Re: Qu'est-ce qu'un segment continu ?

[Magni]

Les réels vont jusqu'à la limite à l'infini.

L'infini n'est pas un réel, la limite avant l'infini est dans l'ensemble des réels.

1/0 n'est pas un réel

1/0+ est un réel, ce n'est pas l'infini, c'est la limite avant l'infini.

[Leonhard]

c'est la limite avant l'infini.

Ce qui ne veut rien dire. Quel est le plus grand nombre avant l'infini ? Ben... il n'y en a pas, justement, par définition de l'infini.

[Magni]

c'est la limite avant l'infini.

Ce qui ne veut rien dire. Quel est le plus grand nombre avant l'infini ? Ben... il n'y en a pas, justement, par définition de l'infini.

Les réels vont jusqu'à la limite à l'infini, sans atteindre l'infini, tu as le droit de ne pas le comprendre, mais ce n'est pas absurde.





Il n'y a pas de dernier nombre avant l'infini dans les réels parce que l'ensemble des réels est discontinu à cette limite.

Il y a un dernier nombre avant 0 parce que les réels sont continus en 0.

[Leonhard]

Quel est le nombre réel juste avant l'infini ?
Ajoute-lui un, et tu le dépasses.
Donc c'est absurde.

Le mathématicien Alain Connes racontait qu'un enfant de six ans avait déjà compris cela.

[Magni]

Es tu en train de contester que l'ensemble des réels va jusqu'à la limite à l'infini sans atteindre l'infini ?

[Leonhard]

Je conteste que 1/0+ soit un réel. Si c'est un réel, alors il correspond à l'ordonnée du point sur la courbe "juste avant" que x n'atteigne 0. Ce réel est donc plus grand que tous les réels qui existent sur l'axe vertical.



Un réel plus grand que tous les réels ? Eh bien, ça n'existe pas.

Cela prouve que le fameux point "juste à droite" de 0 n'existe pas, il n'a aucun sens. Donc 0+ ne désigne pas ce point, qui n'existe pas.

[Magni]

Dans les réels, on peut réaliser une bijection entre [-1;+1]  et  ]-∞;+∞[

Cela n'est pas absurde.






Pour tout A  élément de [-1;+1]; f(A) = A x (Pi/2)-

Pour tout B = f(A) ; g(B) = tan B





Est ce que tu contestes aussi que (Pi/2)- et (Pi/2)+ existent ?

[Leonhard]

Est ce que tu contestes aussi que (Pi/2)- et (Pi/2)+     existent ?

Absolument. Ce ne sont pas des nombres réels, tout comme 0+ n'est pas un réel, comme montré dans mon précédent message, dans lequel tu n'as pas pu trouver de faille.

Le simple fait de les écrire dans des calculs ne prouve pas leur existence. Tes calculs sont simplement absurdes, vides de sens, ce sont des pétitions de principe.

— µ n'est pas un nombre.
— Si, regarde, j'écris µ+2, donc c'est un nombre.

[Magni]

Les limites à droite et a gauche de Pi/2 existent
Si ce nombre n'existait pas, la limite de la tangente de ce nombre n'existerait pas.

Si 0+ n'existait pas, alors 1/x s'arrêterait avant la limite à l'infini.
Quand 0+ est la limite avant 0; 1/x est la limite avant l'infini.

Le seul argument que tu as depuis le début c'est de dire que les réels ne sont pas complet.
Les réels sont un ensemble complet, ce n'est pas de ma faute, inutile de t'énerver contre moi.





Le simple fait d'être désagréable et incivil ne te donne pas raison.
T'es en colère parce que tu paniques !
Ou alors t'es juste méchant ...
C'est à toi de voir.

[Leonhard]

Les limites à droite et a gauche de Pi/2 existent
Si ce nombre n'existait pas, la limite de la tangente de ce nombre n'existerait pas.

La "limite de la tangente de ce nombre" (expression qui n'a aucun sens) n'existe effectivement pas : ce n'est pas un nombre réel. Les limites à droites et à gauche de tan x en pi/2 sont infinies, et l'infini n'est pas un nombre réel. Voilà pourquoi tan(pi/2^-)=+infini n'est pas une égalité entre nombres : parce que pi/2^- et +infini ne sont pas des nombres.

Le simple fait d'être désagréable et incivil ne te donne pas raison.
T'es en colère parce que tu paniques !
Ou alors t'es juste méchant ...
C'est à toi de voir.

Pourquoi ces ad hominem ? Ça n'a pas rapport avec le sujet.

[Magni]

Tes calculs sont simplement absurdes, vides de sens, ce sont des pétitions de principe.

Pourquoi ces ad hominem ?

T'es en colère ou t'es méchant ?





Je t'ai déjà demandé plusieurs fois d'arrêter de me parler avec mépris, tu insistes.

Encore une fois,
je te demande d'arrêter de parler de moi.


Vas tu continuer à parler de moi ou va tu enfin arrêter ?

[Magni]

Les limites à droite et a gauche de Pi/2 existent
Si ce nombre n'existait pas, la limite de la tangente de ce nombre n'existerait pas.

