0,999...=1 ou pas

[Leonhard]

Voici un sujet en lien avec les paradoxes de Zénon et la réflexion sur les limites dans le domaine des nombres.

En mathématiques, il est démontré que le nombre 0,999... (avec une infinité de 9 après la virgule) est strictement égal à 1.

La démonstration consiste à remarquer que 0,999... est la somme d'une infinité de termes (ce qu'on appelle une série), et que cette somme vaut strictement 1 :

Pourtant, à l'encontre de ce résultat, ne pourrait-on pas dire que 0,999... ne vaut pas vraiment 1 et qu'il est plutôt le nombre "juste avant 1" ? Les mathématiques ont-elles d'office raison, malgré toute leur rigueur implacable ?

[Bergame]

Les sujets que tu lances me laissent sceptiques, Leonhard.
Ici, par exemple :

La démonstration consiste à remarquer que 0,999... est la somme d'une infinité de termes (ce qu'on appelle une série), et que cette somme vaut strictement 1 :

Moi, je ne prétends absolument pas être un grand connaisseur des mathématiques, mais quand même : Où y a-t-il ici une démonstration ?

[denis_h]

Ô mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante. J’aspirais instinctivement, dès le berceau, à boire à votre source, plus ancienne que le soleil, et je continue encore de fouler le parvis sacré de votre temple solennel, moi, le plus fidèle de vos initiés. Il y avait du vague dans mon esprit, un je ne sais quoi épais comme de la fumée ; mais, je sus franchir religieusement les degrés qui mènent à votre autel, et vous avez chassé ce voile obscur, comme le vent chasse le damier. Vous avez mis, à la place, une froideur excessive, une prudence consommée et une logique implacable. À l’aide de votre lait fortifiant, mon intelligence s’est rapidement développée, et a pris des proportions immenses, au milieu de cette clarté ravissante dont vous faites présent, avec prodigalité, à ceux qui vous aiment d’un sincère amour. Arithmétique ! algèbre ! géométrie ! trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! Il mériterait l’épreuve des plus grands supplices ; car, il y a du mépris aveugle dans son insouciance ignorante ; mais, celui qui vous connaît et vous apprécie ne veut plus rien des biens de la terre ; se contente de vos jouissances magiques ; et, porté sur vos ailes sombres, ne désire plus que de s’élever, d’un vol léger, en construisant une hélice ascendante, vers la voûte sphérique des cieux. La terre ne lui montre que des illusions et des fantasmagories morales ; mais vous, ô mathématiques concises, par l’enchaînement rigoureux de vos propositions tenaces et la constance de vos lois de fer, vous faites luire, aux yeux éblouis, un reflet puissant de cette vérité suprême dont on remarque l’empreinte dans l’ordre de l’univers. Mais, l’ordre qui vous entoure, représenté surtout par la régularité parfaite du carré, l’ami de Pythagore, est encore plus grand ; car, le Tout-Puissant s’est révélé complétement, lui et ses attributs, dans ce travail mémorable qui consista à faire sortir, des entrailles du chaos, vos trésors de théorèmes et vos magnifiques splendeurs. Aux époques antiques et dans les temps modernes, plus d’une grande imagination humaine vit son génie, épouvanté, à la contemplation de vos figures symboliques tracées sur le papier brûlant, comme autant de signes mystérieux, vivants d’une haleine latente, que ne comprend pas le vulgaire profane et qui n’étaient que la révélation éclatante d’axiomes et d’hyéroglyphes éternels, qui ont existé avant l’univers et qui se maintiendront après lui. Elle se demande, penchée vers le précipice d’un point d’interrogation fatal, comment se fait-il que les mathématiques contiennent tant d’imposante grandeur et tant de vérité incontestable, tandis que, si elle les compare à l’homme, elle ne trouve en ce dernier que faux orgueil et mensonge. Alors, cet esprit supérieur, attristé, auquel la familiarité noble de vos conseils fait sentir davantage la petitesse de l’humanité et son incomparable folie, plonge sa tête, blanchie, sur une main décharnée et reste absorbé dans des méditations surnaturelles. Il incline ses genoux devant vous, et sa vénération rend hommage à votre visage divin, comme à la propre image du Tout-Puissant. Pendant mon enfance, vous m’apparûtes, une nuit de mai, aux rayons de la lune, sur une prairie verdoyante, aux bords d’un ruisseau limpide, toutes les trois égales en grâce et en pudeur, toutes les trois pleines de majesté comme des reines. Vous fîtes quelques pas vers moi, avec votre longue robe, flottante comme une vapeur, et vous m’attirâtes vers vos fières mamelles, comme un fils béni. Alors, j’accourus avec empressement, mes mains crispées sur votre blanche gorge. Je me suis nourri, avec reconnaissance, de votre