Re: Qu'est-ce qu'un segment continu ?

par Leonhard Dim 9 Mai 2021 - 2:00

Tentative de vulgarisation : qu'est-ce que la continuité ?

Les axiomes de base des nombres réels en font un ensemble "continu" au sens où les réels forment une étendue ininterrompue, sans "trou". En même temps, deux réels différents sont toujours séparés par un autre réel, en particulier par un rationnel. Cela signifie que deux réels différents ne se "touchent" jamais. Comment peuvent-ils alors former une étendue "continue" ?

On pourrait le voir en deux phases.

1/ Le fait qu'il y ait toujours des réels entre deux réels différents est plutôt une bonne nouvelle ! Cela signifie que tout écart entre deux réels est toujours peuplé d'autres réels qui viennent justement boucher l'écart. Cette propriété de densité, au lieu d'être un obstacle à la "continuité", en serait plutôt une condition nécessaire.

Mais elle n'est pas une condition suffisante : les rationnels ont également la même propriété, mais l'étendue des rationnels est parsemée de "trous". Mais qu'est-ce qu'un "trou" dans un monde où deux points différents ne se touchent jamais ? Comment formaliser le concept de "trou" dans un ensemble qui possède la propriété de densité ? Les points n'ayant pas d'épaisseur, cela n'aurait pas de sens de dire qu'il s'agit d'un "espace vide entre deux points qui correspond à la place qu'aurait occupée un point", puisqu'un point ne possède précisément aucune étendue.

2/ L'idée est qu'un "trou" peut être conçu comme étant la limite d'une suite d'intervalles emboîtés au sens suivant :

chaque intervalle de la suite contient strictement le suivant,
la longueur des intervalles tend vers zéro.

Dans une telle suite d'intervalles fermés, les bornes se resserrent progressivement et, à l'infini, tendent vers un intervalle-limite de la forme [a, a], c'est-à-dire un singleton, un point isolé. Ce point isolé est le seul qui appartienne à tous les intervalles sans exception, il constitue leur intersection. Cette façon de capturer un point isolé est intéressante car on peut capturer un irrationnel avec des intervalles dont les bornes sont rationnelles.

En effet, avec cette approche, on constate que l'étendue des rationnels contient des "trous". Par exemple, il y a un trou en √2, que l'on peut capturer par la suite d'intervalles définie comme suit :

On prend une suite croissante de rationnels inférieurs à √2, qui tend vers √2. Notons (a_n) les éléments de cette suite. Une telle suite existe car tout réel est la limite d'une suite de rationnels (propriété de densité des rationnels dans les réels). Si vous voulez un exemple concret d'une telle suite, il suffit de demander.
On prend une suite décroissante de rationnels supérieurs à √2, qui tend vers √2. Notons (b_n) les éléments de cette suite.
On a alors la suite des intervalles [a_n, b_n] qui enserrent tous √2, et dont les deux bornes tendent vers √2. L'intervalle-limite est donc bien [√2, √2], c'est-à-dire le singleton {√2}. On vient de "saisir" √2 par le biais d'une suite d'intervalles fermés emboîtés dont les bornes sont toutes des rationnels. C'est ainsi que l'on peut exprimer la présence d'un élément non rationnel (donc, un "trou" dans les rationnels) en n'utilisant que les rationnels eux-mêmes.

Le fait que les rationnels possèdent un "trou" s'énonce alors ainsi : il existe une suite infinie d'intervalles emboîtés de bornes rationnelles dont l'intersection n'est pas un rationnel. Cette intersection vide est, précisément, le "trou".

On peut alors généraliser ce critère en le formulant ainsi :

Enfin, on peut définir le contraire de "contenir des trous" en disant :

Un ensemble E est complet ("continu") si toute suite infinie d'intervalles emboîtés dont les bornes appartiennent à E possède une intersection contenant bel et bien un élément de E.
L'ensemble des réels satisfait à ce critère : c'est ce qu'énonce exactement le théorème des fermés emboîtés. Cela signifie que quel que soit le point isolé que l'on saisit au moyen d'une suite d'intervalles emboîtés dont les bornes sont réelles, ce point est encore un réel. Autrement dit : il est impossible, dans les réels, de saisir un "trou", un "non réel".