La "limite de la tangente de ce nombre" (expression qui n'a aucun sens) n'existe effectivement pas : ce n'est pas un nombre réel. Les limites à droites et à gauche de tan x en pi/2 sont infinies, et l'infini n'est pas un nombre réel. Voilà pourquoi tan(pi/2^-)=+infini n'est pas une égalité entre nombres : parce que pi/2^- et +infini ne sont pas des nombres.

tan(pi/2)-    n'est pas (+infini); j'ai écris exactement le contraire.

tan(pi/2)-    est un réel, ce n'est pas égal à l'infini mais à la limite avant l'infini. Et le savais tu ?, les réels vont jusqu’à la limite avant l'infini.



L'infini c'est la limite de tangente de x en x= (Pi/2)-
Pour les limites, avant la borne, après la borne, c'est pareil, le savais tu ?


Encore une fois:

Attention : La limite de la fonction en un point n'est pas le produit de la fonction au point de limite.

[Leonhard]

tan(pi/2)-    est un réel, ce n'est pas égal à l'infini mais à la limite avant l'infini.

Ce qui ne veut mathématiquement rien dire. Souligner un mot ne suffit pas pour lui donner du sens. On parle de limite d'une fonction ou d'une suite, en précisant la valeur cible de la variable de cette fonction, ou celle de l'indice des termes de la suite. "Limite avant l'infini", c'est du verbiage inventé.

[Magni]

L'ensemble des réels va de la limite en moins l'infini jusqu'à la limite en plus l'infini.

Explique moi de quelle fonction vient la limite avant l'infini de l'ensemble des réels.




Pourquoi utiliser le mot "verbiage"
T'es méchant ou t'es en colère ?

[Leonhard]

L'ensemble des réels va de la limite en moins l'infini jusqu'à la limite en plus l'infini.

Ça n'a aucun sens.
Ce qui est correct, c'est : "les réels vont de moins l'infini jusqu'à plus l'infini non inclus". Symboliquement, c'est R = ]-infini, +infini

t sensé.

[quote="Magni"]Explique moi de quelle fonction vient la limite avant l'infini de l'ensemble des réels.

C'est à toi de définir le sens de tes expressions. La "limite de l'ensemble des réels", ça ne veut rien dire. Encore une fois, on parle de limite d'une fonction ou d'une suite, pas d'un ensemble.

Pourquoi utiliser le mot "verbiage"
T'es méchant ou t'es en colère ?

Encore un ad hominem...
Le mot "verbiage" désigne une "abondance de paroles vides de sens ou qui disent peu". C'est le cas, donc j'utilise le bon mot. Il n'y a aucun sentiment derrière.

[Magni]

L'ensemble des réels va de la limite en moins l'infini jusqu'à la limite en plus l'infini.

Ça n'a aucun sens.
Ce qui est correct, c'est : "les réels vont de moins l'infini jusqu'à plus l'infini non inclus". Symboliquement, c'est R = ]-infini, +infini[

C'est exactement la même chose !

Tu n'as absolument aucun argument, la seule chose qui te reste c'est d'avoir une attitude détestable et pinailler sur les termes comme si je n'avais pas le droit de dire "aller jusqu'à la limite en plus l'infini" au lieu "aller jusqu’à plus l'infini non inclus".

C'est toi qui viens d'inventer une façon de désigner les réels sans le mot "limite" afin de tenter de prouver que tu as raison, ça ne change rien, tous les ensembles de nombre des mathématique sont limités.

Quelle est la différence entre "aller jusqu'au poteau non inclut" et "aller jusqu’à la limite du poteau" ?
Il n'y a aucune différence, et tu prétends le contraire et tu pratiques l'insulte pour couvrir le fait que tu t'es trompé, non ce n'est pas vrai que les limites n'ont de rapport qu'avec les fonctions, tu as tord et tu ne peux pas répondre à ma question, alors tu fais le méchant, comme si être insultant pouvait te donner raison.

Tu confonds limite de fonction et produit de fonction, tu ne sais pas que les limites s'appliquent sur les ensembles de nombres, et tu dis que tu as le droit de faire de l'ad hominem contre moi parce que c'est vrai que je le mérite. Tu te trompe sur les règles de math et tu te trompe sur les règles de la bienséance.

Même si tu relèves une erreur dans des propos cela ne te donne pas le droit de pratiquer le mépris et l'insulte en disant que c'est justifié parce que c'est vrai.
Ton attitude incivile ne peut pas couvrir le fait que tes arguments sont fallacieux. Apprend que l'ensemble des réels à des limites.

Et maintenant je te le demande encore, arrête de faire des attaques personnelles contre moi, et cesse de dire que tu as le droit de le faire.
S'il te plait.

[quid]

En fait, la contradiction que tu as obtenue montre seulement que l'hypothèse soulignée est fausse. En effet, la longueur de [0, b[ est b.

L’hypothèse soulignée est celle-ci :

Soit l'intervalle ouvert O = [0 ; b[ on a donc ∀p ∈ O, p < b
Il en résulte que Lg(O) < b

Et donc tu soulignes toi que la longueur de O est b (Lg(O) = b) car :

De façon général, un intervalle de bornes a et b, qu'il soit ouvert, fermé ou semi-ouvert, est de longueur fixe b-a.