manne féconde, et j’ai senti que l’humanité grandissait en moi, et devenait meilleure. Depuis ce temps, ô déesses rivales, je ne vous ai pas abandonnées. Depuis ce temps, que de projets énergiques, que de sympathies, que je croyais avoir gravées sur les pages de mon cœur, comme sur du marbre, n’ont-elles pas effacé lentement, de ma raison désabusée, leurs lignes configuratives, comme l’aube naissante efface les ombres de la nuit ! Depuis ce temps, j’ai vu la mort, dans l’intention, visible à l’œil nu, de peupler les tombeaux, ravager les champs de bataille, engraissés par le sang humain et faire pousser des fleurs matinales par-dessus les funèbres ossements. Depuis ce temps, j’ai assisté aux révolutions de notre globe ; les tremblements de terre, les volcans, avec leur lave embrasée, le simoun du désert et les naufrages de la tempête ont eu ma présence pour spectateur impassible. Depuis ce temps, j’ai vu plusieurs générations humaines élever, le matin, ses ailes et ses yeux, vers l’espace, avec la joie inexpériente de la chrysalide qui salue sa dernière métamorphose, et mourir, le soir, avant le coucher du soleil, la tête courbée, comme des fleurs fanées que balance le sifflement plaintif du vent. Mais, vous, vous restez toujours les mêmes. Aucun changement, aucun air empesté n’effleure les rocs escarpés et les vallées immenses de votre identité. Vos pyramides modestes dureront davantage que les pyramides d’Égypte, fourmilières élevées par la stupidité et l’esclavage. La fin des siècles verra encore, debout sur les ruines des temps, vos chiffres cabalistiques, vos équations laconiques et vos lignes sculpturales siéger à la droite vengeresse du Tout-Puissant, tandis que les étoiles s’enfonceront, avec désespoir, comme des trombes, dans l’éternité d’une nuit horrible et universelle, et que l’humanité, grimaçante, songera à faire ses comptes avec le jugement dernier. Merci, pour les services innombrables que vous m’avez rendus. Merci, pour les qualités étrangères dont vous avez enrichi mon intelligence. Sans vous, dans ma lutte contre l’homme, j’aurai peut-être été vaincu. Sans vous, il m’aurait fait rouler dans le sable et embrasser la poussière de ses pieds. Sans vous, avec une griffe perfide, il aurait labouré ma chair et mes os. Mais, je me suis tenu sur mes gardes, comme un athlète expérimenté. Vous me donnâtes la froideur qui surgit de vos conceptions sublimes, exemptes de passion. Je m’en servis pour rejeter avec dédain les jouissances éphémères de mon court voyage et pour renvoyer de ma porte les offres sympathiques, mais trompeuses, de mes semblables. Vous me donnâtes la prudence opiniâtre qu’on déchiffre à chaque pas dans vos méthodes admirables de l’analyse, de la synthèse et de la déduction. Je m’en servis pour dérouter les ruses pernicieuses de mon ennemi mortel, pour l’attaquer, à mon tour, avec adresse, et plonger, dans les viscères de l’homme, un poignard aigu qui restera à jamais enfoncé dans son corps ; car, c’est une blessure dont il ne se relèvera pas. Vous me donnâtes la logique, qui est comme l’âme elle-même de vos enseignements, pleins de sagesse ; avec ses syllogismes, dont le labyrinthe compliqué n’en est que plus compréhensible, mon intelligence sentit s’accroître du double ses forces audacieuses. À l’aide de cet auxiliaire terrible, je découvris, dans l’humanité, en nageant vers les bas-fonds, en face de l’écueil de la haine, la méchanceté noire et hideuse, qui croupissait au milieu de miasmes délétères, en s’admirant le nombril. Le premier, je découvris, dans les ténèbres de ses entrailles, ce vice néfaste, le mal ! supérieur en lui au bien. Avec cette arme empoisonnée que vous me prêtâtes, je fis descendre, de son piédestal, construit par la lâcheté de l’homme, le Créateur lui-même ! Il grinça des dents et subit cette injure ignominieuse ; car, il avait pour adversaire quelqu’un de plus fort que lui. Mais, je le laisserai de côté, comme un paquet de ficelles, afin d’abaisser mon vol… Le penseur Descartes faisait, une fois, cette réflexion que rien de solide n’avait été bâti sur vous. C’était une manière ingénieuse de faire comprendre que le premier venu ne pouvait pas sur le coup découvrir votre valeur inestimable. En effet, quoi de plus solide que les trois qualités principales déjà nommées qui s’élèvent, entrelacées comme une couronne unique, sur le sommet auguste de votre architecture colossale ? Monument qui grandit sans cesse de découvertes quotidiennes, dans vos mines de diamant, et d’explorations scientifiques, dans vos superbes domaines. Ô mathématiques saintes, puissiez-vous, par votre commerce perpétuel, consoler le reste de mes jours de la méchanceté de l’homme et de l’injustice du Grand-Tout !