Ceci montre non seulement que les réels sont plus nombreux que les rationnels, mais aussi que les réels suffisent pour avoir une étendue "continue".

Voilà comment, en mathématiques, l'idée de "continuité" des réels a été établie. L'absence de "trou" n'est pas assurée par la présence chimérique et contradictoire de "points différents qui se touchent" (ce qui n'est rien de plus qu'une intuition, au fond), mais par un théorème fondamental, le théorème des fermés emboîtés. Ce théorème repose sur une formalisation rigoureuse de l'idée de "trou", et démontre que de tels "trous" n'existent pas.

En conclusion, les réels ne ressemblent pas à ça :

Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 4 Collie11

mais à ça :

Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 4 Ligne11

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 9:33

Leonhard a écrit: Certains voudraient, de façon ad hoc, invoquer soudainement une autre relation d'"égalité" qui serait "topologique", pour pouvoir dire que deux réels successifs seraient à la fois égaux et "inégaux". Cela n'a aucun fondement : dans la théorie axiomatique des réels

Il n'y a surtout aucun fondement qui empêche les réels d'être égaux algébriquement et différents topologiquement.
Il ne suffit pas de faire une affirmation pour démontrer quoi que ce soi.

La limite en x exclu est x, mais x exclu n'est pas x.

Algébriquement, la limite en x exclu et x sont identique, puisque la limite en x exclu est x.
Topologiquement, x exclu n'est pas x.

Si tu me prouve que x exclu est topologiquement x, tu aura démontré ton point.

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 9:42

Leonhard a écrit:Si l'on suppose l'existence d'éléments consécutifs, alors compte tenu de la densité des rationnels et des réels, la distance entre deux éléments consécutifs est nécessairement zéro. Le problème, c'est que si deux nombres x et y on un écart de zéro, ça signifie que x-y=0, qui équivaut à x=y. Autrement dit, deux nombres consécutifs d'écart zéro ne forment qu'un seul nombre.

Tu y tiens mais c'est une invention de ta part et c'est mathématiquement faux.

On peut trouver des segments de longueur nulle, dont tous les points sont algébriquement équivalents, et dont la quantité de points est infinie et indénombrable. Donc ça ne fait pas juste un seul point, ça en fait quand même beaucoup, beaucoup, beaucoup ...

Je te l'ai déjà démontré plusieurs fois et tu l'as ignoré.

Ceci contredit ton affirmation :

Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 4 Borel_10

Mesure de longueur nulle

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 9:47

Leonhard, tu ne peux pas prouver a partir de l'algèbre que le continu est algébrique. Exhiber une relation algébrique ne sert à rien pour démontrer que ce qui est non algébrique doit obéir à l'algèbre.

Tu peux prouver à partir de l'analyse, que le continu n'est pas pas algébrique.

De plus, tu te trompes en disant qu'il n'y a qu'une seule relation d'ordre dans les réels.

Les notion de borne exclues, borne inclues, limite à droite ou a gauche sont des relation d'ordre qui ne sont pas algébriques.

par Leonhard Dim 9 Mai 2021 - 10:44

Magni a écrit:Si tu me prouve que x exclu est topologiquement x, tu aura démontré ton point.

