.
Tu as démontré la dichotomie. Bravo.



Algébriquement, le plus petit majorant de zéro est zéro.
Bien que tu as exclus la borne des x de ta fonction f(x)=y, la primitive de y à la limite en zéro exclu EST zéro.

Algébriquement, avec les nombres "usuels", borne exclue ou borne incluse, c'est pareil, c'est le même nombre algébrique et c'est dichotomique avec les segment continus, le point exclu le plus proche du segment et le point inclus le plus proche de la borne du segment (le supremum) ne sont pas le même point.

[Magni]

Soit le segment [0;1[

Le dernier point (supremum) du segment [0;1[ n'est pas 1, c'est un point unique qui touche le singleton 1.




Soit la fonction f(x)=y; telle que : f(x)=x      pour x allant de 0 à 1 exclus.
x n'est pas dans l'ensemble des x, pourtant, limite de f(x) en 1 = 1
Dichotomie






Autre exemple; celui là même de Zénon.


Soit la fonction f(x)=y; telle que f(x) = 1/x      pour x allant de +1 à +l'infini exclus.
L'infini n'est pas un réel, on ne peut pas l'inclure dans les x.

La limite à l'infini n'est pas l'infini.
Limite de f(x) à l'infini = 0
Pourtant, si tu divise 1 par n'importe quoi d'algébrique qui n'est pas l'infini, tu n'as pas vraiment zéro ! Dichotomie !

Il y a dichotomie entre l'algébrique et le continu, et cela ne prouve pas que le continu n'existe pas, ça prouve que les rationnels ne suffisent pas à énumérer tous les réels pour que l'ensemble des réels soit un ensemble continu.

[Leonhard]

Et alors " petit souci " : le caractère discret des sensations et des discours rompt ce lien entre le caractère continu du réel et le caractère potentiellement infini de l'Être.

Donc si j'ai bien compris, la thèse de Zafiropulo est que : un langage qui, par nature, est discret car constitué d'un nombre dénombrable voire fini de symboles, de mots, etc., est par principe incapable de parler correctement du réel qui, lui, serait continu.

Je vois deux failles fatales à cette thèse.

1. Un mot doit-il être rouge pour désigner correctement la couleur rouge ?
   Un mot doit-il contenir beaucoup de lettres pour désigner correctement quelque chose de grand ?
   Le mot "thym" doit-il sentir le thym pour le désigner correctement ?
   Un langage doit-il être continu dans sa forme syntaxique pour pouvoir parler correctement de quelque chose de continu ?
   Bref, la forme d'un discours doit-elle correspondre à son fond ?
   
   La réponse est non. La nature même d'un langage est qu'il possède une composante syntaxique et une composante sémantique indépendantes l'une de l'autre. La relation entre un mot et ce qu'il désigne ne réside pas dans le mot, et a fortiori pas dans sa forme; cette relation est opérée par le locuteur dans son esprit. Je trouve donc cette conclusion, finalement, assez simpliste.
   
   
2. On peut défendre que notre perception sensorielle du monde est discrète par nature. Tu l'admets dans le passage cité. Je n'ai jamais vu de ligne continue (ni infinie), seulement des traits de crayons irréguliers et granuleux sur un morceau de papier. Mais alors, qu'est-ce qui permet d'affirmer que le monde est continu (ou infini) ? Si mes sensations du monde sont toutes discrètes, d'où me viendrait l'idée que le monde, lui, serait continu ?
   
   Tout porte à croire que l'idée même de continuité vient d'abord de notre esprit. C'est nous qui simplifions et idéalisons le monde afin de faciliter son appréhension intellectuelle, c'est nous qui projetons notre idée de continuité sur le monde. Et si l'idée de continuité vient de nous, il n'est pas étonnant que l'on puisse en parler avec notre propre langage.
   
   C'est exactement ce que font les maths. C'est le seul langage qui parle de façon rigoureusement approfondie de la continuité d'une simple ligne, et ce faisant, il ne parle pas de la réalité empirique, mais bien d'un concept pur. Les physiciens expérimentaux savent bien que les modèles mathématiques sont des simplifications idéalisées du monde, dans lesquels tout est continu et lisse, alors que la réalité est faite de rugosité, de finitude, d'approximations, d'anomalies.
   

[Magni]

J'ai inventé un nouveau nombre réel, c'est le moins zéro, et je ne suis pas qu'à moitié fier de ma performance !