[neopilina]

En mathématiques, il est démontré que le nombre 0,999... (avec une infinité de 9 après la virgule) est strictement égal à 1.

La démonstration consiste à remarquer que 0,999... est la somme d'une infinité de termes (ce qu'on appelle une série), et que cette somme vaut strictement 1 :

Pourtant, à l'encontre de ce résultat, ne pourrait-on pas dire que 0,999... ne vaut pas vraiment 1 et qu'il est plutôt le nombre "juste avant 1" ? Les mathématiques ont-elles d'office raison, malgré toute leur rigueur implacable ?

Pour moi, le plus viscéralement qui soit, façon réflexe, sans réfléchir, surtout sans réfléchir, en première réaction, radicale, avant même de songer à le motiver a posteriori, je parle donc de ce qui m'arrive a priori, je le constate, comme il se doit, " ensuite " j'y pense : 0,99999999........9999 ce n'est pas 1. Ou encore, 10 n'est pas divisible par trois. Depuis le CM2, je sais que jamais personne ne tracera un cercle, mais seulement, comme dit Magni, un " patatoïde " tentant d'approcher, tel Sisyphe, le cercle, etc. Ce n'est pas des mathématiques, rien de grave, il suffit de l'accepter, et je l'accepte bien volontiers. Sans les mathématiques notre monde n'existerait pas, s'effondrerait, tout à fait. Je comprends même qu'elles puissent être Belles. J'ai déjà lu des choses relatives à la plus grande élégance d'une solution qu'une autre, etc., j'entends tout cela. La plus belle fille du monde ne peut donner que ce qu’elle a, le vrai coupable, c'est celui qui lui en demande trop (comme Denis ! ).

[Leonhard]

Les sujets que tu lances me laissent sceptiques, Leonhard.
Ici, par exemple :

La démonstration consiste à remarquer que 0,999... est la somme d'une infinité de termes (ce qu'on appelle une série), et que cette somme vaut strictement 1 :

Moi, je ne prétends absolument pas être un grand connaisseur des mathématiques, mais quand même : Où y a-t-il ici une démonstration ?