Mais mon hypothèse en est plus qu'une, puisque cela vient de la définition même de l’intervalle :
{ ∀p ∈ O = [0 ; b[ ,  p < b }

Tu ne manques d’ailleurs pas de disqualifier ma résolution de la contradiction par l’assertion suivante que j'ai produite { {m} dans [0 , b[ et (m = b) }, cela au nom de cette définition :

Si m=b, alors m est hors de [0, b[ et n'est pas le dernier élément de cet intervalle.

Tu dis :

Et si m est dans [0, b[, alors cet intervalle serait [0, m], mais m < b et l'intervalle n'est alors pas de longueur b.

Or l’assertion {∀p ∈ O = [0 , b[,  p < b} dit exactement cela, que tous les éléments de l’intervalle O sont inférieurs à b.

Comment peux-tu donc à la fois dire que :

- Si (m < b) alors l’intervalle [0, m] n’est pas de longueur b
- et qu'un intervalle où absolument tous les éléments "p" sont inférieurs à "b" (p < b) peut être de longueur b ?

D’ailleurs, tu ne manques pas à chaque fois de faire remarquer, qu’à tout élément « p » de [0 , b[, on trouvera toujours un élément plus grand, par exemple (p+b)/2.

Prenons donc l’élément 0 de [0 , b[ et voyons s’il peut être le plus grand élément ?
Non car l’on peut trouver (0+b)/2 = b/2 comme élément encore plus grand.
Quel est alors la longueur de l’intervalle [0 ; b/2] ? « b/2 » et non pas « b »

En recommençant l’opération, on trouvera l’élément ((b/2)+b)/2 = 3b/4 et l’intervalle [0 ; 3b/4] donc une longueur d’intervalle de 3b/4. Et en continuant, on trouvera toujours des intervalles de longueur inférieure à b.

Donc si l’on suit ce raisonnement, quelques soit « p », étant donné que l’on peut toujours trouver un élément plus grand que « p », la longueur b ne peut jamais être atteinte.

Si entre n’importe quel élément de « p » on trouve toujours une distance suffisante pour y insérer un élément, ce que tu ne manques pas de faire remarquer, comment peux-tu à la fois soutenir que l’on puisse obtenir que la longueur de [0, b[ soit égale à b ?

[Magni]

Le mot du jour : intervalle.

Ce mot va, aimablement, nous aider à comprendre ce qu'est un segment continu.





Dans l'ensemble des réels, il y a des intervalles, parce c'est un ensemble continu.

Dans l'ensemble des rationnels, il n'y a pas d'intervalle, aucun.
Il n'y a pas d'intervalle dans Q parce que les rationnels ne se touchent pas. Tous les rationnels sont des singletons isolés; les rationnels sont un ensemble discret. Si deux intervalles ne se chevauchent pas, leur réunion ne forme pas un mais deux intervalles avec un trou entre les deux. Si aucun point ne se touche et qu'il y a des trous à droite et à gauche de chaque point, alors il n'y a aucun intervalle.

Dans l'ensemble des réels, qui contient les rationnels, on peut avoir un intervalle entre deux nombres distincts. Car il n'y a aucun trou dans les réels, les transcendants bouchent les trous entre les rationnels (les trous qui ne sont pas déjà bouchés par les algébriques irrationnels).









C'est parce que les rationnels ne se touchent pas entre eux qu'il n'y a aucun intervalle dans les rationnels.

C'est parce que les points se touchent les uns les autres en continu et qu'il n'y a aucun trou dans les réels que les intervalles existent dans les réels. L'ensemble des réels au complet est un intervalle.

[Leonhard]

En réponse à quid, je vais procéder dans l'ordre. Je vais écrire des parenthèses () à la place des crochets [], car ces derniers génèrent des bugs d'affichage.

Nous nous posons deux questions :

1. Quelle est la longueur de l'intervalle (0, b(, où b est un nombre réel ?
   
2. L'intervalle (0, b( possède-t-il un élément maximal ?
   

Les réponses mathématiques sont respectivement "b" et "non". Mais on ne va pas l'admettre d'emblée, puisque c'est ce qu'il faut démontrer.

Toute démonstration nécessite une base préalable. Pour répondre à quid, voici ma base :

• Proposition 1 : Tout intervalle fermé de la forme (x, y) est de longueur y-x.
  
• Proposition 2 : Un intervalle contient un élément minimal x et un élément maximal y si et seulement s'il est un intervalle fermé de la forme (x, y).
  

Si tu acceptes ce point de départ, alors on peut continuer.


1. Quelle est la longueur de l'intervalle (0, b(, où b est un nombre réel positif ?

Théorème 1 : (0, b( est de longueur b.

Preuve : (0, b) est l'union des parties disjointes (0, b( et {b}. Donc :

longueur(0, b) = longueur(0, b( + longueur{b}.

Or, longueur(0, b) = b et longueur{b} = longueur(b, b) = 0 (Proposition 1). Il en découle que :

b = longueur(0, b(+0
b = longueur(0, b(.

CQFD.


2. L'intervalle (0, b( possède-t-il un élément maximal ?

Théorème 2 : L'intervalle (0, b( ne possède pas d'élément maximal.

Preuve : procédons par l'absurde et supposons qu'il existe un élément maximal noté m dans (0, b(. Dans ce cas, (0, b( est en réalité de la forme (0, m) (Proposition 2). Par conséquent, sa longueur vaut m puisque :

longueur(0, b( = longueur(0, m) = m (Proposition 1).

