Re: Le paradoxe de la dichotomie de Zénon

[Leonhard]

Les infinitésimaux ne sont pas des réels, mais des hyperréels. Or, on parle de la droite des nombres réels.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_hyperr%C3%A9el

De toute façon, les hyperréels forment également un ensemble dense, c.-à-d. qu'entre deux infinitésimaux a et b, il existe toujours un infinitésimal qui les sépare. On le démontre dans la théorie des hyperréels (l'analyse non standard), qui formalise la notion d'infinitésimal de Leibniz.

Le jour où tu comprendras la notion d'ensemble dense (ou d'ordre dense), tu pourras enfin arrêter d'être responsable de désinformation.

[Magni]

En mathématiques, le corps ordonné des nombres hyperréels constitue une extension *ℝ des nombres réels usuels, permettant de donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande.

Bon, d'accord.

Mais si l'ensemble des réels ne contient pas d'infiniment petit, je ne vois pas comment il pourrait être continu, je tombe sur le même problème que toi.



Leonhard, es tu d'accord pour dire que:
Si une droite est une droite continue, elle doit pouvoir contenir des intervalles infiniment petits.


Après, on aura qu'a dire que les réels ne sont pas un ensemble continu sans les infinitésimaux et on aura fini.



Est ce qu'on avance, y a un mouvement ?

[Magni]

Le jour où tu comprendras la notion d'ensemble dense (ou d'ordre dense), tu pourras enfin arrêter d'être responsable de désinformation.

Quand tu comprendras qu'il y a plus de transcendants que d'algébriques t'auras fait un progrès.
T'as compris ou pas que le cardinal des algébriques est différent du cardinal des transcendants ?
Ou t'as t'as toujours rien compris sur ce point là ?

Tu veux vraiment qu'on se parle de façon désagréable ?

[Vanleers]

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

Ce n'est pas complet.

Bien sûr qu'il faut partir de A. Mais pour ne pas rester en A, il faut atteindre un premier A' au-delà de A. Et le paradoxe tient au fait que ce fameux A' n'existe pas... Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A.

Je ne vois pas les choses ainsi.
Il est évident que pour aller de A à B distants de L, le mobile doit passer par tous les points situés entre A et B.
Zénon considère seulement certains de ces points : les points A_N qui ont pour abscisses L (1/2)^ N, N ≥ 1 étant aussi grand que l’on veut.
Le problème n’est pas : « Le mobile doit-il parcourir les segments A_N A_N-1 ? » mais : « Le mobile doit-il passer par A_N-1, A_N, … etc. ».
On ne s’occupe pas de savoir comment fait  le mobile pour passer de A_N à A_N-1 mais s’il est passé par ces points.
Or, il est clair, comme rappelé au début, que pour aller de A à B, le mobile doit passer par tous ces points particuliers sélectionnés par Zénon, y compris le point de départ A comme démontré antérieurement.
Je confirme qu’à mon sens, Zénon pose un problème mathématique (la suite (1/2)^N a-t-elle une limite quand N augmente indéfiniment?) et non cinématique.

[Magni]

Leonhard, sais tu me démontrer qu'on peut mathématiquement toujours intercaler un rationnel entre deux réels quelconques comme par exemple des nombres transcendants (ou entre un algébrique et un transcendant, ça m'intéresse aussi même si je ne sais pas si c'est pareil) ?

Si oui, j'aimerais que tu m'expliques.
Si tu m'as déjà expliqué de façon valide alors pardonne moi, je n'ai pas compris.
Est ce que tu pourrais essayer d'expliquer plus simplement ?



Est ce que tu peux me confirmer que tu sais que le cardinal de l'ensemble des nombres algébriques, avec les rationnels dedans, est égal à Aleph 0; et que le cardinal de l'ensemble des nombres transcendants est Aleph 1.


Peux tu s'il te plais mettre en relation la différence entre les cardinaux de ces deux ensembles et la possibilité, ou l'impossibilité, de mettre un rationnel entre tout couple de réels quelconque comme par exemple deux réels séparés d'une distance non algébriquement mesurable.

Merci si tu peux m'aider, j'aime apprendre.

Tu m'as corrigé a propos d'une erreur que j'ai faite sur la façon dont se succèdent les rationnels de façon dense, merci, j'ai compris le concept, je me souviendrai de toi jusqu'à la mort avec le plaisir de savoir que j'ai appris un élément de logique avec toi et sache que je ne pratique jamais l'ironie.

Pourrais tu être un peu plus gentil avec moi steuplé ?
Sois élégant , bordel.





Je définie une distance non algébriquement mesurable:

Tu prends Pi, tu soustraits de Pi la partie algébrique, c'est la première partie de Pi avec un nombre de décimales aussi grand que tu veux mais non infini, le résultat de cette soustraction est le réel nommé "D-A1".

Question : Peut on inscrire un rationnel entre le nombre zéro et le nombre D-A1 ? Si oui donner un exemple.
(répondre à cette question équivaut à répondre à la problématique compliquée posée en début de message)




("D-A1" : tu lis "dé ha un" ou "D moins A numéro 1", et c'est le premier nombre Décimal sans partie Algébriquement qui est déclaré comme non pas le plus petit nombre non algébrique possible, celui là je ne crois pas qu'on pourra le trouver, mais déclaré comme le premier plus petit nombre non algébrique entièrement défini, pour l'instant j'ai le record du forum de Digression, sauf si quelqu'un peut prouver qu'on a déjà un plus petit nombre transcendant et entièrement défini avec une forme décimale développée à partir du premier infini inclus et au delà, le premier infini est l'infini du cardinal du dénombrable illimité, c'est l'infini numéro zéro (il s'appelle Aleph 0), il n'y a pas de plus petit infini, donc, ce nombre D-A1 restera le premier plus petit nombre D-A trouvé de l'histoire du forum qui soit - si Leonhard n'explose pas mon syllogisme - un nombre non algébrique plus petit que tout algébrique et plus grand que zéro.

C'est pas beau ça ?)

[Magni]

d-a1 est le premier nombre pas complètement plus petit que l'algébrique déclaré dans le forum.

Je joue le premier: je sais qu'on connaît 31 trillion de décimales de Pi, pour l'instant je ne vais pas essayer d'en trouver plus, ouf.
Je prends la première partie de Pi connue avec 31 trillions de décimales, je soustraits ce nombre de Pi. C'est le nombre d-a1

Question : Sachant que ce nombre n'est pas zéro, ce nombre est il positif ou négatif

Problème : On ne peut pas le savoir avec la trichotomie sans calculer plus de décimales de Pi.
Ha flute   , ce n'est pas un cas ordinaire !