De façon générale, Magni, il y a dans tes messages tellement d'erreurs mathématiques, d'usages détournés du jargon mathématique et de diversions qui nous font constamment sortir d'une question sans jamais l'examiner en détail, qu'il est devenu sans intérêt pour moi d'y répondre. Car y répondre consisterait à :

te demander de définir mathématiquement ce que tu entends par d'innombrables expressions (par exemple, "x exclu", c'est quoi ? un nombre, un intervalle, la limite d'une suite, d'une fonction, un ensemble ?),
te demander de produire de vraies démonstrations pour tes affirmations,
te demander de donner des références extérieures (peux-tu citer un seul document mathématique où l'on trouve l'affirmation, et la démonstration, que l'intervalle [0, 1[ contient un élément maximal, au sens technique et mathématique de ce terme ?),
expliciter les nombreux arguments circulaires qui parsèment tes "raisonnements" (par exemple : "[0, 1[ possède un élément maximal parce que 1 possède un voisin de gauche", et ailleurs "1 possède un voisin de gauche parce que [0, 1[ possède un élément maximal"),
corriger tes erreurs d'interprétation (par exemple, dernièrement, à propos des ensembles de mesure nulle, comme l'ensemble de Cantor qui, bien qu'indénombrable, est totalement discontinu, comme écrit ici... parce que l'indénombrabilité n'implique pas l'absence de "trous"... une erreur parmi tant d'autres),
expliquer tes nombreuses confusions méta-mathématiques (comme par exemple, le mot "algébrique" qui est utilisé tant pour qualifier un nombre que pour se référer à la branche mathématique qu'est l'algèbre... deux acceptions radicalement différentes et sans lien l'une avec l'autre),
et j'en passe.

quid, lui, critique mes démonstrations sur le fond, mobilise des hypothèses, en tire des conclusions et permet la discussion. Il produit également ses propres démonstrations qui sont méthodiques et qui mentionnent avec clarté des hypothèses ou propriétés utilisées. La discussion est possible sur cette base.

Rien que ta phrase que j'ai citée ci-dessus est déjà obscure, vu l'usage personnel et non standard que tu fais des termes techniques qui s'y trouvent. Je ne vais pas me fatiguer à en tenir compte.

Je te répondrai avec plaisir si tu expliques avec rigueur et détail, en fournissant les définitions nécessaires, les thèses que tu défends, ou que tu souhaites que je démontre.

Je vais oser une dernière tentative de discussion productive en ce sens, sous forme de tabula rasa. Peux-tu :

soit m'écrire une démonstration auto-suffisante, en explicitant les définitions et propriétés préalablement admises, que le nombre réel 1 possède un réel qui lui est "directement adjacent", mais qui ne serait pas 1 lui-même ? (Tu devras commencer par définir précisément ce qu'est un "réel directement adjacent à 1"... bonne chance),
soit fournir une référence (document de cours, ...) où l'on trouve l'affirmation démontrée qu'un nombre réel possède un "voisin direct" ? De la sorte, on pourra au moins réfléchir sur un argumentaire rigoureux. (Cela dit, je sais déjà à l'avance qu'un tel document n'existe pas, mais bon.)

Autrement, je ne serais pas intéressé par tenir compte de tes messages.

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 11:29

Leonhard a écrit:
[*]corriger tes erreurs d'interprétation (par exemple, dernièrement, à propos des ensembles de mesure nulle, comme l'ensemble de Cantor qui, bien qu'indénombrable, est totalement discontinu,

Parle plutot de l'exemple que j'ai cité :

Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 4 Besico10

Ensemble de Besicovitch

Il existe des ensemble de besicovitch de longueur nulle.
Contrairement à l'ensemble de cantor, ils sont constitué d'un ensemble fini de segment.

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 13:00

Leonhard a écrit: à propos des ensembles de mesure nulle, comme l'ensemble de Cantor qui, bien qu'indénombrable, est totalement discontinu

La mesure de Lebesgue de l'ensemble de Cantor est la mesure de l'union des segments de l'ensemble de Cantor, donc c'est la longueur de l'ensemble de Cantor sans les trous. Et cette longueur est négligeable.

L'ensemble de cantor est plein de trous, certes, mais il est discontinu entre les segments seulement, il n'est pas "totalement discontinu", car les segments qui sont tous de longueur négligeable, ont tous unitairement la puissance du continu.

En effet, la quantité de segments de l'ensemble de Cantor résulte d'une division algébrique récursive, c'est donc un infini dénombrable. Pourtant, la quantité de points sur les segments est indénombrable. Une quantité de points indénombrable ne peut provenir de l'addition d'un quantité dénombrable de points.