Or, par définition, m est dans (0, b(, donc m < b. Donc longueur(0, b( < b.

Ceci contredit le Théorème 1 déjà démontré, donc l'hypothèse soulignée est fausse.

Par conséquent, il n'existe pas d'élément maximal dans (0, b(.

CQFD.


Il résulte de ceci que ce petit saut de raisonnement est invalide :

Soit l'intervalle ouvert O = [0 ; b[ on a donc ∀p ∈ O, p < b
Il en résulte que Lg(O) < b

La première ligne est vraie, mais la seconde est fausse. On peut donc conclure que la première ligne n'impliquait pas la seconde.

Si entre n’importe quel élément de « p » on trouve toujours une distance suffisante pour y insérer un élément, ce que tu ne manques pas de faire remarquer, comment peux-tu à la fois soutenir que l’on puisse obtenir que la longueur de [0, b[ soit égale à b ?

Parce que la longueur de (0, b( n'est égale à un de ses éléments p que si p est son élément maximal. Or, le Théorème 2 asserte qu'un tel élément n'existe pas dans (0, b(. Par conséquent, la longueur de (0, b( ne vaut aucun de ses éléments p. Ces derniers ont beau être < b, cela n'a aucun impact sur la longueur de l'intervalle. Voilà pourquoi la longueur de (0, b( peut être b (Proposition 1) alors qu'il ne contient que des éléments < b.

Ce qui rend cela possible, c'est évidemment que b est une borne supérieure (mais pas un élément maximal) de (0, b(. En fait, pour tous les intervalles (x, y), (x, y(, )x, y), )x, y(, les nombres x et y sont respectivement la borne inférieure et la borne supérieure. Et on a, en réalité, le théorème suivant :

Théorème 3 : la longueur d'un intervalle est la différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Ce théorème peut se démontrer comme le Théorème 1.

[Magni]

Soit l'intervalle fermé  F = [0 ; b]
La longueur de F est (b - 0) = b, notons la Lg(F) = b

Soit l'intervalle ouvert O = [0 ; b[ on a donc ∀p ∈ O, p < b
Il en résulte que Lg(O) < b

Soit l'intervalle de type singleton S = {b} = [b ; b]
Lg(S) = (b - b) = 0

F = [0 ; b] = [0 ; b[ ∪ [b ; b] = O ∪ S avec O ∩ S = ∅
On devrait donc avoir Lg(F) = Lg(O) + Lg(S)

Puisque Lg(S) = 0 alors Lg(F) = Lg(O) et donc Lg(F) - Lg(O) = 0

Mais Lg(F) = b et Lg(O) < b donc Lg(F) - Lg(O) > 0, ce qui est contradictoire

O = [0 ; b[ doit donc permettre d'avoir, et donc d'inclure, un élément {m} ≠ {b} et avant {b} tel que m = b, afin que Lg(O) puisse être égal à b.
Cet élément {m} est un plus grand élément de O car avec une différence numérique de 0 avec {b}, ce qui en fait la distance la plus proche possible de {b}. De plus, l'ensemble F étant ordonné, {b} n'a qu'un seul prédécesseur de la sorte, ce qui fait de {m} l'unique plus grand prédécesseur de {b}.

Leonard a raison sur certains points de sa contradiction sur la forme de tes affirmations, il a tord sur le fond.



Toute longueur, toute mesure, est algébrique.

La longueur de [0 ; b] est la même que la longueur de [0 ; b[

C'est comme la limite d'une fonction, c'est algébrique. La limite du point le plus proche de b est b, même si b est exclut du segment.
Ce n'est pas comme la topologie qui est bijective avec les réels, le point le plus proche de b qui est a gauche de b est b-.

Donc, la limite "à gauche" de b est b-.
Et la limite en b, b étant exclue du segment, est b.



La distance entre b et b- est la même distance qu'entre 0 et 0-, c'est totalement non mesurable car il n'y a aucune partie algébrique dans le nombre 0-.

Sauf que b- n'est pas b, il y a deux points qui ne sont pas le même point, mais ce ne sont pas des points distincts, car la mesure algébrique entre les deux est nulle, mais topologiquement, b- est à gauche de b.

Et c'est ce que Leonhard ne comprend pas, nous ne sommes pas dans les rationnels.
Entre deux rationnels les plus proches possible, il y a toujours une distance algébrique qu'on peut couper en deux.
Mais entre deux réels les plus proches possible, ce n'est pas le cas. On ne peut rien mettre entre la limite à gauche de b qui est b- et la limite en b exclut qui est b. Et c'est la seule chose qui in fine, fait que les réels sont un ensemble continu, si on refuse ou si on n'est pas capable de reconnaître cette propriété on retombe dans le dénombrable discontinu.


Attention : entre deux réels strictement différents, si l'un est strictement supérieur à l'autre, alors il y a une distance mesurable, et on peut aussi mettre des algébriques.

Cependant il ne faut pas mélanger la notion de différence algébrique et la notion de différence topologique.
Entre deux points qui ont une différence topologique, il n'y a pas forcément une différence algébrique.
La limite à gauche de b est b-, la limite en b exclut est b, la distance mesurable et algébrique entre b- et b est nulle.