Bien sur !
Et donc, moins zéro est le réel qui est à la limite de zéro, mais qui n'est pas zéro, en arrivant par le coté moins l'infini.

Et là, permettez moi de vous le dire, on est pas dans le cas usuel de la trichotomie ordinaire !
Je pense à Zénon, et je vous assure que je l'entend rigoler.










Savez vous faire une division comme Zénon ?


On a une division :                    1/x = y


Cela veut dire que pour tous x réel on divise 1 par x et on obtient le résultat y

Par exemple là on fait de -4 à +4 dans les entiers; pour x = -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4
On a:

1/-4 = -0,25
1/-3 = -0.3333333....
1/-2 = -0,5
1/-1 = -1
1/0 = indéterminé, ça dépends de l'analyse, on n'a pas de résultat algébrique.
1/1 = 1
1/2 = 0,5
1/3 = 0,333333....
1/4 = 0,5

Et oui, on n'a pas le droit de faire des divisions par zéro, quand on approche de zéro, on doit analyser ce qui se passe.





Analysons avec un calculateur de limite :

Calcul de 1/x en x = 0; type de limite : plus (x approche zéro en partant côté plus l'infini)


Résultat = plus l'infini
Cela veut dire que la limite de 1/x quand x approche zéro est l'infini.
Si on trace la courbe, évidemment on ne peut pas dessiner jusqu'à l'infini, mais même sur un plan Euclidien théorique, il y a discontinuité en l'infini, car l'infini n'est pas dans les réels.

1/x = y       y ne prend pas la valeur infinie, il prend la valeur "limite à l'infini".
Sur le segment des y, la borne +l'infinie est une borne exclue. On reste dans les réels.

Algébriquement, limite à la borne, borne incluse ou exclue, tout ça est pareil, c'est la borne.
Après le signe algébrique =; le calculateur inscrit "plus l'infini"
C'est la valeur algébrique, on n'indique pas le coté de la borne.
Évidemment, on reste dans les réels, donc ce n'est pas l'infini, c'est une limite à l'infini.

Quand on écrit l'infini après un signe égal, ça veut dire "limite en plus l'infini, borne exclue".
L'ensemble des réels va de moins à plus l'infini, bornes exclues.







Et maintenant le moins zéro !    

Si on fait le calcul de 1/x en approchant zéro par le coté négatif, tous les résultats sont négatif et vont vers l'infini négatif à mesure qu'on approche zéro. Ici j'ai renseigné "moins" dans la case "type de limite" pour signaler au calculateur de limite que c'est la limite inférieur à zéro que l'on vise.

La limite en x=0 pour x allant de -l'infini à zéro exclu, ça fait moins l'infini !




Et voila le travail !

1/-0 = - l'infini


"-0" existe, c'est un réel, c'est le singleton réel à la limite juste avant zéro qui n'est pas zéro.  

Et ça ne gêne pas d'écrire algébriquement "1/-0 = - l'infini", c'est exactement ce qu'écrit le calculateur de limites

"- l'infini" n'est pas dans les réels, mais pour une relation algébrique, la borne exclue ou la borne incluse c'est pareil, donc le calculateur de limite peut écrire ça, et j'ai le droit de l'écrire.





Par extension, on a aussi plus zéro, qui correspond au calcul de limite en zéro de 1/x quand on approche zéro par le coté positif.
L'existence du plus zéro est nécessaire parce que "1/x=l'infini" existe.



Puisque nous avons un résultat à la limite de x en zéro pour la fonction 1/x, cela signifie que x existe à la limite de zéro.


1/+0= + l'infini


C'est ce qu'écrit le calculateur de limite; quand x approche zéro et qu'il est devenu le singleton qui est le plus petit majorant de zéro qui n'est pas zéro : 1/x = + l'infini



+0 est le singleton qui est le plus petit majorant de zéro qui n'est pas zéro
-0 est le singleton qui est le plus grand minorant de zéro qui n'est pas zéro



Maintenant j'ai trois points qui se touchent deux par deux, ça vous apprendra à rigoler !

[quid]

Au fond, comment peut-on "toucher" un point sans épaisseur, si ce n'est en étant carrément ce point ?

Mais alors comment des points sans épaisseurs peuvent-ils former une ligne qui a une longueur ?

"ne touche jamais" implique une disjonction, ce que montre la courbe.

Au fond, comment peut-on "toucher" un point sans épaisseur, si ce n'est en étant carrément ce point ?