Donc chaque segment de l'ensemble de Cantor contient une quantité indénombrable de point, et chaque segment est de longueur négligeable (puisque l'addition de toutes les longueurs de tous les segment est une quantité négligeable).

L'ensemble de Cantor sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue

Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 4 Cant10

La réunion de tous les segments de l'ensemble de Cantor est de longueur nulle, et cet ensemble contient une quantité Aleph1 d'éléments.

C'est un peu plus abstrait que l'ensemble de Besicovitch qui contient seulement deux segments adjacents mais cela revient au même.
La longueur cumulée de tous les segments est négligeable et cette longueur négligeable du point de vue algébrique contient une quantité infinie et indénombrable d'éléments.

Sais tu ce qu'est la mesure de Lebesgue ?
Mesure de Lebesgue

C'est un outil très performant et fondamental en analyse moderne.

Ce n'est pas de l'algèbre, c'est de l'analyse.
L'analyse ça existe.

par Leonhard Dim 9 Mai 2021 - 13:03

Magni, les ensembles de Besicovitch sont des parties du plan R², et la mesure d'une partie de R² est son aire, et non sa longueur. C'est ce que signifie l'exposant "2" dans la notation L²(B) : ça désigne la mesure de B en tant qu'objet à deux dimensions, c.-à-d. en tant que surface. Et la mesure d'une surface n'est pas la longueur, mais l'aire.

N'importe quel segment classique entre deux points du plan, de longueur arbitraire, possède déjà une aire qui est nulle. Donc oui, il existe des segments continus d'aire nulle. Mais cela ne permet donc absolument pas de démontrer qu'il existerait des segments continus de longueur nulle.

La mesure de Lebesgue a un sens qui dépend de la dimension de l'espace ambiant : dans R, c'est la longueur, dans R², c'est l'aire, dans R³, c'est le volume, etc. Je cite par exemple la première (!) phrase de l'article Wikipédia, avec sa note en bas de page :

Wikipédia - Mesure de Lebesgue a écrit:La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume¹ à une très large classe de parties de l'espace.

¹ Le mot « volume » est parfaitement adapté en dimension 3 et est d'usage courant en dimension supérieure ; en dimension 2, on parlerait plutôt d'aire et en dimension 1, de longueur.

Ceci est ma dernière correction de tes erreurs disparates, car il n'y a aucun intérêt à corriger les erreurs mathématiques de quelqu'un qui copie-colle arbitrairement des bouts de textes mathématiques dont il ne comprend pas le sens.

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 13:09

La mesure de Lebesgue n'est pas une aire mais une longueur.

C'est la longueur cumulée de tous les segments, quelle que soit la direction du segment.

Ce n'est pas parce qu'un plan contient des surfaces qu'il ne contient pas des longueurs !
Aucun segment n'a unitairement une surface, l'ensemble de Bosicovitch n'est composé que de deux segments, il n'a pas d'aire.

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 13:14

L'ensemble de Cantor sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue.

Donc, il existe des ensembles infinis et non dénombrables de longueur négligeable.

La mesure de Lebesgue est une mesure de longueur.

par Magni Dim 9 Mai 2021 - 14:01

Leonhard a écrit:La mesure de Lebesgue a un sens qui dépend de la dimension de l'espace ambiant : dans R, c'est la longueur, dans R², c'est l'aire, dans R³, c'est le volume, etc. Je cite par exemple la première (!) phrase de l'article Wikipédia, avec sa note en bas de page :

Wikipédia - Mesure de Lebesgue a écrit:La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume¹ à une très large classe de parties de l'espace.

¹ Le mot « volume » est parfaitement adapté en dimension 3 et est d'usage courant en dimension supérieure ; en dimension 2, on parlerait plutôt d'aire et en dimension 1, de longueur.