Questions à Leonhard : Est-on encore dans l'ensemble des réels ou doit dont inclure l'ensemble des hyper-réels dans cet énoncé pour pouvoir faire l'exercice ?  
Pi a t il une partie hyper réel ou Pi est il un vraiment un réel ?  






Solution du problème : Si on calcule plus de décimales de Pi que toutes celles déjà connues, on sait alors définir d-a1 par rapport à zéro au moyen de la trichotomie.  
Nouveau problème : on crée alors un nombre d-a2 en soustrayant de Pi la première partie de Pi avec les 31 trillion de décimales déjà connues plus toutes les décimales nouvellement calculées.
Et on repose de nouveau la question de la trichotomie avec d-a2 .





J'ai défini la classe des nombres d-a  
J'affirme qu'on ne pourra pas trier tous les nombres de la classe des nombre d-a avec la trichotomie. (ce que je dis n'engage que moi, je vous prie de ne pas juger l'état de ma personne ou tenter de salir ma réputation)

J'en déduis que : c'est théoriquement déjà fait en puissance, parce que Pi est un nombre, mais cela ne sera jamais réalisé en acte, parce que le nombre Pi est inconnaissable dans l'absolu (jusqu'à preuve du contraire).

[hks]

Il est évident que pour aller de A à B distants de L, le mobile doit passer par tous les points situés entre A et B.

Pas évident pour Zenon puisqu'il pense que l espace est continu et que les points sont des illusions .

Pour ses adversaires c'est évidents  qu'il y ait des points.

Je ne sais pas ce que pensait vraiment Zénon  mais moi qui m'en sent proche et avec  le zero en tête et le corps des reéls etc ...
Je pense que si on met des points alors le premier est sans doute posable (c'est le point Zero  ou un genre d'origine  ou la marque du départ éventuel)
 mais pas le second
Dans une graduation faites avec des réels. 
Partant de Zéro quel est le second terme de la graduation ?
L’ensemble {R} des nombres réels est non-dénombrable

Ou alors on pose une graduation lambda, au choix, mais c'est tricher au jeu Zenonien .

Or, il est clair, comme rappelé au début, que pour aller de A à B, le mobile doit passer par tous ces points particuliers sélectionnés par Zénon, y compris le point de départ A comme démontré antérieurement.

Achille ne passe pas par le point de départ, il ne peut même pas le quitter.

Si on le fait sauter comme Leonhard le dit sur quel second point saute -t -il ?
Allez- y proposez moi un point.

Déjà que l'idée de saut est problématique comme je l'ai dit ci -dessus ... mais  en plus l'idée de partir est problématique.
L'expérience réelle de nos  déplacements  annihile tout ces problèmes.

Reste ...une récréation mathématique.


Zenon fut tut à fait bien inspiré de se moquer de tous les problèmes causés par la croyance en la réalité ontologique des  points.
Il l'a fait dans son contexte culturel (sans le zero par exemple ) mais on peut transposer son idée forte dans le notre .

[neopilina]

Je souligne la conclusion de Vanleers dans ce message :

Zénon me paraît avoir eu une approche purement logique du problème.
Pour aller de A à B, il faut nécessairement passer par le point situé à AB/2, le point situé à AB/4, à AB/8… etc.
En poussant le raisonnement jusqu’au bout, il faut nécessairement partir de A  (on a vu qu’il n’était logiquement pas possible de partir de A’ différent de A).
Finalement, Zénon montre que pour aller de A à B, il faut partir de A.
On s’en serait douté.

Ce n'est pas complet.

Bien sûr qu'il faut partir de A. Mais pour ne pas rester en A, il faut atteindre un premier A' au-delà de A. Et le paradoxe tient au fait que ce fameux A' n'existe pas... Donc l'objet ne pourrait même pas quitter A.

Je ne vois pas les choses ainsi.
Il est évident que pour aller de A à B distants de L, le mobile doit passer par tous les points situés entre A et B.
Zénon considère seulement certains de ces points : les points A_N qui ont pour abscisses L (1/2)^ N, N ≥ 1 étant aussi grand que l’on veut.
Le problème n’est pas : « Le mobile doit-il parcourir les segments A_N A_N-1 ? » mais : « Le mobile doit-il passer par A_N-1, A_N, … etc. ».
On ne s’occupe pas de savoir comment fait  le mobile pour passer de A_N à A_N-1 mais s’il est passé par ces points.
Or, il est clair, comme rappelé au début, que pour aller de A à B, le mobile doit passer par tous ces points particuliers sélectionnés par Zénon, y compris le point de départ A comme démontré antérieurement.
Je confirme qu’à mon sens, Zénon pose un problème mathématique (la suite (1/2)^N a-t-elle une limite quand N augmente indéfiniment ?) et non cinématique.

Bon : embarras !! On a assez vu que je parle, comme une bonne partie de la littérature à ce sujet, des " arguments cinématiques ", dans le sens vulgaire de relatifs au mouvement. Mais si Vanleers dit que selon lui, cela ne relève pas de la cinématique, stricto-sensu, la discipline scientifique (" Partie de la mécanique qui étudie le mouvement "), il faut y penser. Zafiropulo n'utilise pas le terme " cinématique " effectivement (contrairement à moi, mais je ne le ferais plus !), mais ce bon mathématicien refuse de faire appel à cette discipline quant il parle de ces 4 apories.

à Vanleers,

Tu serais en désaccord avec ce que je vois sur la page 14 du lien que tu as donné, " Pourquoi les paradoxes de Zénon ne remettent pas en question le mouvement mais plutôt l’immobilité ", par Mael Bathfield ( [ur]https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02268936/document[/url] ) ? Je souligne (désolé le copier/coller rame avec les symboles mathématiques !!) :

