Re: Qu'est-ce qu'un segment continu ?

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 0:28

L'être humain semble capable de distinguer naturellement jusqu'à 4 objets, je ne vois là rien d'étrange ni rien de mathématique. Lorsque l'enfant compte, il associe souvent, par exemple, une même couleur. Alors il prend sans réfléchir un bloc de couleur jaune, puis un autre, et encore un autre, et il saura qu'il a trois blocs jaunes. Il rassemble en un ensemble qu'il nomme "3" (ou n'importe quel autre signe). Mais il expérimente bien ces objets, il les vit, ces trois objets. Au-delà, il devrait compter avec une astuce (un bâton). Qu'est-ce que les mathématiques ont à voir ici, c'est ce que je me demande? Un ensemble {a} n'a rien de magique ou d'intriguant. C'est une boîte fourre-tout, sans plus. On y place ce que l'on veut.

par quid Jeu 24 Juin 2021 - 0:51

Crosswind a écrit:Alors il prend sans réfléchir un bloc de couleur jaune, puis un autre, et encore un autre, et il saura qu'il a trois blocs jaunes. Il rassemble en un ensemble qu'il nomme 3 (ou n'importe quel autre signe). Mais il expérimente bien ces objets, il les vit, ces trois objets. Au-delà, il devrai compter avec une astuce (un bâton). Qu'est-ce que les mathématiques ont à voir ici, c'est ce que je me demande.

Qu'est-ce que l'on peut bien faire de plus avec des encoches sur un bâton en terme de comptage, que l'on ne peut pas faire en ce qui concerne des carottes et des noix ? Je dirai pas grand chose sans les nombres.

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 9:32

Il est vrai que l'être humain est capable d'abstraction, dont celle de regrouper le divers dans l'unité. Très tôt dans la vie, on classe les objets (par taille, par couleur, par forme ou par type). Il est d'ailleurs très intéressant, si pas touchant, d'observer les premiers ensembles "spontanés" des très jeunes enfants, et amusant de les voir se planter en prenant un objet pour un autre, dans un ensemble au demeurant parfaitement cohérent. La numération n'est rien d'autre qu'une abstraction de ce genre. Je ne sais plus vers quel âge, mais les enfants commencent alors à faire des tas, et donc des ensembles, de deux objets (par exemple). Très vite également, ils comprennent l'abstraction 2, 3 voire 4. Un enfant normalement constitué, stimulé et éduqué tentera très rapidement la maîtrise du décompte. C'est souvent foireux du genre "1-2-3-4-8-6-10", mais il comprend l'astuce du nombre.

Donc, sur notre bâton entaillé par, disons, une vingtaine d'encoches, l'être humain a fini par comprendre qu'on pouvait abstraire de cette série des ensembles de 1 encoche, de 2 encoches, de 3 encoches, etc... Qui alors peuvent être symbolisés par autre chose (le langage oral, écrit, ou plus élémentaire par un autre objet)

Et encore par après, à l'instar de la définition mathématique, que ces ensembles particuliers pouvaient être utilisés, "mis en bijection" avec n'importe quel autre ensemble qui rencontre la bijection. Pris comme tels, les nombres ne sont pas grands choses de plus qu'un mot sur un tas d'objets d'enfant, qui visent non pas la qualité mais la quantité admise d'objets.

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 9:44

Crosswind a écrit:Mais il expérimente bien ces objets, il les vit, ces trois objets. Au-delà, il devrait compter avec une astuce (un bâton). Qu'est-ce que les mathématiques ont à voir ici, c'est ce que je me demande? Un ensemble {a} n'a rien de magique ou d'intriguant. C'est une boîte fourre-tout, sans plus. On y place ce que l'on veut.

Tout est mathématique, dans ce processus.

1/ Avec beaucoup d'objets, il deviendra incommode de travailler avec des entailles ou des chèvres. Il faudra passer, comme ce fut historiquement le cas, à des marques ou signes qui dénotent ou signifient un groupe d'objets donné. Par exemple, on tracera "9" au lieu de tracer neuf entailles (ce qui est long et difficile, car il faut bien les compter). Une telle marque s'appelle un chiffre, et constitue la base d'un système de numération. En mathématiques modernes, "9" est appelé une constante.

2/ On se rendra compte que si l'on a le signe "9" qui nous sert d'abréviation pour neuf chèvres, alors on peut réutiliser ce même signe comme abréviation pour neuf entailles, neuf pommes, et neuf objets quelconques. Ce qui est un saut remarquable vers l'indépendance de "9" par rapport à tout ensemble concret d'objets spécifiques : même si je n'ai pas neuf objets identiques chez moi, le chiffre "9" reste disponible dans mon langage, il acquiert la réalité d'un possible et se met à exister même s'il n'est pas actualisé. On peut donc commencer à réfléchir sur "9" même en l'absence concrète de neuf objets devant moi : c'est le début de l'abstraction, une conséquence du langage symbolique en général (voilà pourquoi les maths naissent souvent avec l'écriture).