Des segments peuvent, s'ils sont en quantité indénombrable, couvrir une surface ou remplir un volume.
C'est le rapport qu'il y a entre la sommes des mesures de segments et un volume.

Ce qu'il faut retenir : une quantité de points indénombrable peut représenter une mesure négligeable.

Une mesure négligeable de longueur, de surface, ou de volume, peu importe !

L'indénombrable du continu peut rentrer à l'intérieur d'une mesure de volume négligeable.

L'indénombrable du continu peut également rentrer à l'intérieur d'une mesure de longueur négligeable.

La longueur négligeable est par exemple l'ensemble de Cantor, même si l'ensemble à des trous il s'étend sur une seule dimension, et la longueur totale cumulée de tous ses segments est de mesure négligeable.

Merci Leonhard.

J'ai beaucoup apprécié cette discussion, même elle n'a pas été productive pour toi.

par Crosswind Ven 18 Juin 2021 - 13:33

Leonhard a écrit:On peut encore méditer sur cet aspect contre-intuitif d'un segment comme [0,1] et des nombres réels en général :

Il n'y a pas de point "juste à côté" d'un point donné. (Ce n'est qu'une conséquence de la propriété de densité.)

En même temps, les points du segment [0,1] forment bien, collectivement, une ligne continue, sans "trou" !

Comment un segment peut-il ne pas avoir de "trou" alors que deux points quelconques sont toujours séparés par une distance donnée (dans laquelle se trouve d'autres points) ?!

L'erreur est de croire qu'un point mathématique, idéalisé et sans aucune contenance de volume ou de réalité empirique, a un quelconque lien avec un point matériel, tel que la trace d'une tête d'épingle trempée dans l'encre et portée sur un papier blanc. Un segment de droite vu par un mathématicien n'est pas une succession de points infiniment petits mais un seul et même objet : une droite tracée sur un écran, un papier, du sable. De même que la "droite" n'existe qu'en tant qu'idée. Un nombre n'est d'abord et avant tout qu'un rapport, pas une réalité indépendante. Il n'existe rien de tel qu'un nombre "1" ou "0".

De sorte que la problématique soulevée l'est en pure perte de temps.

par Leonhard Mer 23 Juin 2021 - 0:02

Crosswind a écrit:Un nombre n'est d'abord et avant tout qu'un rapport, pas une réalité indépendante. Il n'existe rien de tel qu'un nombre "1" ou "0".

Un nombre serait un rapport entre quoi et quoi ?

Et ce rapport lui-même, peut-il avoir une réalité indépendante, en tant que rapport ?

par Crosswind Mer 23 Juin 2021 - 8:24

Leonhard a écrit:Un nombre serait un rapport entre quoi et quoi ?

Et ce rapport lui-même, peut-il avoir une réalité indépendante, en tant que rapport ?

L'histoire nous apprend que les tous premiers dénombrements le furent d'abord pour s'assurer d'une certaine quantité (troupeau, graines, etc...). Pour ce faire, un rapport était établi entre, souvent, une entaille dans un os ou un bâton, et une chèvre ou un grain. C'était une bijection entre des objets du monde. Un ensemble d'entaille >< un ensemble de chèvres. De là sont progressivement apparus des mots (un autre objet du monde, le plus souvent sonore à cette époque reculée) que l'on a attribués à ces entailles. 1 chèvre, 2 chèvres, 3 chèvres. Jusque là, nulle nécessité d'abstraire quoi que ce soit (et heureusement, car les hommes de l'époque et l'abstraction, c'était sûrement meilleur que les capacités de l'amibe, mais il ne fallait quand même pas leur en demander trop).

C'est bien plus tard que l'être humain a pensé retirer le deuxième terme de l'association (la chèvre) pour ne conserver que le premier (le nombre). Les progrès de l'abstraction puis de l'arithmétique ont fait le reste.

Mais, à la base, un nombre est un rapport d'objet à objet.