IV. 1. Les limites de l’interprétation progressive de ‘La Dichotomie’  : Auparavant,  l’interprétation  régressive de  l’argument  était  préférée (Caveing 1982; Hasper 2006;  Blay 2010);  mais  depuis  le  XIXème siècle,  au  cours  duquel  fut  proposée  la ‘solution  mathématique  standard’ basée  sur  la  convergence  de  séries  entières  (voir  ci-dessous), l’interprétation  progressive devint  de  plus  en  plus  populaire.  Par  voie  de conséquence,  la  plupart  des  écrits  de  mathématiciens  contemporains  qui  évoquent  cet argument de Zénon affirment que le problème est résolu depuis le XIXème siècle grâce à la construction de la théorie des séries infinies (n 33).   En effet, l’interprétation progressive de ‘La Dichotomie’ semble  facilement  résoluble  puisque  la  distance  cumulative  parcourue  après chaque étape peut être directement exprimée par la somme partielle d’une série entière: : ????????=∑????????⁄????????????=????. D’après la théorie des séries infinies, toute série entière de la forme ∑1????????⁄????????=????avec q>1 sont convergente et donc leur somme (infinie) existe. La formule de cette somme pour de telles séries géométriques est ∑????????∞????=????=????(1−????)⁄. Dans le cas de ‘La Dichotomie’, cela  signifie  que∑????????⁄????∞????=????=1.  Ce  résultat  mathématique  est  généralement considéré comme une solution au paradoxe.Cependant,  une  telle  formule  ne  consiste  pas  en  une  résolution  logique  du  paradoxe puisqu’il s’agit seulement d’une reformulation mathématique du problème initial: la somme d’une  série  infinie  est par  définition la  limite  de  sa  somme  partielle  :∑????????⁄????∞????=????=lim????→∞∑(????????)⁄????????????=????. Il peut alors être utile de rappeler la définition mathématique d’une limite : L est la limite d’une séquence Dn si, pour tout nombre réel ɛ> 0, il existe un nombre naturel N tel que, pour tout n>N, nous avons |Dn-L|<ɛ. En d’autres mots, la limite d’une séquence est  la  valeur  pour  laquelle  les  termes  de  la  séquence  «tendent  vers»  mais  sans  jamais l’atteindre: la différence entre les termes de la série et sa limite peut ainsi être aussi petite qu’on le souhaite (il suffit de choisir une valeur suffisamment grande de n)... mais elle n’est jamais nulle (car ɛ≠ 0)! Cette situation est exactement le problème décrit par Zénon dans l’interprétation  progressive de ‘La  Dichotomie’ (et  dans  l’argument ‘l’Achille’). Ainsi,  la reformulation mathématique ne résout pas le paradoxe.

Je n'ai pas fini cette lecture, mais je vois déjà que l'auteur pense que la résolution de ces 4 apories, paradoxes, du cas particulier de cet ensemble qui vise les pythagoriciens, nécessite la résolution de problèmes généraux, épistémologiques, relatifs à la connaissance en général, je souligne :

Cela fait se demander à Maurice Caveing (1982) : si un  corps  en  mouvement  peut  parcourir  la  première  moitié  d’une  distance,  qu’est-ce  qui l’empêche de parcourir la seconde moitié ? Ainsi, il démontre simplement que pour obtenir une  situation  vraiment  paradoxale,  «la  progression  implique  la  régression».  En  effet, l’interprétation régressive de l’argument de ‘La Dichotomie’ apparait bien plus convaincante que l’interprétation progressive, et c’est elle qui mène à un vrai problème philosophique (PP)..

Comme  nous  l’avons  déjà mentionné dans la partie IV.2, les paradoxes de Zénon ne font rien d’autre que de pointer du doigt  l’insurmontable  difficulté  qui  consiste  à  conceptualiser le passage  de  l’immobilité  au mouvement ou vice-versa (= problème philosophique dit P.P.), qui survient simplement en raison des ‘définitions exclusives’ des deux termes.

L'auteur de l'article est de ceux qui qualifient à l'occasion ces apories de " sophisme ", il n'est pas le premier ! Mais j'ai déjà dit que cela ma chagrine : personne à l'époque, aucun contemporain, ne taxe Zénon de sophiste, ses propos des sophismes, et ils savaient de quoi ils parlaient. Le mieux est que je termine cette lecture ! Mais tout de même, ce qu'on a de Zénon tient sur une page, pas une feuille, une page, alors je dis " Bravo l'Artiste ! "

[Leonhard]

Mais si l'ensemble des réels ne contient pas d'infiniment petit, je ne vois pas comment il pourrait être continu, je tombe sur le même problème que toi.

La "continuité" des réels (dans le jargon, on parle de complétude) est assurée par l'axiome de complétude, qui possède de nombreuses versions équivalentes. L'une des versions est le théorème des intervalles emboîtés, déjà évoqué ailleurs. Cette propriété affirme que lorsqu'on a une suite d'intervalles dont la largeur tend vers zéro, il existe exactement un nombre appartenant à tous ces intervalles. Cela signifie qu'il est impossible, par le biais d'une suite d'intervalles qui se resserrent, de tomber un "trou" : on finit toujours par capturer un nombre. Autrement dit, il n'y a pas de "trou".

D'un point de vue axiomatique, cette propriété est la seule qui distingue les réels des rationnels (ces derniers ne possèdent pas cette propriété).

Vulgairement parlant, la "continuité" (ou complétude) des réels correspond au fait qu'"il n'y a pas de trou". Elle ne correspond pas à l'idée que "chaque réel est en contact avec un voisin direct". Il est d'ailleurs évident qu'un réel n'a pas de voisin direct, car deux réels différents sont toujours séparés par au moins un réel (leur moyenne); il s'agit de la propriété de densité de l'ordre des réels.

En bref, la droite des nombres réels est "continue" (complète) car elle n'a pas de "trou". Et cela est le cas même si un point n'a pas de voisin direct. D'ailleurs, la notion même de "voisin direct" repose probablement sur une vision intuitive d'un point comme possédant une certaine "épaisseur", comme un atome. On arrive alors à imaginer des atomes qui se touchent, mais cette image induit en erreur.

Un point est plutôt une position pure sur la droite, sans aucune épaisseur. On peut visualiser un point sur une droite en la coloriant en deux couleurs :

________________________________________

La frontière entre les deux couleurs représente un point, qui n'a clairement aucune épaisseur. On réalise alors que deux frontières (c.-à-d. points) différentes partagent toujours la droite en trois zones colorées et que celle du milieu peut toujours être à son tour partagée en deux zones : cela signifie qu'entre deux points, on peut toujours exhiber un troisième point qui les sépare. Il en découle qu'un point ne possède aucun "plus proche voisin". C'est, de nouveau, la propriété de densité de l'ordre des réels, illustrée par l'imagerie des frontières entre zones colorées.

Leonhard, es tu d'accord pour dire que:
Si une droite est une droite continue, elle doit pouvoir contenir des intervalles infiniment petits.

Pas d'accord : un intervalle "infiniment petit" ne veut rien dire sur la droite réelle. Un intervalle (fermé) est soit de longueur nulle (il est alors de la forme [a, a] et ne contient qu'un seul réel), soit de longueur non nulle (il est alors de la forme [a, b] avec a≠b, et contient une infinité de réels, dont la moyenne (a+b)/2, ce qui signifie que a et b sont d'office séparés par un réel intermédiaire). Il n'existe pas d'intervalle [a, b] avec a≠b et qui contiendrait exclusivement les deux éléments a et b, qui seraient alors voisins directs.