Il n'y a pas de démonstration là-dedans, seulement l'énoncé d'un théorème. La démonstration complète est trop longue et technique pour être donnée ici, et ce n'est pas intéressant à mon sens. Il s'agit juste de savoir que c'est mathématiquement démontrable et reconnu comme tel, et de réfléchir philosophiquement sur notre rapport à ce genre de résultat.

[Bergame]

Je ne comprends pas bien : Tu nous demandes notre avis sur une thèse paradoxale, mais cette thèse, tu ne la justifies pas. Il faudrait te croire sur parole. On parle de maths, là, on parle pas d'astrologie ou de la belle-soeur du boucher.

Leonhard, 0,999..... n'est pas égal à 1. Si tu défends une thèse contraire, stp justifie-la, qu'on puisse juger de tes arguments.

[quid]

J'ai une petite idée :

Soit 0.99999...
0.99999... divisé par 3 donne 0.33333...

Maintenant si l'on procède à la division de 1 par 3 comme on l'a appris au primaire, on trouve également 0.33333...

si (0.99999... divisé par 3) = (1 divisé par 3) alors on a bien : 0.99999... = 1

[Leonhard]

Je ne comprends pas bien : Tu nous demandes notre avis sur une thèse paradoxale, mais cette thèse, tu ne la justifies pas. Il faudrait te croire sur parole. On parle de maths, là, on parle pas d'astrologie ou de la belle-soeur du boucher.

Leonhard, 0,999..... n'est pas égal à 1. Si tu défends une thèse contraire, stp justifie-la, qu'on puisse juger de tes arguments.

OK, pas de souci :)

Il y a des démonstrations semi-rigoureuses, comme celle donnée par quid. Dans la plupart des cas, elles sont déjà suffisamment convaincantes.

La preuve mathématique complète, elle, exige de définir soigneusement ce que désigne la notation 0,999... (car il n'existe pas de règle de calcul avec des écritures décimales infinies, ce qui montre que la preuve de quid n'est pas complètement rigoureuse). Une voie possible (la plus courte), consiste à voir 0,999... comme étant la limite de la suite suivante :

• 0,9
  
• 0,99
  
• 0,999
  
• 0,9999
  
• 0,99999
  
• ...
  

On peut alors démontrer que "la limite de cette suite vaut 1", en montrant que la définition mathématique de cet énoncé est satisfaite. Autrement dit, on a que 0,999..., avec une infinité de "9" après la virgule, vaut 1.



En conclusion, selon la théorie standard des nombres naturels, 0,999... et 1 sont deux écritures d'un seul et même nombre.

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_de_l%27unit%C3%A9

[Leonhard]

Leonhard, 0,999..... n'est pas égal à 1.

Indépendamment de la preuve mathématique du contraire, toi aussi tu devrais justifier ton affirmation que 0,999... n'est pas égal à 1. On ne va quand-même pas se contenter de ta parole :)

[jean tardieu]

On peut tout simplement écrire :
0,9999.... = 1 - 0,0000... = 1 puisque éternellement on ôte 0 à 1.

[Bergame]

Leonhard, 0,999..... n'est pas égal à 1.

Indépendamment de la preuve mathématique du contraire, toi aussi tu devrais justifier ton affirmation que 0,999... n'est pas égal à 1. On ne va quand-même pas se contenter de ta parole :)

Ca ne me semble pas très difficile : Soit X ∈ ]0; 1[ et Y ∈ [1; +∞[ , quels que soient X et Y, X ≠ Y

[Leonhard]

Ca ne me semble pas très difficile : Soit X ∈ ]0; 1[  et  Y ∈ [1; +∞[ , quels que soient X et Y, X ≠ Y

Encore faut-il que 0,999... appartienne à ]0; 1[, et ça tu ne l'as pas démontré.

Je pourrais dire que pour tout X ∈ ]0; 1[, on a que :

X < (X+1)/2 < 1

où le nombre du milieu est la moyenne entre X et 1. Cela signifie que ]0; 1[ ne contient pas de nombre plus grand que tous les autres : chaque nombre de ]0; 1[ est plus petit que la moyenne entre lui et 1, et cette moyenne est toujours dans ]0; 1[.