Algébriquement, 0- ou 0 c'est pareil, la limite en b ou la limite en b exclu c'est pareil.
C'est pour cela qu'on a besoin des "limite à gauche" et "limite à droite", parce que à l’approche de x=0;    1/x n'a pas du tout le même résultat si on est topologiquement avant (moins l'infini); pendant (1/0 n'est pas un réel, pas de solution) ou après zéro (plus l'infini).
La limite à gauche de 0 ou la limite en 0 exclu c'est pareil au niveau de la mesure, mais la limite en zéro exclus n'est pas négative, alors que la limite a gauche de zéro est négative. Cela prouve que 0 et 0- sont topologiquement différent, même si la distance entre ces deux points est nulle.





Algébriquement la mesure de [0 ; b] et la mesure de [0 ; b[ c'est pareil.
Mais topologiquement, le segment [0 ; b[ ne contient pas le point b


Et c'est la preuve qu'il n'y a pas de distance entre b- et b.
car la mesure de [0 ; b-] et la même mesure que [0 ; b[
C'est le résultat qu'il faut retenir, c'est la preuve que la distance mesurable entre b- et b est nulle.

Et le fait de dire que b- n'existe pas est absurde, la limite à gauche de b existe et c'est b-. C'est un résultat mathématique bien établit.





Voila ce qui caractérise des points qui se touchent et réalisent le continu : deux points qui ne sont pas le même point topologique mais dont la distance algébrique entre les deux est nulle.

Attention : Le point b n'est pas un intervalle, un intervalle est une distance entre des points.

il y a une différence entre un intervalle de longueur nulle et pas d'intervalle du tout.

[b] n'est pas un intervalle.
[b- ; b] est un intervalle de longueur nulle.








Tout le qui pro quo avec Leonhard repose sur le fait que quand on dit "deux point différents (topologiquement)",  Leonhard comprend "deux point différents (algébriquement)".
Leonhard ne comprend pas qu'il y a une différence entre le topologique et l'algébrique, il reste toujours dans un environnement ou il y a des trous entre tout ce qui est différent et ou on peut mettre de nouveaux nombres parce que l'ensemble n'est pas complet. Les réels sont complets, il n'y a aucun trou. Le fait que Leonhard se débrouille toujours pour trouver un trou pour mettre un nombre prouve qu'il n'applique ses démonstrations que dans des environnements avec des trous, non continu et non complet.


Leonhard réfute l'existence du continu dans les réels, il considère que les arguments de Zénon s'appliquent aux réels où tout mouvement est toujours impossible. Pour lui les réels de Leibniz ou les rationnels de Pythagore ont les mêmes caractéristiques, il croit qu'il peut toujours trouver des trous pour mettre de nouveaux nombres.


Il ne conçoit pas le concept de mesure qui existe et qui est de dimension nulle, il croit que deux surface topologiquement différentes ont forcément une distance non nulle entre les deux et donc qu'il existe un volume non nul entre deux surfaces qui se touchent comme la peinture touche le mur, de la même façon qu'il croit qu'il existe toujours une distance non nulle entre deux points.

Il ne comprend pas qu'une couche de peinture peut coller à une surfaces et que deux surfaces distinctes topologiquement puisse ne pas être distincte algébriquement au niveau de la mesure. Pour lui l'intervalle entre deux surfaces infinie topologiquement différentes est forcément non nul et contient par conséquent forcément un volume infini.

Leonhard n'a aucun idée de ce qu'est l'ensemble des réels et ce que représente la topologique du continu.

[Magni]

Mesure de longueur nulle



Ensemble de Besicovitch



La mesure de Lebesgue est la somme des mesures de un ou plusieurs segments.


Un ensemble de Besicovitch est la réunion sur un plan de deux segments adjacents perpendiculaires. Deux segments unitaires = deux fois un seul segment.
Donc, on peut avoir deux segments adjacents dont la longueur est nulle et qui contiennent une infinité non dénombrable de points dont la quantité est Aleph1.

Si on prend seulement un des deux segment d'un ensemble de Besicovitch, on obtient aussi un segment de longueur nulle qui contient une quantité indénombrable de points et qui est bijectif sur R.

[Magni]

Le fait est que dans les math "usuelles", sur une droite métrée, obtenir un segment de longueur nulle incluant une infinité de points ne sert à rien, car le segment est toujours dans la direction de la droite. On sait déjà (ou on devrait le savoir) qu'on a des points partout, que la mesure nulle entre deux points topologiquement différents est possible car il n'y a aucun trou, et que tous les points sont alignés dans le sens de la droite. On n'a aucune information utile complémentaire avec la mesure algébriquement nulle d'un segment topologiquement non nul sur une droite. Et comme cela ne sert à rien c'est peu enseigné mais ce n'est pas parce qu'on ignore une chose que cette chose disparaît.


Dans un espace à plusieurs dimensions, le sommet d'un tétraèdre est adjacent avec trois arêtes, qui sont trois directions différentes.
En l'absence d'un segment, on n'a pas de direction.
Avec un segment de longueur nulle, on n'a pas de mesure algébrique mais on a une direction topologique, et c'est utile.