Leonhard, sais tu me démontrer qu'on peut mathématiquement toujours intercaler un rationnel entre deux réels quelconques comme par exemple des nombres transcendants (ou entre un algébrique et un transcendant, ça m'intéresse aussi même si je ne sais pas si c'est pareil) ?

Je redonne la preuve ci-dessous, et tu ne l'avais clairement pas comprise. En plus, je l'illustre avec l'exemple concret des réels √2 et 100*pi/222. Si tu veux deux transcendants, tu peux prendre 401*pi/888 et 100*pi/222, qui ont deux décimales communes.

Voici la preuve constructive qu'il existe toujours un rationnel entre deux irrationnels quelconques.

Preuve :
Soient deux irrationnels arbitraires a et b. On a alors deux cas.

• Cas 1 : a et b n'ont pas la même partie entière. Mais alors, ça signifie qu'ils sont séparés par au moins un nombre entier. Par exemple, si a = racine 2 = 1,414213... et b = pi = 3,14159..., alors le nombre entier 2 est un séparateur.
  
  
• Cas 2 : a et b ont la même partie entière. Alors leurs parties décimales peuvent débuter (ou pas) par des chiffres en commun. Par exemple, on peut examiner a = racine de 2 et b = 100*pi/222, qui ont deux décimales communes au début :
  
  
  
  • a = racine de 2 = 1,414213...
    
  • b = 100*pi/222 = 1,415131...
    
  
  Il suffit alors de prendre le plus grand des deux (dans l'exemple, c'est b), de garder les décimales communes ainsi qu'une décimale supplémentaire. On obtient alors un nombre rationnel (car son écriture décimale est finie) qui se trouve entre a et b. Dans notre exemple, il s'agit du nombre 1,415 qui se trouve bien entre les deux irrationnels de départ :
  
  
  
  • 1,414213... < 1,415 < 1,415131...
    
  
  
  

Ce raisonnement vaut pour n'importe quel couple de nombres irrationnels, et prouve de façon constructive comment former un nombre rationnel qui les sépare.

Est ce que tu peux me confirmer que tu sais que le cardinal de l'ensemble des nombres algébriques, avec les rationnels dedans, est égal à Aleph 0; et que le cardinal de l'ensemble des nombres transcendants est Aleph 1.

Je le sais, et je n'ai jamais prétendu le contraire. Les rationnels sont dénombrables, les irrationnels sont indénombrables, c'est bien connu. Et en même temps, les rationnels sont suffisamment nombreux pour séparer tous les irrationnels (cf. la preuve ci-dessus). Il faudra vivre avec, car c'est un fait, et c'est notre intuition qui devra s'adapter à ce fait.

Pour terminer, il est facile de construire un rationnel non nul inférieur à ton nombre D-A1.

En effet, D-A1 commence par un nombre fini de zéros, disons 31 trillions. Il suffit alors de considérer le nombre X obtenu à partir de D-A1 en gardant 31 trillions et une décimales. On a alors que X est rationnel, et inférieur à D-A1*. Par exemple, si D-A1 est 0,0...000123..., alors X est 0,0...0001. On voit bien que 0 < X < D-A1. Ce nombre X existe tout autant que D-A1, alors que je ne connais pas en pratique leur valeur.

_____
* Car si tu gardes une séquence finie des décimales d'un nombre, tu obtiens nécessairement un nombre plus petit : 0,123 < 0,1234162...

[Leonhard]

Question : Sachant que ce nombre n'est pas zéro, ce nombre est il positif ou négatif

Problème : On ne peut pas le savoir avec la trichotomie sans calculer plus de décimales de Pi.
Ha flute   , ce n'est pas un cas ordinaire !

D-A1 est évidemment positif.

Je rappelle la note de bas de page de mon message précédent :

Si tu gardes une séquence finie des décimales d'un nombre, tu obtiens nécessairement un nombre plus petit : 0,123 < 0,1234162...

Donc si tu gardes une première portion finie de pi, tu obtiens un nombre inférieur à pi. Par conséquent, si tu soustrais ce nombre de pi, le résultat est évidemment positif. Il est de la forme 0,000...000xyz..., qui est clairement positif.

Si pour toi, D-A1 est déjà un nombre "mystérieux" au point de ne pas savoir qu'il est positif, alors ça risque d'être très difficile de comprendre la continuité des réels.

[Leonhard]

Je confirme qu’à mon sens, Zénon pose un problème mathématique (la suite (1/2)^N a-t-elle une limite quand N augmente indéfiniment?) et non cinématique.

Si Zénon pose un problème mathématique, ce n'est pas celui-là.

La suite (1/2)^N possède une limite quand N augmente indéfiniment, et cette limite vaut zéro. Et c'est bien ça le problème : même si l'on admet (à tort) que cette limite est une sorte de "première distance à parcourir", alors ça signifie précisément que la première étape du "mouvement" de l'objet consiste à ne pas bouger ! Le mouvement ne démarrerait donc même pas.

Le paradoxe de Zénon s'appuie sur notre perception que cette limite vaut zéro, et affirme précisément que, du coup, l'objet ne peut pas démarrer.

[neopilina]

Je remets :

Le " Vox Zenonis " de Zafiropulo retrace le parcours épistémologique de la science, je pense que la table des matières va parler à certains :
Introduction.
I - La genèse du problème.
II - Les moyens d'expression.
III - L'exprimable.
IV - La solution de Pythagore.
V - Les objections de Zénon.
VI - La solution d'Aristote.
VII - L'objection de Galilée.
VIII - La solution de Newton.
IX - L'objection de Michelson et de Morley.
X - La solution d'Einstein.
XI - L'objection de Bohr - Heisenberg.
XII - La solution de Einstein - De Broglie.
XIII - L'objection de Kurt Gödel.
XIV - Conclusion.

La relativité générale nous a montré que le temps, l'espace et la matière sont radicalement liés. Dans certains endroits de l'univers, on trouve des objets " exotiques ", et pour cause, le temps, l'espace et la matière s'y montrent sous des aspects qui ne sont pas les aspects habituels, sur cette planète et dans la majorité de l'univers. La thèse du continu triomphe. Et pourtant, le livre de Zafiropulo ne se termine pas avec la relativité générale mais bien avec les conséquences philosophiques des théorèmes d'incomplétude de Gödel. Voici comment moi je l'entends, je prends la métaphore de la partie de cartes : Avec Gödel, Zénon relance !
Les 4 apories sur le mouvement visaient les pythagoriciens, leurs postulats, etc., induits par une vision discrète du réel, avec les fragments le propos est plus général, mais avec le tout, c'est bien la connaissance en soi qui se trouve questionnée.