Or, 0,999... est manifestement plus grand que tous les nombres de ]0; 1[, donc il est nécessairement hors de ]0; 1[ (en vertu de la propriété en gras).

[Magni]

On n'a pas besoin des sommations infinies pour les rationnels, les nombres qui on une suite de décimales non aléatoire sont des rationnels.



A = 0,999999...



10 x A = 10 x 0,999999... = 9,9999999...



(10 x A) - A = 9,999999... - 0,9999999... = 9

(10 x A) - A = 9 x A



9 x A = 9
A = 1




0.999999... est entièrement défini par son développement décimal infini.

Et il vaut exactement 1

[Bergame]

Ca ne me semble pas très difficile : Soit X ∈ ]0; 1[  et  Y ∈ [1; +∞[ , quels que soient X et Y, X ≠ Y

Encore faut-il que 0,999... appartienne à ]0; 1[, et ça tu ne l'as pas démontré.

Je ne pensais pas avoir besoin. Faut-il aussi démontrer que 2 ∈ N ?

Mais admettons. Par l'absurde, alors :
Soit I1 = ]-∞ ; 1[ et I2 = [1 ; +∞[ , m'accorderas-tu que I1 U I2 = C ?

Si oui, quelle proposition est vraie :
• 0,999... ∈ I1
• 0,999... ∈ I2 ?

Mais bon, je lis ce que tu présentes, Leonhard. En tout cas, merci d'amener ce sujet ici, c'est intéressant.
Pour moi, dire que 0,9999... = 1 , c'est comme dire que Pi = 3,1416. Mais je dois donc me tromper.

[Leonhard]

Mais admettons. Par l'absurde, alors :
Soit I1 = ]-∞ ; 1[ et I2 = [1 ; +∞[ , m'accorderas-tu que I1 U I2 = C ?

Si oui, quelle proposition est vraie :
•  0,999... ∈ I1
•  0,999... ∈ I2 ?

Selon les maths, 0,999... ∈ I2, puisque 0,999...=1. Des démonstrations de ce fait figurent dans les messages précédents.

Le début de cette page dit d'ailleurs :

En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre.

[alain]

Comme d' habitude je ne comprends rien à tout cela ( mais j' essaye  quand même ).
Je ne comprends pas comment 0, 999 peut égaler 1...

Basiquement je me dis : si on rajoute à n' importe quel chiffre 0,999 et puis 1, on n' obtient pas le même résultat :
4 + 0,999 = 4,999
4 + 1 = 5
Ce sont deux chiffres différents.

Mais je me dis aussi que : 

4 ÷ 1 = 4 
Et donc ici 1 est , en quelque sorte comme " nul " , puisqu' il n' a pas modifié 4.
Et 4 ÷ 0 = 4
( et la valeur 0,999 n' est elle pas d' une certaine façon incorrecte , puisque 0 est en réalité indivisible ? ).

En fait cela ne dépend t il pas de la façon dont on envisage le 0,999 ?

- soit une valeur s' écartant du 0 ( et donc c'est impossible parce que rien ne s' écarte d' une valeur nulle )
- soit une valeur se rapprochant du 1 ( et la cela devient possible puisque le 1 n' est pas une valeur nulle )

Quoi que ...

[hks]

Non obstant mon Calcul Infinitesimal, je n’admets point de veritable nombre infini, quoyque je confesse que la multitude des choses passe tout nombre fini, ou plustôt tout nombre. […] Le Calcul infinitesimal est utile, quand il s’agit d’appliquer la Mathematique à la Physique, cependant ce n’est point par là que je pretends rendre compte de la nature des choses. Car je considere les quantités infinitesimales comme des fictions utiles.

[lanK]

Il y aurait donc des fictions utiles.
Où il apparaît que les mathématiques intransigeantes, peuvent faire apparaître des compromis.


Je veux bien admettre que je ne comprends pas toutes les "démonstrations"
Même si je peux soupçonner quelque chose de possible.
Pour moi 1=1, après c'est diableries...

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