Si deux points sont sans épaisseur, comment peuvent-ils se toucher sans former un seul et même point ? C'est comme si, quand on a l'impression qu'ils se touchent, on pouvait toujours zoomer sur eux et voir, à nouveau, qu'ils étaient séparés.

Le verbe "toucher", qui est issu du langage courant et qui n'a qu'un sens intuitif, empirique, convient-il pour parler de la continuité des points d'une droite, sachant que ces points n'ont pas d'épaisseur ? Les mathématiques, elles, ont renoncé à ce genre de langage imagé pour adopter un langage permettant de se délivrer des apories du langage courant.

Ce n'est pas seulement un effet de langage puisque sur la courbe que tu as montrée, la courbe "ne touche jamais" le point 0. Tu n'as fait que décrire la réalité de la courbe qui est mathématique et tu ajoutes même que d'un point de vue cinématique, le point X ne cessera pas de se déplacer vers la gauche, sous entendu donc sans jamais atteindre le point 0. On est en plein dans le paradoxe de Xénon.

Je t'ai montré plus haut que de dire {0 < X} (X strictement supérieur à 0) et que X "ne touche pas" ou "ne rejoint" pas "0"
et {X < c} (X strictement inférieur à c) et que X "ne touche pas" ou "ne rejoint" pas "c", c'est la même problématique concernant la continuité.

Pour simplifier, et plutôt que de dire, avec {0 < X} que l'on ne peut jamais quitter le point "0" et que donc le mouvement est impossible, sous l'angle de la seconde assertion, {X < c} et que l'on ne peut jamais atteindre le but "c".

Si l'on dit donc que pour parcourir la distance de 0 à c, il faudra d'abord parcourir la moitié de celle-ci, puis la moitié de ce qui reste (donc la moitié de la moitié de la distance totale), et à l'infini et que donc on n'atteindra jamais la distance "c".

Cela correspond à la formule mathématique suivante : c/2 + c/4 + c/8 + ...
que l'on peut écrire : c (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)

Faisons l'opération "n" fois : (1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/n) = (2ⁿ-1) / 2ⁿ = 1 - 1/2ⁿ
On voit donc que la somme est toujours plus petite de 1/2ⁿ par rapport à 1.
Cependant, quand "n" est très grand, la somme se rapproche de 1, et 1/2ⁿ devient très petit, mais elle ne rejoint jamais 1.

1 - 1/2ⁿ est une expression qui vaut pour des pas discrets (d'abord 1/2 puis 1/4, ...)

Mais en réalité on a la même problématique si l'on transpose l'expression pour les nombres réels pour obtenir une fonction continue dans R, comme la courbe que tu as montrée ; on obtient alors la fonction :  f(x) = 1 - 1/2^x

Adaptée à la distance "c", cela donne f(x) = c - c/2^x

Cela permet de tracer une courbe où pour l'axe des abcisses (x) correspondant a un genre de "taux d'avancement" régulier, on a alors sur l'axe des ordonnée (y), y = f(x) = c - c/2^x.

Cela va donner une courbe qui est asymptotique avec la ligne horizontale passant par "c" sur l'axe des ordonnée. Soit la droite y=c.

Cela revient à la même chose qu'avec ta courbe, mais les axes des ordonnées et des abscisse sont inversés. On a la distance parcourue sur l'axe vertical des ordonnées.

Quel est le problème ?

Le problème c'est qu'en utilisant l'équation f(x) = c - c/2^x, on a en fait le choix d'une courbe asymptotique, d'un tracé qui pour une régularité de x, ne permet jamais de réaliser y = c, ni au-delà. On a appliqué à la continuité des conditions qui ne permettent pas de réaliser la continuité. Or la réalité de la continuité, c'est une courbe qui n'a pas d'asymptote ; une fonction qui pourra en f(x) atteindre tout y = f(x) ∈ ]-∞; +∞ dans R. La réalité de la continuité dans R, c'est même une certaine régularité quelque chose du genre f(x) = x.

tu es incapable de donner un exemple de deux tels nombres qui se touchent

J'en suis capable, tu m'as fourni toi même le bon exemple.

________________________________________

Le dernier rouge touche le premier bleu.

Je vois que le dernier pixel rouge touche le premier pixel bleu. Mais je ne vois pas que le dernier point mathématique rouge touche le premier point mathématique bleu.

Le supremum est le dernier point faisant partie d'un segment.
Le minimum est le premier point faisant partie d'un segment.
Le point mathématiquement supremum du segment rouge touche le point mathématiquement minimum du segment bleu.