[quid]

Il y a moult façon de s'en rendre compte, comme déjà constaté dans cette discussion. Une approche additionnelle est de considérer la célèbre fonction de Dirichlet : c'est une fonction qui vaut 1 en chaque rationnel, et 0 en chaque irrationnel. Son graphe est constitué de points à hauteur 0 ou 1. On peut démontrer que cette fonction n'est continue nulle part, ce qui signifie que son graphe ne contient aucune portion de courbe continue (ni à la hauteur 0, ni à la hauteur 1), ce qui signifie précisément qu'il n'y a aucun amas continu constitué strictement de rationnels, ou strictement d'irrationnels.

On arrive dans le domaine des fractales, à penser c'est pas simple.

Je me rangerais plutôt à la position de Magni. je pense qu'à un moment il faut savoir sortir du piège de l'infini.

Je vois le truc un peu comme cela :

- Prenons un segment de droite.



• Sur ce segment sont présents un certain nombre (a0) de nombres algébriques, chacun identifiant une position particulière sur le segment.
  
• Ces nombres algébriques sont réputés non-contigües, car d’autres nombres non algébriques viennent s’intercaler entre eux.
  
• Ces autres nombres correspondent à toutes les autres positions du segment.
  
• Toutes les positions du segment sont au nombre de (a1) et forment une continuité, celle du segment.
  
• On sait aussi que a0 est un grand nombre, il faut une loupe pour distinguer les nombres algébriques.
  
• On sait aussi que (a1 = 2^a0) (a1 égal 2 puissance a0), a1 est donc un beaucoup plus grand nombre
  

- Prenons un sous-segment entre deux nombres algébriques apparemment consécutifs (et non contigües) et prenons une loupe :



• Curieusement on retrouve encore des nombres algébriques sur ce sous-segment et aussi curieusement ils sont aussi au nombre de (a0).
  
• Ils sont aussi non-contigües et d’autres nombres non algébriques viennent s’intercaler entre eux.
  
• Ces autres nombres correspondent à toutes les autres positions du sous-segment.
  
• Toutes les positions du sous-segment forment une continuité, celle du sous-segment, et curieusement elles sont aussi au nombre de (a1).
  

- Recommençons l'opération avec une plus grosse loupe et un sous-segment du sous-segment, et ainsi de suite :



• On a encore à chaque fois le même résultat qu’avec le segment et le sous-segment, ça n’en finit pas.
  
• On a en fait un arrangement fractal, où à chaque échelle plus petite on retrouve le même motif. Et cela sans fin.
  

- La proportion de nombres algébriques sur le segment par rapport à l’ensemble de tous les nombres (positions) du segment, est le rapport (a0/a1) :



• Vu qu’aussi (a1 = 2^a0), alors (a0/a1 = a0/(2^a0) )
  
• Sachant que finalement, a0, plus qu’un grand nombre, est un nombre infini, a0/(2^a0) est donc assimilable à 0.
  
• La proportion de nombres algébriques sur le segment par rapport à l’ensemble de tous les nombres du segment est donc de 0. Ou autrement dit, toutes les positions du segment sont infiniment plus nombreuses que les seules positions correspondant à des positions algébriques.
  

- Allons dans les limbes de l’agencement fractal à l’aide d’une loupe qui grossit à l’infini, allons à l’infini :



• On doit alors y trouver un segment qui ne contient plus de sous-segment ; plus de position correspondant à un nombre algébrique.
  
• Cet ultime sous-segment a un nombre de positions égal à (a1) qui toutes sont contigües.
  
• a1 est infini, alors grossissons vraiment à l’infini, on trouvera à l’infini forcément que les positions se touchent, car sinon il n’y aurait pas de continuité des segments.
  

[Leonhard]

Je me rangerais plutôt à la position de Magni. je pense qu'à un moment il faut savoir sortir du piège de l'infini.

Ta position serait alors irrationnelle, car la question a une réponse déjà établie en maths (voir mes démonstrations précédentes).

Si voulez une référence extérieure, voyez par exemple la section 4.2 de ce livre, propriété 17 :

https://books.google.be/books?id=Vh_m0HWeGoIC&pg=PA115&lpg=PA115&dq=entre+deux+r%C3%A9els+il+existe+une+infinit%C3%A9+de+rationnels&source=bl&ots=qs4N5Twiut&sig=ACfU3U0SX80hOEpWJbQxzL6TZG1KkL3k6w&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwinjJeC6qLwAhUE6aQKHUW-BzMQ6AEwDXoECAwQAg#v=onepage&q&f=false

[Vanleers]

Je confirme qu’à mon sens, Zénon pose un problème mathématique (la suite (1/2)^N a-t-elle une limite quand N augmente indéfiniment?) et non cinématique.

Si Zénon pose un problème mathématique, ce n'est pas celui-là.

La suite (1/2)^N possède une limite quand N augmente indéfiniment, et cette limite vaut zéro. Et c'est bien ça le problème : même si l'on admet (à tort) que cette limite est une sorte de "première distance à parcourir", alors ça signifie précisément que la première étape du "mouvement" de l'objet consiste à ne pas bouger ! Le mouvement ne démarrerait donc même pas.

Le paradoxe de Zénon s'appuie sur notre perception que cette limite vaut zéro, et affirme précisément que, du coup, l'objet ne peut pas démarrer.

Je ne suis  pas d’accord avec votre conclusion : si la limite vaut zéro, cela signifie simplement que le mobile M part de A et pas que M ne peut pas démarrer.
Pour parler de mouvement et de cinématique, il faudrait introduire un référentiel dans lequel le mouvement sera repéré.
Reprenons le cas du mobile qui va de A à B où il rencontre un observateur O.
Dans le référentiel lié à M, M est constamment au repos et ne démarre jamais : ce n’est pas lui qui se meut vers O, c’est l’observateur O qui vient à lui.
Mais, dans le référentiel lié à O, c’est ce dernier qui est immobile et M qui se déplace vers lui.
Dans le paradoxe de la dichotomie, il n’est pas question de référentiel et donc de mouvement, de cinématique mais seulement d’un petit problème mathématique facile à résoudre.

[Leonhard]

Je ne suis  pas d’accord avec votre conclusion : si la limite vaut zéro, cela signifie simplement que le mobile M part de A et pas que M ne peut pas démarrer.