Quant à la réalité indépendante d'une telle chose... Eh bien je me récuse (ou plutôt précise) et vous prie de corriger mes précédents propos : il est possible qu'une telle réalité existe (la droite ou le nombre). Mais c'est indécidable (personne n'a jamais vu une telle réalité autrement que par le truchement de la pensée). Par conséquent je ne m'y attarde pas (à quoi bon?).

P.S. Il paraît que, naturellement et sans aucune éducation particulière, l'être humain (à l'instar d'autres animaux "supérieurs") conçoit les quantités, et donc les nombres, de 1 à 4 (sans compter). Au-delà, il lui faut apprendre.

par Leonhard Mer 23 Juin 2021 - 9:20

Crosswind a écrit:Mais, à la base, un nombre est un rapport d'objet à objet.

Cette idée reste vraie y compris pour les abstractions modernes du concept de nombre.

Dans les fondements des mathématiques modernes, on introduit, sans circularité, un ensemble qui contient en fait un seul élément (notons-le S). On peut alors définir le nombre 1 comme étant "ce que tous les ensembles en bijection avec S ont en commun".

Ainsi défini, le nombre 1 n'acquiert-il pas une forme d'indépendance par rapport aux entailles et aux chèvres ?

par Crosswind Mer 23 Juin 2021 - 17:08

Juste pour être sûr d'avoir bien suivi :

- Un ensemble S doté d'un élément. D'autres ensembles, dont le nombre d'élément peut varier. Prenons l'ensemble A et B avec 2 éléments dont un en bijection avec S, l'ensemble C et D avec 2 éléments, tous en bijection avec S.

- Ce qui est commun à A et B : une bijection d'un élément avec S (mais aussi le nombre d'éléments, et le fait que ce sont tous deux des ensembles non-nuls, j'ignore si cela peut jouer un rôle?). Ce qui est commun à C et D, une bijection avec tous les éléments. Je m'en tiens à "bijection avec S".

Dans ce cas, 1 est défini par deux "communautés". Les ensembles d'ensembles {A,B} et {C,D}.

Pour vous répondre, je dirais qu'il existe alors une différence d'avec notre bâton et nos chèvres, mais partielle seulement. Partielle car il y aura encore une association entre deux objets mais, cette fois, l'un des deux termes ne sera pas concret, mais abstrait. Une chèvre, on la voit (et on la sent !). Une règle d'association, on la pense. Mais cela reste tout de même une pensée, et donc un objet (mental).

Question : si l'unité est définie par {A,B}, est-il correct de définir 1+1 par {A,B} + {A,B} ?

par Leonhard Mer 23 Juin 2021 - 19:02

Crosswind a écrit:Juste pour être sûr d'avoir bien suivi :

- Un ensemble S doté d'un élément. D'autres ensembles, dont le nombre d'élément peut varier. Prenons l'ensemble A et B avec 2 éléments dont un en bijection avec S, l'ensemble C et D avec 2 éléments, tous en bijection avec S.

Ça ne semble pas faire sens... Par définition, la bijection est une relation entre deux ensembles qui a lieu lorsque chaque élément de l'un correspond à un et un seul élément de l'autre. Il découle de cette définition qu'un ensemble A est en bijection avec S si A possède exactement autant d'éléments que S, à savoir un seul. Si A possède 2 éléments, il ne peut pas être en bijection avec S.

Crosswind a écrit:Question : si l'unité est définie par {A,B}, est-il correct de définir 1+1 par {A,B} + {A,B} ?

Encore faudrait-il dire ce que signifie "{A,B} + {A,B}".

Dans les fondements classiques des maths, on procède autrement pour définir les opérations arithmétiques.

par Crosswind Mer 23 Juin 2021 - 19:10

Du coup, c'est plus simple. Mais cela nous rapproche de nos chèvres. Chaque ensemble en bijection avec S est une chèvre en puissance, et chaque "1" écrit sur un écran, une entaille sur un bâton. Si l'on a 25 ensembles en bijection avec S, ou 25 chèvres en bijection avec une entaille, c'est kif kif.

par Leonhard Mer 23 Juin 2021 - 19:19

La définition de 1 comme étant "ce que tous les ensembles en bijection avec le singleton S ont en commun" signifie précisément que la nature de l'élément n'importe pas, mais seulement le fait qu'il y ait un élément.