Je suis d'accord avec Magni. Si le segment rouge et le segment bleu sont contigüs sur le tracé et représente la continuité des nombres réels (bijection avec les nombres réels), si le segment bleu débute en "c", l'ensemble des nombres réels qu'il représente sont [c; +∞.
Pour le segment rouge, l'ensemble des nombres réels qu'il représente sont ]-∞; c.
Or, si le segment bleu à un minimum qui est "c", qui correspond a son extrémité, l'extrémité du segment rouge doit aussi avoir un nombre qui correspond a sa propre extrémité. Car en fait rien ne distingue l'extrémité du segment rouge et du segment bleu dans leur jonction. Il n'y a pas une jonction d'une sorte différente pour le segment rouge par rapport au segment bleu.

[Magni]

La droite en entier est  :

]-∞; segment rouge et bleu; +∞[
Dans cette droite, il n'y qu'un seul point c.


Les deux parties de la droite sont:

]-∞; segment rouge ;c[ + [c; segment bleu; +∞[
Et ainsi il n'y a qu'une seule fois le point c dans l'addition topologique des deux segments.



On aurait pu mètre c dans la partie rouge au lieu de bleu mais on ne peut pas le mettre des deux cotés sinon, la réunion des deux segments fait plus que la division de la droite.

[Magni]

Soit la droite : D1 = ]-∞; segment rouge ;c[ + [c; segment bleu; +∞[




si on nomme b le point qui est le supremum du segment rouge (plus petit majorant inclus dans le segment rouge), on a alors :

Soit la droite : D2 = ]-∞; segment rouge ;b] + [c; segment bleu; +∞[

On a les deux droites D1=D2 (il n'y a qu'une droite); et on a aussi    b et c qui se touchent. Mais b est seulement rouge et c est seulement bleu. Et il n'y a pas de différence algébrique entre b et c, si on n'a pas besoin de la couleur mais seulement la valeur algébrique, il sont la même valeur algébrique , sauf    si c est zéro !


Si c est zéro, b est le dernier réel avant zéro et qui n'est pas zéro, et ce nombre est négatif, il doit impérativement porter le signe moins au début de sa valeur algébrique.

Par ailleurs comme tous les points possibles b et c, zéro et le dernier nombre réel qui le précède n'ont pas de différence algébrique (la soustraction : b-a = 0 ), donc si c est "0", alors b est "-0".



C'est presque aussi beau qu'un collier de nouilles, je suis ému.

[Leonhard]

J'ai une petite expérience de pensée.

Prenons l'intervalle [0, 1].
En multipliant tous ses nombres par 100, on réalise une bijection avec le segment [0, 100].
Il y a donc exactement autant de points dans [0, 1] que dans [0, 100].

Considérons maintenant, dans [0, 1], le nombre 0 et celui "juste après" 0 (notons-le x).
Donc les deux nombres 0 et x se touchent, et la distance entre eux est 0.



Après la bijection, ils se retrouvent dans [0, 100] sous la forme 0 et 100x.
Comme il n'y avait pas d'autres nombres entre 0 et x, il n'y en a pas non plus entre 0 et 100x.
Question : quelle est la distance entre 0 et 100x ?

• Si cette distance est toujours 0, c'est que la transformation ne modifie pas la distance entre un nombre et ses voisins directs. Mais alors, de proche en proche, cela signifie que tous les nombres de [0, 1] restent à leur place, et ne peuvent pas devenir le segment [0, 100] ! Ce qui est contradictoire.
  
• Si cette distance a, au contraire, été augmentée durant la transformation, alors 0 et 100x ne se touchent plus, et ne sont donc plus voisins directs. Mais comme il n'y a aucun point entre eux, ça signifie qu'un trou, une discontinuité a été créée entre eux. Et comme ce raisonnement tient pour toute paire de points voisins, cela signifie que la transformation les sépare tous, de sorte que [0, 100] soit complètement discontinu. Ce qui est contradictoire également.
  

Il découle de cette aporie que l'hypothèse en gras est absurde

[Magni]

X touche zéro, c'est un de ses adhérents.

La distance mesurable algébriquement entre des adhérents est algébriquement strictement nulle.
La relation algébrique reste valable.

100 x 0 = 0

Si c'est en dessous du mesurable avec les rationnels, ça reste en dessous du mesurable avec les rationnels.

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