À l'instant initial, l'objet est en A, et a priori, on s'attend à ce que son mouvement démarre immédiatement. Imagine maintenant que le mouvement procède par étapes. Dans ce cas, dès l'étape 1, l'objet va bouger, pour se retrouver en un point A' à la fin de l'étape 1.

Or, si la "première distance à parcourir" était 0, cela signifie qu'à la fin de l'étape 1, l'objet n'aura précisément pas bougé. L'objet se retrouve donc exactement dans la même situation après l'étape 1 qu'avant l'étape 1. Mais dans ce cas, la totalité du raisonnement de Zénon s'applique à nouveau à lui : il est en A, il doit atteindre B, quelle est la "première distance à parcourir", etc. Et à chaque fois, on calculera la même limite, qui donnera toujours 0, ad vitam eternam. L'objet ne peut donc pas démarrer.

Pour parler de mouvement et de cinématique, il faudrait introduire un référentiel dans lequel le mouvement sera repéré.

Le référentiel est celui de la droite sur laquelle l'objet est censé se mouvoir. C'est clairement un problème de cinématique, puisqu'il y est question d'une position qui est susceptible de varier en fonction du temps. Mais il est possible que le problème profond qui se cache derrière soit, lui, mathématique :

In fine, le paradoxe de la Dichotomie correspond au problème mathématique suivant : comment une droite peut-elle être continue alors qu'aucun de ses points ne possède de voisin direct ?

En effet, la "continuité" de la droite signifie précisément que l'on peut la "parcourir sans à-coup", qu'on peut la "tracer sans lever le crayon". La continuité de la droite est une condition nécessaire à un mouvement continu sur cette droite. Or, aucun point ne possède de voisin direct, donc si l'on occupe un point sur cette droite et qu'on veut en sortir continûment, on ne sait pas vers quel "premier autre point" aller !

Le pire, c'est que mathématiquement, la droite est vraiment ainsi : elle est vraiment continue, et un point n'a vraiment aucun voisin.

Soit on conclut comme Zénon que le mouvement est impossible sur une droite continue (et on déclare forfait), soit on trouve une faille dans son raisonnement et l'on montre que le mouvement est possible malgré cette structure particulière de la droite. Au fond, la question est : à quoi ressemble un mouvement continu qui n'est pas le passage permanent d'un point à son voisin direct (qui n'existe pas) ?

[En fait, la réponse mathématique existe aussi : il s'agit d'un mouvement décrit par une fonction dite continue, et c'est alors ce concept qu'il faut définir, analyser et comprendre en profondeur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)]

[Vanleers]

Je me cite à nouveau :

" Le problème n’est pas : « Le mobile doit-il parcourir les segments A_N A_N-1 ? » mais : « Le mobile doit-il passer par A_N-1, A_N, … etc. ».
On ne s’occupe pas de savoir comment fait le mobile pour passer de A_N à A_N-1 mais s’il est passé par ces points. "

Votre erreur est de raisonner en termes de « distances à parcourir » alors qu’il s’agit simplement de « passages par des points ».

[Leonhard]

Je me cite à nouveau :

" Le problème n’est pas : « Le mobile doit-il parcourir les segments A_N A_N-1 ? » mais : « Le mobile doit-il passer par A_N-1, A_N, … etc. ».
On ne s’occupe pas de savoir comment fait le mobile pour passer de A_N à A_N-1 mais s’il est passé par ces points. "

Votre erreur est de raisonner en termes de « distances à parcourir » alors qu’il s’agit simplement de « passages par des points ».

C'est exactement la même chose, je te reformule mon raisonnement dans ton langage :

À l'instant initial, l'objet est en A, et a priori, on s'attend à ce que son mouvement démarre immédiatement. Imagine maintenant que le mouvement procède par étapes. Dans ce cas, dès l'étape 1, l'objet va bouger, pour passer en un point A' à la fin de l'étape 1.

Or, si le "premier point de passage" était 0, cela signifie qu'à la fin de l'étape 1, l'objet n'aura précisément pas bougé. L'objet se retrouve donc exactement dans la même situation après l'étape 1 qu'avant l'étape 1. Mais dans ce cas, la totalité du raisonnement de Zénon s'applique à nouveau à lui : il est en A, il doit atteindre B, quelle est le "premier point de passage", etc. Et à chaque fois, on calculera la même limite, qui donnera toujours 0, ad vitam eternam. L'objet ne peut donc pas quitter son point de départ.

[Magni]

soit b la limite en a du segment qui va de moins l'infini à a, a exclu. (a étant exclu, la limite en a n'est pas a)
Soit a la limite en a du segment qui va de a à plus l'infini, a inclus.

L'intervalle entre b et a est nul et il ne contient aucun point. b et a se touchent.


CQFD

[Magni]

Ici la version développée, désolé pour la dysorthographie résiduelle, je n'ai pas le temps matériel de tout corriger à ce niveau là.

La "continuité" des réels (dans le jargon, on parle de complétude) est assurée par l'axiome de complétude, qui possède de nombreuses versions équivalentes. L'une des versions est le théorème des intervalles emboîtés, déjà évoqué ailleurs. Cette propriété affirme que lorsqu'on a une suite d'intervalles dont la largeur tend vers zéro, il existe exactement un nombre appartenant à tous ces intervalles. Cela signifie qu'il est impossible, par le biais d'une suite d'intervalles qui se resserrent, de tomber un "trou" : on finit toujours par capturer un nombre. Autrement dit, il n'y a pas de "trou".

Si tu ne peux pas tomber sur un trou quand les deux cotés se rapprochent, alors tu ne peux pas mettre un nombre entre deux cotés qui se rapproches, parce qu'il y a déjà un nombre. Quel que soit l'endroit que tu vise, tu ne trouvera pas de trou ou tu peux mettre un nombre, mais tu trouvera un nombre qui est déja là.

On dit d'un objet mathématique qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté

Complétude

Si on ne peut rien ajouter, on ne peut pas ajouter un nombre entre deux nombres quelconques.

Tu peux toujours ajouter un nombre entre deux algébriques, oui, mais pas entre deux nombre quelconques.
Le fait que tu ne peux pas trouver deux nombres consécutifs ne veut pas dire que seulement des nombres non consécutifs et non indénombrable existent.

Il y a aussi le non dénombrable.
Dans un segment continu, dont la densité est partout de la puissance du continu, la complétude s'applique, tu ne peux rien ajouter.

D'un point de vue axiomatique, cette propriété est la seule qui distingue les réels des rationnels (ces derniers ne possèdent pas cette propriété).