Dans un ensemble de Besicovitch de mesure de Lebesgue nulle, les deux segments restent perpendiculaires, ils ont chacun une direction différente.
Un singleton n'a pas de direction, il faut plusieurs ensembles de plusieurs points pour donner deux directions perpendiculaires.
C'est une démonstration, s'il en fallait, que l'information au niveau topologique du continu va au delà de ce qui est réalisable en restant seulement au niveau algébrique.
Deux segments de longueur nulle perpendiculaires définissent un plan dans un espace 3D.

Un segment de longueur nulle contenant autant de point que R sur une droite ne défini rien du tout, ça n'apporte aucune information de plus que n'importe quel point du segment, mais ça existe.



Par contre, comme il y a plusieurs singletons dans un segment de longueur nulle qui défini une direction, on peut trouver plusieurs fonctions avec différentes limites qui pointent vers plusieurs singleton différents.

Si x est le milieu topologique du segment de longueur nulle, la limite a gauche de x est x-, la limites à droite de x est x+.
x-; x et x+ sont trois points différents.
La mesure entre x et x- est nulle, en dessous de la capacité de discernement de l'algèbre, on ne peut mettre aucun nombre algébrique dans un espace algébriquement nul.



Il est nécessaire que les nombres transcendants aient la puissance du continu sans la participation des nombres hyper réels.
Car l'ensemble des réels est continu et il n’inclut par la classe des nombres hyper réels.

[quid]

@Leonhard

Tu dis en substance dans le Théorème 2 que :

Etant établi que :
- La longueur d’un ensemble ouvert à droite (0, b( = b (Théorème1)
- Pour tout m dans (0, b(, m < b.
- La longueur d’un ensemble fermé (0, y) est y :  longueur(0, y) = y
- m est maximal dans (0, m)
- Pour tout m dans (0, b(, la longueur du sous-ensemble de (0, m) de (0, b( a pour longueur m : longueur(0, m) = m
Alors :
- Quelques soit m dans (0, b(, la longueur(0, m) < b
- Il n’existe pas d’élément m de (0, b( tel que longueur(0, m) = b
Or :
- Si m est un élément maximal de (0, b(, il doit appartenir à (0 , b( qui peut alors aussi s’écrire (0, m).
- On obtiendrait cependant longueur(0, b( < b en même temps que longueur(0, b( = b.
- Ou autrement dit, la longueur(0, b( étant égal à b, il ne peut pas exister d’élément m de (0, b( tel que longueur(0, m) = b

Maintenant :
Si :
- Pour tout m dans (0, b(, m < b.
- Pour tout m dans (0, b(, la longueur du sous-ensemble de (0, m) de (0, b( a pour longueur m : longueur(0, m) = m
Alors :
- Il n’existe pas de sous-ensemble de (0, b( qui ait pour longueur b (ici ce n’est pas une question de maximum)
Or :
- Un ensemble étant l’union de ses sous-ensembles, (0, b( ne peut être de longueur plus grande que tous ses sous-ensembles.

Ici, j’ai utilisé l’argumentaire mathématique du Théorème 2 pour montrer la contradiction avec le Théorème 1. Dois-je en conclure que le Théorème 1 est une hypothèse fausse comme tu l’as fait avec l’hypothèse de l’élément maximal ? Ou plutôt que l'argumentaire du Theorème 2 fait l’impasse sur certaine problématique amenant à la contradiction ?

@Magni
Je suis presque entièrement d'accord avec ce que tu dis ici :

Leonard a raison sur certains points de sa contradiction sur la forme de tes affirmations, il a tord sur le fond.

Toute longueur, toute mesure, est algébrique.

La longueur de [0 ; b] est la même que la longueur de [0 ; b[

C'est comme la limite d'une fonction, c'est algébrique. La limite du point le plus proche de b est b, même si b est exclut du segment.
Ce n'est pas comme la topologie qui est bijective avec les réels, le point le plus proche de b qui est a gauche de b est b-.
...

Globalement, s'il y a une limite mathématique, c'est celle-là et pas une autre, ni une plus loin, ni une avant.
Et donc il y a bien un rapport entre les prédécesseurs ou les successeurs de cette limite. Cela veut sans doute dire que cette limite est atteignable vers l'infini.

Le seul point de désaccord, c'est que je pense que l'on devrait pouvoir considérer tout les ordres denses comme continus.
Ainsi, même les rationnels tendent vers une limite et donc vers un intervalle rationnel égal à 0.
A l'infini, on trouvera un écart entre deux éléments successifs de l'ensemble qui est nul. Nul, sous-entendu sans élément intermédiaire du même ensemble.
La question est qu'elle est la distance entre deux éléments consécutifs, le trou ne faisant pas parti de la distance ?
(Par exemple, pour les entiers naturels, cette distance c'est 1)

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En fait je suis complètement d'accord avec le fait que la longueur de l'intervalle ouvert (0 ; b( soit b.
Seulement, une partie de l'argumentaire mathématique de Leonhard permet de démontrer le contraire et cela ne lui pose pas de problème, du moment que cela permet de conforter sa position. Pour moi cela ressemble plus à un tour de passe-passe au travers de recettes mathématiques. Il fait complètement du Zénon dans la méthode, et forcément il y a un loup.

Mais bon, je vois que l'on n'est pas d'accord avec Leonhard et je n'ai pas envie de rentrer dans des considérations mathématiques plus avant. Ca aurait pu être intéressant, mais sa prend une tournure pas très productive. Ou une démarche productive qui demanderait des compétences mathématiques poussées que je n'ai pas. Du coup je ne vois pas trop l'intérêt.