3/ Si l'on a trois chèvres d'une part, qui sont en bijection avec trois pommes d'autre part, alors ajouter une chèvre d'un côté et ajouter une pomme de l'autre produira deux nouveaux ensembles qui seront encore en bijection : ils correspondront encore au même nombre. Ce qui permet d'ailleurs à deux personnes de synchroniser leurs comptes à distance (comme, par exemple, synchroniser des calendriers). En mathématiques modernes, cette propriété est celle du caractère fonctionnel de la fonction successeur : si l'on désigne S(n) le nombre qui vient juste après n, alors on a que si deux nombres m et n sont égaux, alors leurs successeurs respectifs S(m) et S(n) sont aussi égaux.

4/ Si l'on a trois chèvres d'une part, qui sont en bijection avec trois pommes d'autre part, alors enlever une chèvre d'un côté et enlever une pomme de l'autre produire deux nouveaux ensembles qui seront aussi en bijection. En mathématiques modernes, cette propriété est celle du caractère injectif de la fonction successeur : si deux nombres m et n ont un même successeur, alors m et n sont égaux.

5/ Les propriétés 3/ et 4/ ci-dessus ont pour conséquence que les nombres ont la structure d'une chaîne linéaire : chaque nombre possède un unique successeur, et chaque successeur possède un unique antécédent. En mathématiques modernes, on appelle cela un ordre total. C'est pourquoi les nombres peuvent être appris en mémorisant des litanies de nombres, une litanie ayant justement une structure linéaire; il y a une correspondance heureuse entre le langage (qui est souvent linéaire) et la structure des nombres, et cette correspondance est de nature mathématique.

5/ Il y a un nombre qui n'est le successeur d'aucun autre nombre : c'est le premier de tous les nombres. Autrement dit, la chaîne des nombres possède un commencement. Par contre, cette chaîne ne possède pas de fin : tout nombre précède toujours un autre nombre. En mathématiques modernes, cette propriété est celle d'un ordre total avec minimum et sans maximum. Cette propriété est cruciale car on peut démontrer que les nombres naturels sont les seuls nombres qui possèdent une telle structure. Autrement dit, on est certain que les systèmes de comptage de deux peuples différents, distants dans l'espace et/ou le temps, peuvent être traduits de l'un vers l'autre, ce qui signifie qu'au fond, ils utilisent les mêmes nombres. Cela ne va pas de soi a priori !

Les propriétés 3/ à 5/ correspondent, en mathématiques modernes, aux axiomes qui définissent les nombres naturels : les axiomes de Peano. Certes, ces axiomes sont relativement simples et intuitifs, mais ils sont bel et bien mathématiques.

Bien sûr, il a fallu du temps (5000 ans) pour expliciter tout cela. Mais tout ce que l'on pouvait faire avec les nombres (naturels), et la façon dont un comptage pouvait être exploité, est intimement déterminé, dès le départ, par la structure mathématique des nombres (naturels).

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 9:53

Merci pour la démo, magnifique (vraiment) !

Le nombre et ce que l'on peut en faire est non seulement lié aux mathématiques, mais surtout plus profondément encore à une certaine logique qui est la nôtre. Dans quelle mesure le sens mathématique s'est créé comme tel, que ce soit parce que le monde obéirait à de telles lois et que nous serions capables de les comprendre, ou que nous serions "façonnés" pour ordonner le monde de cette manière, est indécidable. Mais le fait est que nous comprenons d'instinct d'abord, par l'apprentissage ensuite, l'abstraction du nombre et la famille des dérivés, de ce que l'on peut en faire, ensuite.

Mais là, je ne vois toujours pas l'autonomie du nombre par-rapport à l'objet. D'ailleurs, vos exemples incorporent sans problèmes des pommes et des chèvres. On n'a plus besoin de spécifier l'objet associé au nombre, mais il peut toujours l'être, comme à l'aube de la découverte du nombre.

Ce me semble.

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 9:59

Crosswind a écrit:Mais là, je ne vois toujours pas l'autonomie du nombre par-rapport à l'objet. D'ailleurs, vos exemples incorporent sans problèmes des pommes et des chèvres. On n'a plus besoin de spécifier l'objet associé au nombre, mais il peut toujours l'être, comme à l'aube de la découverte du nombre.

La partie soulignée est ce qui amène l'autonomie : les nombres n'ont pas besoin d'être rattachés à des objets ou des représentations concrètes.

Si je peux marcher sans avoir besoin de béquilles, c'est bien que ma faculté de marcher en est indépendante (même si des béquilles peuvent m'aider dans certaines situations).

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 10:04

Cette autonomie du concept est née avec le nombre. Lorsqu'on a écrit pour la première fois un signe qui équivalait à X objets, l'indépendance vis-à-vis de l'objet était acquise. Mais si l'indépendance pratique est réelle (pas besoin d'objet pour faire usage du nombre), l'indépendance génétique est un leurre (il a fallu des objets pour atteindre le concept du nombre) ni l'indépendance d'usage (on se sert encore beaucoup du nombre en l'associant à l'objet).