Exact, et on peut toujours trouver un nombre intercalaire entre deux rationnels, mais pas entre deux réels quelconques.

Si tu prends TOUS les réels globalement, tu ne peux RIEN ajouter.
Donc tu ne peux pas TOUJOURS ajouter un rationnel entre deux réels quelconques, tu ne peux le faire qu'entre deux algébriques quelconques.

Vulgairement parlant, la "continuité" (ou complétude) des réels correspond au fait qu'"il n'y a pas de trou". Elle ne correspond pas à l'idée que "chaque réel est en contact avec un voisin direct".

Si c'est complet alors il n'y a pas de trou, et on ne peut rien ajouter.

Il est d'ailleurs évident qu'un réel n'a pas de voisin direct, car deux réels différents sont toujours séparés par au moins un réel (leur moyenne); il s'agit de la propriété de densité de l'ordre des réels.n'y a pas de trou". Elle ne correspond pas à l'idée que "chaque réel est en contact avec un voisin direct".

Non, la moyenne algébrique ne vaut que pour les nombres algébriques.

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable.

Partie dense

Tu peux séparer des dénombrables comme les algébriques.

Le dénombrable est dense, et il est séparable, tu peux toujours trouver un trou pour y désigner un nombre.

Le non-dénombrable est dense, et il n'est pas séparable, tu ne peux rien ajouter parce que c'est complet et en corollaire, un espace topologique de densité indénombrable n'est pas séparable.

En bref, la droite des nombres réels est "continue" (complète) car elle n'a pas de "trou". Et cela est le cas même si un point n'a pas de voisin direct. D'ailleurs, la notion même de "voisin direct" repose probablement sur une vision intuitive d'un point comme possédant une certaine "épaisseur", comme un atome. On arrive alors à imaginer des atomes qui se touchent, mais cette image induit en erreur.

La notion de voisin direct vient du fait que tu ne peux pas séparer un espace topologique de densité indénombrable. Entre deux segments différents mais non séparable, tu ne peux rien ajouter.

Ce que tu ne peux pas séparer, qui n'a pas de trou, est continu.
Ce qui est continu se touche partout.

Un point est plutôt une position pure sur la droite, sans aucune épaisseur. On peut visualiser un point sur une droite en la coloriant en deux couleurs :

________________________________________

Très bonne illustration, merci.

On a un droite rouge et bleu continu partout.
On a un segment rouge, ce segment a un dernier point, qui est sa borne incluse (une seule borne d'un seul coté).
Après le segment rouge, on a un segment bleu, qui a un premier point, qui est sa borne incluse.

Entre le dernier point rouge et le premier point bleu on ne peut rien mettre, il n'y a pas de trou, il y a continuité, il n'y a pas de point violet.


On ne peut pas trouver le dernier point rouge ET le premier point bleu, mais on peut trouver un de ces deux point et définir les deux segments ainsi:



Les rouges vont de moins l'infini à a exclu.
Les bleus vont de a inclu a plus l'infini.
a est bleu, il est exclu du segment rouge.
Le segment rouge a un dernier point rouge qui existe, il est juste avant le premier point bleu, il n'y a aucun point entre la limite "a exclu" et la limite "a inclu".

la limite en "a exclu" n'est pas le même nombre que la limite en "a inclu".
J'appelle b la limite en "a exclu". La limite en "a inclu" est a

Il n'y a aucun réel entre a et b

CQFD

Cette fois c'est correctement démontré, c'est grâce a toi.  

La frontière entre les deux couleurs représente un point, qui n'a clairement aucune épaisseur.

Si aucun point rouge n'est un point bleu et réciproquement, alors:
Si tu prends deux bornes inclues des segments, tu as deux limites et deux points soit rouge soit bleu mais rien d'autre qui sont les deux points de borne, et tu ne peux rien ajouter entre ces deux point, car ton segment est déja complet.

On réalise alors que deux frontières (c.-à-d. points) différentes partagent toujours la droite en trois zones colorées et que celle du milieu peut toujours être à son tour partagée en deux zones

Non, la zone rouge s'arrête quand la zone bleu commence, il n'y a que deux couleurs et tous les points sont soit rouge soit bleu, entre le rouge et le bleu il n'y a aucun autre point.

Leonhard, es tu d'accord pour dire que:
Si une droite est une droite continue, elle doit pouvoir contenir des intervalles infiniment petits.

Pas d'accord : un intervalle "infiniment petit" ne veut rien dire sur la droite réelle. Un intervalle (fermé) est soit de longueur nulle (il est alors de la forme [a, a] et ne contient qu'un seul réel), soit de longueur non nulle (il est alors de la forme [a, b] avec a≠b, et contient une infinité de réels, dont la moyenne (a+b)/2, ce qui signifie que a et b sont d'office séparés par un réel intermédiaire). Il n'existe pas d'intervalle [a, b] avec a≠b et qui contiendrait exclusivement les deux éléments a et b, qui seraient alors voisins directs.

Faux.

On peut avoir un intervalle de longueur nulle avec aucun point dedans, et un point de chaque coté.
Les deux point de chaque cotés sont séparés par un intervalle de longueur nulle, donc ils se touchent.

soit b la limite en a du segment qui va de moins l'infini à a, a exclu.
Soit a la limite en a du segment qui va de a à plus l'infini, a inclus, cette limite est a.

L'intervalle entre a et b est nul et il ne contient aucun point. A et b se touchent.

Leonhard, sais tu me démontrer qu'on peut mathématiquement toujours intercaler un rationnel entre deux réels quelconques comme par exemple des nombres transcendants (ou entre un algébrique et un transcendant, ça m'intéresse aussi même si je ne sais pas si c'est pareil) ?

Je redonne la preuve ci-dessous, et tu ne l'avais clairement pas comprise. En plus, je l'illustre avec l'exemple concret des réels √2 et 100*pi/222. Si tu veux deux transcendants, tu peux prendre 401*pi/888 et 100*pi/222, qui ont deux décimales communes.

Voici la preuve constructive qu'il existe toujours un rationnel entre deux irrationnels quelconques.

ton exemple n'est pas correct, tu prends des nombre qui ont toujours une distance algébrique mesurable entre eux, ce ne sont pas des nombres quelconques.

Ce raisonnement vaut pour n'importe quel couple de nombres irrationnels, et prouve de façon constructive comment former un nombre rationnel qui les sépare.

Non, ça prouve seulement qu'entre deux nombres qui ne sont pas quelconques parce qu'il ont entre eux un distance mesurable non nulle, alors on peut mesurer cette distance.