[Leonhard]

Or :
- Un ensemble étant l’union de ses sous-ensembles, (0, b( ne peut être de longueur plus grande que tous ses sous-ensembles.

Réflexion intéressante, et y répondre exigera de la technicité, car on va parler de la mesure d'une union infinie d'intervalles.

Je précise d'abord le contexte : en maths, la théorie qui formalise la notion de "taille d'un objet", c'est la théorie de la mesure. Lorsqu'on l'applique au cas particulier des nombres réels, on obtient la formalisation rigoureuse de ce qu'est la "longueur" d'un intervalle (et de tout sous-ensemble de R, en fait). Cette théorie n'est enseignée que dans les études de mathématiques pures (qui furent les miennes), à partir de la 3e année de licence. Je ferai mon possible pour vulgariser ses résultats, mais son accessibilité restera inévitablement limitée. Voici un exemple de document de cours qui parle précisément du sujet (ici). La lecture du premier paragraphe permet de donner une idée.

Je reviens maintenant à ton intervention.

Or :
- Un ensemble étant l’union de ses sous-ensembles, (0, b( ne peut être de longueur plus grande que tous ses sous-ensembles.

Tu aurais raison si (0, b( était une réunion d'un nombre fini d'intervalles fermés de type (0, p). Dans une telle situation, le plus grand des p existe nécessairement (puisqu'il y en a un nombre fini), et c'est lui qui déterminerait la longueur totale qui serait effectivement < b.

Cependant, (0, b( n'est pas une réunion d'un nombre fini d'intervalles de type (0, p) : quel que soit le p<b que l'on prend, il existera toujours un p' tel que p<p'<b, et (0, p') sera un nouveau sous-intervalle à ajouter à l'union, et ce processus n'a pas de fin. Pour exprimer (0, b( sous forme d'union, il est donc nécessaire de prendre l'union d'une infinité d'intervalles, par exemple comme ceci :



Il reste à déterminer la longueur de (0, b( à partir des longueurs de chaque intervalle fermé (0, b-1/n). Nous sommes dans la situation où chaque intervalle de rang n est inclus l'intervalle de rang n+1 :



Dans cette situation, la longueur de (0, b( peut être obtenue sous la forme de la limite suivante :



Ce calcul fait usage de la propriété 4 de la Proposition 4.14 de ce document (page 18), dans lequel la "longueur" est notée µ.

Cette démonstration permet de voir que la longueur de (0, b( est bel et bien b, donc supérieure à la longueur de tout sous-intervalle fermé (0, p). Le truc, c'est qu'il y a une infinité de ces p, qu'ils couvrent densément tous les nombres réels < b et qu'il n'y en a pas de plus grand. C'est pour ça que collectivement, ils s'étendent plus loin que n'importe lequel d'entre eux, ce qui se traduit mathématiquement par la présence d'une union infinie et d'une limite.

Le caractère convaincant de cette démonstration dépendra malheureusement de l'accessibilité de son langage.

En tout cas, je tiens à dire que ta question est très bonne.

[Leonhard]

A l'infini, on trouvera un écart entre deux éléments successifs de l'ensemble qui est nul. Nul, sous-entendu sans élément intermédiaire du même ensemble.
La question est qu'elle est la distance entre deux éléments consécutifs, le trou ne faisant pas parti de la distance ?
(Par exemple, pour les entiers naturels, cette distance c'est 1)

Si l'on suppose l'existence d'éléments consécutifs, alors compte tenu de la densité des rationnels et des réels, la distance entre deux éléments consécutifs est nécessairement zéro. Le problème, c'est que si deux nombres x et y on un écart de zéro, ça signifie que x-y=0, qui équivaut à x=y. Autrement dit, deux nombres consécutifs d'écart zéro ne forment qu'un seul nombre. Par conséquent, si tous les réels étaient consécutifs de proche en proche, cela signifierait qu'ils seraient tous confondus en un seul et unique point. Intuitivement, cela correspond au fait que si un point n'a pas d'épaisseur, alors deux points qui se touchent sont carrément superposés et ne peuvent pas former une étendue.

On ne peut pas non plus défendre que deux nombres consécutifs sont à la fois égaux, tout en étant distincts : il est logiquement impossible que x=y et x≠y en même temps, par principe de non-contradiction*.

On voit donc que si on supposait l'existence d'éléments consécutifs, alors il n'existerait qu'un seul nombre réel ! Vu cette absurdité, cette supposition est donc fausse.

L'enjeu reste d'élucider comment une droite peut être "sans trou", alors que deux points ne sont jamais voisins directs (prochain message).


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* Certains voudraient, de façon ad hoc, invoquer soudainement une autre relation d'"égalité" qui serait "topologique", pour pouvoir dire que deux réels successifs seraient à la fois égaux et "inégaux". Cela n'a aucun fondement : dans la théorie axiomatique des réels, il n'y a qu'une seule relation d'égalité, qui n'est ni algébrique, ni topologique, mais antérieure à tout cela; elle est logique (cf. par exemple cette page). Toutes les approches (algébrique, topologique, ...) de l'ensemble des réels se fondent sur cette relation d'égalité donnée préalablement. Le caractère "continu" des réels est déjà établi par l'approche axiomatique de base des réels, nul besoin d'y ajouter des considérations "topologiques" qui, de toute façon, ne contredisent pas les propriétés de base des réels (comme l'inexistence d'éléments voisins, etc.).