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 10:29

Crosswind a écrit:Mais si l'indépendance pratique est réelle (pas besoin d'objet pour faire usage du nombre), l'indépendance génétique est un leurre (il a fallu des objets pour atteindre le concept du nombre) ni l'indépendance d'usage (on se sert encore beaucoup du nombre en l'associant à l'objet).

Au lieu d'indépendance "pratique", je dirais indépendance conceptuelle. Car c'est bien pour des raisons pratiques (pour tenir des comptes ou apprendre à compter), que l'on fait appel à des représentations concrètes.

Même de même qu'on peut apprendre l'alphabet en associant des noms oraux d'animaux aux lettres ("a" comme abeille, "b" comme bison, ...), chaque lettre est indépendante de ce qui, en pratique, a été mobilisé pour l'apprendre.

Quant à l'indépendance d'usage (et pas d'apprentissage), je pense que c'est l'inverse : on ne se sert pas des objets pour manipuler les nombres, on se sert des nombres pour manipuler les objets. Le prix d'un objet, c'est un nombre qui se substitue à l'objet dans les transactions économiques, et on est bien heureux de faire des calculs avec ces nombres plutôt qu'avec les objets eux-mêmes !

Par ailleurs, si l'on apprend le concept de nombre d'abord en lui associant des quantités, il se trouve qu'un nombre n'est pas, en soi, une quantité. Il peut servir à mesurer des quantités, mais également à positionner des choses, par exemple. Il s'agit-là, en mathématiques, des interprétations cardinale ou ordinale, et il y a bien d'autres interprétations (selon le type de nombre considéré). Au fond, ce qu'est un nombre est assez mystérieux, même si l'on sait le manipuler et l'utiliser pour modéliser de nombreuses situations.

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 10:56

Oui, certainement (même si je trouve votre comparaison avec l'alphabet incorrecte). De manière générale, le nombre n'exige pas l'objet, mais peut toujours lui être relié pour des raisons pratiques.

Mais donc, le nombre serait désormais l'étiquette d'un rapport bijectif. C'est donc toujours un rapport.

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 11:50

Crosswind a écrit:Mais donc, le nombre serait désormais l'étiquette d'un rapport bijectif. C'est donc toujours un rapport.

Oui, d'où ma question initiale :

Leonhard a écrit:Et ce rapport lui-même, peut-il avoir une réalité indépendante, en tant que rapport ?

C'est la question vaste du réalisme structurel, à savoir de l'existence indépendante non pas d'objets (ou relatés), mais de structures (ou relations). Mais cela nous emmènerait probablement trop loin dans la sophistication.

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 12:02

Je demande alors, ce rapport devrait se voir indépendant de quoi?

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 12:13

Crosswind a écrit:Je demande alors, ce rapport devrait se voir indépendant de quoi?

De la subjectivité des sujets pensants que nous sommes.

Je ne dis pas que ça devrait l'être, je demande si ça peut l'être.

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 12:20

La question dépasse de loin les mathématiques, dans ce cas. Elle revient à s'interroger sur la nature d'un hypothétique réel, et de la connaissance que nous pourrions en avoir. La philosophie au sens large a apporté sinon des réponses, de sérieux arguments en faveur de l'abstention du jugement, ou de la plausibilité (suivant vos affinités personnelles).

Je suppute que vous souhaitez parler ici de la plausibilité d'une telle hypothèse, si je ne me trompe Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 5 2101236583

Qu'est-ce qu'un segment continu ? - Page 5 2101236583

?

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 18:41

Crosswind a écrit:La question dépasse de loin les mathématiques, dans ce cas.

La question est quand-même spécifique lorsqu'elle est appliquée au cas des objets mathématiques, ceux-ci étant uniques en leur genre.

Les nombres, conçus comme des rapports d'un certain type, sont-ils indépendants de nos subjectivités ainsi que de leurs représentations sensibles sous forme de chèvres ou de pommes ? Ou au contraire, leur identité même en dépendrait ?

par Crosswind Jeu 24 Juin 2021 - 20:23

Leonhard a écrit:

Les nombres, conçus comme des rapports d'un certain type, sont-ils indépendants de nos subjectivités [...]

Qui comprend les mathématiques ainsi formulées? Vous. Cela seul suffit à indiquer un chemin, celui de l'incertitude. Remarquons aussi qu'il importe peu de comprendre la nature des objets de notre conscience. Si les mathématiques fonctionnent, tant mieux. Ce qu'elles pourraient refléter dans l'absolu sera à jamais une question à poser au coin du feu, en fin de soirée.

par Leonhard Jeu 24 Juin 2021 - 20:49

Crosswind a écrit:au coin du feu, en fin de soirée.

Là où vit la philosophie.

par quid Ven 25 Juin 2021 - 22:28

Crosswind a écrit:Si les mathématiques fonctionnent, tant mieux. Ce qu'elles pourraient refléter dans l'absolu sera à jamais une question à poser au coin du feu, en fin de soirée.

Elles font plus que fonctionner, elles parlent. Certains diraient que cela engendre des questions. Certains encore diraient que ces questions ayant des réponses indécidables ne sont que des questions sans intérêt. Je pense que les choses qui tombent sous la conscience (ou sous l'entendement) parlent plus que questionnent.

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