Est ce que tu peux me confirmer que tu sais que le cardinal de l'ensemble des nombres algébriques, avec les rationnels dedans, est égal à Aleph 0; et que le cardinal de l'ensemble des nombres transcendants est Aleph 1.

Je le sais, et je n'ai jamais prétendu le contraire. Les rationnels sont dénombrables, les irrationnels sont indénombrables, c'est bien connu. Et en même temps, les rationnels sont suffisamment nombreux pour séparer tous les irrationnels (cf. la preuve ci-dessus).

Non, les rationnels ne seront jamais assez nombreux pour être aussi nombreux que les transcendant.

La quantité infini de rationnelle (qui n'a QUE le puissance du dénombrable) n'est pas suffisante pour être équivalente à la quantité infinie des transcendants qui (qui a la puissance du continu, même si l'ensemble topologique des transcendant n'est pas globalement continu).


Si tu veux pouvoir tenir l'affirmation que les rationnels sont suffisamment nombreux pour séparer tous les irrationnels tu dois affirmer que le cardinal de l'ensemble des nombres rationnels est égal ou supérieur au cardinal de l'ensemble des nombres transcendants.

Pour qu'un rationnel sépare tous les irrationnels, il faut pouvoir faire une injection des irrationnels vers les rationnels.
Tu ne peux pas faire un injection de tous transcendants vers les rationnels car les transcendants sont plus nombreux.

[Leonhard]

Exact, et on peut toujours trouver un nombre intercalaire entre deux rationnels, mais pas entre deux réels quelconques.

Va voir ce qu'en dit un cours de maths rédigé par des professionnels du métier (propriété 17) :

https://books.google.be/books?id=Vh_m0HWeGoIC&pg=PA115&lpg=PA115&dq=entre+deux+r%C3%A9els+il+existe+une+infinit%C3%A9+de+rationnels&source=bl&ots=qs4N5Twiut&sig=ACfU3U0SX80hOEpWJbQxzL6TZG1KkL3k6w&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwinjJeC6qLwAhUE6aQKHUW-BzMQ6AEwDXoECAwQAg#v=onepage&q&f=false

Tout ce que tu racontes est mathématiquement faux si ça va à l'encontre des résultats mathématiques déjà démontrés.

soit b la limite en a du segment qui va de moins l'infini à a, a exclu. (a étant exclu, la limite en a n'est pas a)

La partie rouge est fausse. La "limite" dont tu parles est ce qu'on appelle le supremum (ou la borne supérieure) de l'ensemble )-infini, a(, et vaut bel et bien a. Et, en effet, cette limite est hors de l'intervalle, parce qu'il s'agit d'un ensemble dit ouvert (https://fr.wikipedia.org/wiki/Ouvert_(topologie)). Ce n'est que dans un ensemble fermé qu'une limite d'éléments de l'ensemble appartient encore à l'ensemble. Tout est donc cohérent, et en ta défaveur.

Par exemple, la "limite en 1" de l'intervalle )0,1( est 1. C'est écrit texto sur cette page :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Borne_sup%C3%A9rieure_et_borne_inf%C3%A9rieure#Exemples

Pour qu'un rationnel sépare tous les irrationnels, il faut pouvoir faire une injection des irrationnels vers les rationnels.

Non, ce n'est pas nécessaire, comme le prouve la propriété 17 du lien ci-dessus.

[Magni]

soit b la limite en a du segment qui va de moins l'infini à a, a exclu. (a étant exclu, la limite en a n'est pas a)

La partie rouge est fausse. La "limite" dont tu parles est ce qu'on appelle le supremum (ou la borne supérieure) de l'ensemble )-infini, a(, et vaut bel et bien a. Et, en effet, cette limite est hors de l'intervalle, parce qu'il s'agit d'un ensemble dit ouvert

La limite algébrique calculable en a exclu est a

Au niveau algébrique, il n'y a pas de différence entre a et b

________________________________________

Mais, le segment rouge a une fin, il ne se poursuit pas dans le bleu, et la fin du segment rouge n'est pas bleu, or a est bleu, donc la fin du segment rouge n'est pas a.

[Leonhard]

Va donc lire la propriété 17 ici :
https://books.google.be/books?id=Vh_m0HWeGoIC&pg=PA115&lpg=PA115&dq=entre+deux+r%C3%A9els+il+existe+une+infinit%C3%A9+de+rationnels&source=bl&ots=qs4N5Twiut&sig=ACfU3U0SX80hOEpWJbQxzL6TZG1KkL3k6w&hl=fr&sa=X&ved=2ahUKEwinjJeC6qLwAhUE6aQKHUW-BzMQ6AEwDXoECAwQAg#v=onepage&q&f=false

[Magni]

Cas 1:



La fin du premier segment s'arrête exactement ou le deuxième segment commence.
La limite entre les deux segments est a.
L'intervalle entre les deux segments est nul et il ne contient aucun point.




Cas 2:



La fin du premier segment s'arrête exactement ou le deuxième segment commence.
La limite entre les deux segments est a.
L'intervalle entre les deux segment est nul et il contient le point a.


Conclusion: un intervalle de dimension nulle peut contenir ou pas un point.

Corolaire : Le point a possède un successeur immédiat et un prédécesseur immédiat, comme tout réel.




Ce que Zénon n'avait pas comme outil pour résoudre ce genre de problème, c'est l'analyse, qui est l'étude des limites.

[Magni]

Et un troisième cas intéressant.




La fin du premier segment s'arrête exactement ou le deuxième segment commence.
La limite entre les deux segments est a.
le point a appartient à la fois au premier segment et au deuxième segment, il n'y a pas d'intervalle entre le premier et le deuxième segment.


Conclusion: un intervalle de dimension nulle ce n'est pas la même chose que pas d'intervalle du tout.

[Magni]

La trichotomie est une relation algébrique.

La relation : "x < y" signifie que x est algébriquement strictement inférieur à y

Si x qui est un réel quelconque, est algébriquement strictement inférieur à y qui est un réel quelconque, oui, on peut trouver un nombre algébrique entre les deux.

Mais cette relation n'est valable qu'entre les nombres qui ont une différence algébrique, deux réels quelconques n'ont pas forcément une différence algébrique.

Évidemment, deux réels quelconques qui ont une différence algébrique ont une différence algébrique.
si "x < y", alors l'intervalle entre les deux est algébrique.










La limite en a exclu est a, c'est la limite algébrique, si tu enlèves toute limite algébrique pour aller dans le continu indénombrable, la fin du segment continu en a exclu n'est pas a.

La fin du segment continu fait partie du segment, a ne fait pas partie du segment s'il en est exclu.

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