[Leonhard]

Tentative de vulgarisation : qu'est-ce que la continuité ?

Les axiomes de base des nombres réels en font un ensemble "continu" au sens où les réels forment une étendue ininterrompue, sans "trou". En même temps, deux réels différents sont toujours séparés par un autre réel, en particulier par un rationnel. Cela signifie que deux réels différents ne se "touchent" jamais. Comment peuvent-ils alors former une étendue "continue" ?

On pourrait le voir en deux phases.

1/ Le fait qu'il y ait toujours des réels entre deux réels différents est plutôt une bonne nouvelle ! Cela signifie que tout écart entre deux réels est toujours peuplé d'autres réels qui viennent justement boucher l'écart. Cette propriété de densité, au lieu d'être un obstacle à la "continuité", en serait plutôt une condition nécessaire.

Mais elle n'est pas une condition suffisante : les rationnels ont également la même propriété, mais l'étendue des rationnels est parsemée de "trous". Mais qu'est-ce qu'un "trou" dans un monde où deux points différents ne se touchent jamais ? Comment formaliser le concept de "trou" dans un ensemble qui possède la propriété de densité ? Les points n'ayant pas d'épaisseur, cela n'aurait pas de sens de dire qu'il s'agit d'un "espace vide entre deux points qui correspond à la place qu'aurait occupée un point", puisqu'un point ne possède précisément aucune étendue.

2/ L'idée est qu'un "trou" peut être conçu comme étant la limite d'une suite d'intervalles emboîtés au sens suivant :

• chaque intervalle de la suite contient strictement le suivant,
  
• la longueur des intervalles tend vers zéro.
  

Dans une telle suite d'intervalles fermés, les bornes se resserrent progressivement et, à l'infini, tendent vers un intervalle-limite de la forme [a, a], c'est-à-dire un singleton, un point isolé. Ce point isolé est le seul qui appartienne à tous les intervalles sans exception, il constitue leur intersection. Cette façon de capturer un point isolé est intéressante car on peut capturer un irrationnel avec des intervalles dont les bornes sont rationnelles.

En effet, avec cette approche, on constate que l'étendue des rationnels contient des "trous". Par exemple, il y a un trou en √2, que l'on peut capturer par la suite d'intervalles définie comme suit :

1. On prend une suite croissante de rationnels inférieurs à √2, qui tend vers √2. Notons (a_n) les éléments de cette suite. Une telle suite existe car tout réel est la limite d'une suite de rationnels (propriété de densité des rationnels dans les réels). Si vous voulez un exemple concret d'une telle suite, il suffit de demander.
   
2. On prend une suite décroissante de rationnels supérieurs à √2, qui tend vers √2. Notons (b_n) les éléments de cette suite.
   
3. On a alors la suite des intervalles [a_n, b_n] qui enserrent tous √2, et dont les deux bornes tendent vers √2. L'intervalle-limite est donc bien [√2, √2], c'est-à-dire le singleton {√2}. On vient de "saisir" √2 par le biais d'une suite d'intervalles fermés emboîtés dont les bornes sont toutes des rationnels. C'est ainsi que l'on peut exprimer la présence d'un élément non rationnel (donc, un "trou" dans les rationnels) en n'utilisant que les rationnels eux-mêmes.
   

Le fait que les rationnels possèdent un "trou" s'énonce alors ainsi : il existe une suite infinie d'intervalles emboîtés de bornes rationnelles dont l'intersection n'est pas un rationnel. Cette intersection vide est, précisément, le "trou".

On peut alors généraliser ce critère en le formulant ainsi :

Un ensemble E contient des "trous" s'il existe une suite infinie d'intervalles emboîtés dont les bornes appartiennent à E, mais dont l'intersection ne contient pas d'élément de E.

Enfin, on peut définir le contraire de "contenir des trous" en disant :

Un ensemble E est complet ("continu") si toute suite infinie d'intervalles emboîtés dont les bornes appartiennent à E possède une intersection contenant bel et bien un élément de E.

L'ensemble des réels satisfait à ce critère : c'est ce qu'énonce exactement le théorème des fermés emboîtés. Cela signifie que quel que soit le point isolé que l'on saisit au moyen d'une suite d'intervalles emboîtés dont les bornes sont réelles, ce point est encore un réel. Autrement dit : il est impossible, dans les réels, de saisir un "trou", un "non réel".

Ceci montre non seulement que les réels sont plus nombreux que les rationnels, mais aussi que les réels suffisent pour avoir une étendue "continue".

Voilà comment, en mathématiques, l'idée de "continuité" des réels a été établie. L'absence de "trou" n'est pas assurée par la présence chimérique et contradictoire de "points différents qui se touchent" (ce qui n'est rien de plus qu'une intuition, au fond), mais par un théorème fondamental, le théorème des fermés emboîtés. Ce théorème repose sur une formalisation rigoureuse de l'idée de "trou", et démontre que de tels "trous" n'existent pas.

En conclusion, les réels ne ressemblent pas à ça :



mais à ça :

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