Qu'ont en commun l'ensemble contenant une chèvre, l'ensemble contenant une entaille et l'ensemble contenant une pomme ? Le fait que ces ensembles contiennent le même nombre d'élément, peu importe la nature de cet élément. Autrement dit, cette définition de 1 fait abstraction, précisément, de la nature des choses pour ne garder que leur nombre.

Il en découle que le nombre 1 ne désigne plus une chèvre, ni une pomme, ni un quelconque objet particulier : il désigne plutôt ce que tous ces ensembles ont en commun, à savoir un seul élément. Ainsi défini, le nomnbre 1 n'est-il pas un universel donc l'existence est indépendante de ses éventuelles instances ?

par Crosswind Mer 23 Juin 2021 - 19:23

Leonhard a écrit:La définition de 1 comme étant "ce que tous les ensembles en bijection avec le singleton S ont en commun" signifie précisément que la nature de l'élément n'importe pas, mais seulement le fait qu'il y ait un élément.

Qu'ont en commun l'ensemble contenant une chèvre, l'ensemble contenant une entaille et l'ensemble contenant une pomme ? Le fait que ces ensembles contiennent le même nombre d'élément, peu importe la nature de cet élément. Autrement dit, cette définition de 1 fait abstraction, précisément, de la nature des choses pour ne garder que leur nombre.

Ils ont tous en commun d'être des objets définis, tout simplement. L'unité, ce n'est rien d'autre qu'un décompte d'objets. Libre à nous de décréter ce que doit être l'objet (par exemple, 1 ciel, 1 nuage (dans ce ciel mais l'oublie alors), 1 goutte d'eau (dans le nuage dans le ciel, tout autant oubliés alors).

L'unité, c'est un quelconque objet.

A moins qu'1 chose ne m'échappe (je ne suis pas mathématicien de formation).

par Leonhard Mer 23 Juin 2021 - 19:31

Crosswind a écrit:Ils ont tous en commun d'être des objets définis, tout simplement.

Il faudrait voir si ce trait commun, le fait d'être défini" est bel et bien un trait discriminant.

Prenons l'ensemble {a} qui contient comme seul élément la lettre "a", et l'ensemble {b, c} qui contient deux lettres "b" et "c".

Le nombre 1 désigne ce que tous les ensembles en bijection avec l'ensemble {a} ont en commun.

Le nombre 2 désigne ce que tous les ensembles en bijection avec l'ensemble {b, c} ont en commun.

Dans les deux cas, nous avons affaire à des objets définis, mais ce qui caractérise (ou distingue) 1 de 2 est un trait au-delà du simple caractère défini des objets, à savoir leur nombre.

par Crosswind Mer 23 Juin 2021 - 19:55

Vous questionniez plus haut l'indépendance du nombre 1, dans la définition mathématique contemporaine, vis-à-vis des entailles et des chèvres. Ce que je vois dans cette définition, c'est la généralisation d'un principe local. En somme, l'entaille du bâton ne représenterait plus une chèvre unique, mais n'importe quel objet du monde que notre homme de Cro-Magnon voudra bien placer abstraitement en tant qu'élément isolé d'un ensemble imaginaire, en bijection avec l'entaille. Il pourrait donc utiliser le même bâton pour toutes sortes d'activités. Mais en définitive, c'est lui qui décide des ensembles. Ils ne tombent pas tout crus du ciel.

par quid Mer 23 Juin 2021 - 23:37

Crosswind a écrit:Mais en définitive, c'est lui qui décide des ensembles. Ils ne tombent pas tout crus du ciel.

Certes, mais ce que dit Leonhard,

Leonhard a écrit:Dans les deux cas, nous avons affaire à des objets définis, mais ce qui caractérise (ou distingue) 1 de 2 est un trait au-delà du simple caractère défini des objets, à savoir leur nombre.

c'est qu'une fois qu'un ensemble est défini - c'est à dire par la nature commune de ses éléments (et ceci quelle que soit cette nature) - la distinction entre les nombres 1, 2 ou 3 est une distinction transversale que l'on retrouve pour toute nature d'ensemble, et qui donc n'incomberait pas à la nature des éléments.
De plus, le fait que les éléments soient au nombre de 1, 2 ou 3, est une propriété qui va plus loin que le simple fait que les éléments soient distinguables.

par Crosswind Mer 23 Juin 2021 - 23:48

quid a écrit:
Certes, mais ce que dit Leonhard, [...]
c'est qu'une fois qu'un ensemble est défini - c'est à dire par la nature commune de ses éléments (et ceci quelle que soit cette nature) - la distinction entre les nombres 1, 2 ou 3 est une distinction transversale que l'on retrouve pour toute nature d'ensemble, et qui donc n'incomberait pas à la nature des éléments.

Je suis d'accord avec la conclusions. La nature des éléments n'a rien à voir avec leur dénombrement. Un ensemble peut bien rassembler la Lune, un singe et l'idée du beau que ça ferait toujours trois, au sens de la définition par lui donnée.

quid a écrit:
De plus, le fait que les éléments soient au nombre de 1, 2 ou 3, est une propriété qui va plus loin que le simple fait que les éléments soient distinguables.

Là par contre, j'ai plus de mal à suivre. Le lien entre une chèvre et un trait sur un bâton n'est pas différent du lien entre un ensemble {a} et n'importe quel autre ensemble qui rencontrerait la bijection. En quoi le seraient-il? On dessine un ensemble de référence, et on dessine ce qu'on veut en vis-à-vis. Je ne vois pas le problème? Qu'est-ce que la problématique du nombre si ce n'est un tracé entre des points? Ce qui différencie {a} de {b,c}, c'est rien de moins qu'un trait sur un bâton sur les objets que l'on veut.

A moins qu'une subtilité ne m'échappe. Tout prêt à écouter ;-)

par quid Jeu 24 Juin 2021 - 0:09

Crosswind a écrit:En quoi le seraient-il? On dessine un ensemble de référence, et on dessine ce qu'on veut en vis-à-vis. Je ne vois pas le problème? Qu'est-ce que la problématique du nombre si ce n'est un tracé entre des points? Ce qui différencie {a} de {b,c}, c'est rien de moins qu'un trait sur un bâton sur les objets que l'on veut.

Et bien justement. Le nombre n'est pas une question de vis à vis, puisque s'il l'on prend les traits sur un bâton ils forme un ensemble de traits sans vis à vis, et pourtant on distingue 2 traits (le nombre 2 donc) et 5 traits (le nombre 5), au sein de ce même ensemble. Et l'on fera cette même distinction au sein d'un troupeau de chèvres sans pour autant être obligé de faire une bijection avec les traits du bâton. Il existe donc une bijection des ensembles dénombrables avec un ensemble particulier qui est l'ensemble des nombres entiers, qui existe par lui-même ou transversalement au sein des ensembles dénombrables.

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 0:28

L'être humain semble capable de distinguer naturellement jusqu'à 4 objets, je ne vois là rien d'étrange ni rien de mathématique. Lorsque l'enfant compte, il associe souvent, par exemple, une même couleur. Alors il prend sans réfléchir un bloc de couleur jaune, puis un autre, et encore un autre, et il saura qu'il a trois blocs jaunes. Il rassemble en un ensemble qu'il nomme "3" (ou n'importe quel autre signe). Mais il expérimente bien ces objets, il les vit, ces trois objets. Au-delà, il devrait compter avec une astuce (un bâton). Qu'est-ce que les mathématiques ont à voir ici, c'est ce que je me demande? Un ensemble {a} n'a rien de magique ou d'intriguant. C'est une boîte fourre-tout, sans plus. On y place ce que l'on veut.

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