Qu'est-ce que le temps selon Spinoza et selon la physique ?

[Vanleers]

Peut-on rapprocher les conceptions du temps selon Spinoza et selon les sciences physiques ?
Avant d’expliciter ce qu’est le temps selon Spinoza, je présente d’abord une approche qui conclut logiquement que le temps selon la physique n’est autre que la variable t qui figure dans ses équations.

Michel Lambert, dans Relativité restreinte et électromagnétisme – Ellipses 2000 explique comment le temps a été introduit en physique.
Je résume son propos.
Aristote avait écrit que le temps est le nombre du mouvement, que nous mesurons le temps au moyen du mouvement et le mouvement au moyen du temps. Le mouvement établit en effet une relation entre le temps et l’espace parcouru pendant ce temps. Pour mesurer les durées, l’homme a utilisé deux types de mouvement :

a) le temps peut d’abord être mesuré en observant des mouvements continus et uniformes.

Si en effet, on observe un mobile dont la vitesse est constante, il suffit de mesurer la distance parcourue par ce mobile pour en déduire la durée écoulée durant ce parcours. Grâce à cette méthode, on réalise une sorte de spatialisation du temps.
Le problème toutefois est qu’on est bien obligé de supposer que le mouvement observé est uniforme puisqu’une vérification de cette uniformité de sa vitesse supposerait déjà connue une méthode de mesure du temps alors qu’il s’agit précisément de trouver cette méthode.

b) le temps peut encore être mesuré en comptant des phénomènes supposés périodiques.
Ici aussi, il faut supposer que les phénomènes observés sont périodiques, c’est-à-dire de durée constante. La notion de mouvement périodique comme celle de mouvement uniforme est donc un concept limite auquel ne peut correspondre une parfaite « réalisation » expérimentale.

Voyons maintenant les faits.
Au XIX° siècle, avec des horloges imparfaites et qui indiquent des désaccords faibles mais réels entre elles dans la mesure des durées, on a pu, grâce à l’introduction de cette nouvelle variable « temps » ainsi mesurée, découvrir tout un ensemble de lois mécaniques approximativement satisfaites par la nature.
Cette constatation expérimentale a permis alors de postuler l’exactitude parfaite des lois de la mécanique et d’en déduire l’existence d’un temps universel qui peut être atteint et mesuré de plus en plus parfaitement grâce à un perfectionnement technique croissant des horloges.
En conséquence, le temps en physique n’est plus le temps imparfaitement mesuré par les horloges mais c’est la variable t qui figure dans les équations de la mécanique.
Ce n’est plus tel ou tel mécanisme particulier, fut-il céleste, qui sert à mesurer le temps, mais ce sont désormais les lois universelles de la mécanique.
En postulant l’exactitude parfaite des lois de la mécanique, on sort du cercle rappelé ci-dessus à propos de la mesure du temps par l’observation des mouvements uniformes.
Le principe de relativité, c’est-à-dire de l’invariance des lois physiques (pas seulement mécaniques) par rapport aux systèmes de référence ne remet pas en cause l’idée que le temps n’est autre que la variable t qui figure dans les équations de la physique.
Simplement, la valeur de cette variable n’est plus absolue (le temps absolu de Newton a été abandonné) mais est attachée au référentiel dans lequel sont repérés les phénomènes qui sont régis par ces équations.

[Vanleers]

Pour expliciter la conception du temps selon Spinoza et tenter un rapprochement avec le temps de la Physique, on s’inspirera d’un ouvrage de Nicolas Israël Spinoza Le temps de la vigilance – Payot 2001.
Dans la lettre 12 à Louis Meyer, Spinoza écrit à son correspondant que le temps, de même que le nombre et la mesure sont des auxiliaires de l’imagination, des êtres qui n’existent pas en dehors de la pensée.

Les auxiliaires de l’imagination n’ont pas seulement une utilité pratique pour l’usage de la vie : le temps, la mesure et le nombre interviennent également dans l’élaboration d’une physique mathématisée. Ces auxiliaires sont des instruments abstraits, inaptes à retracer le mouvement de production infini et indivisible de la Nature, car ils expriment toute réalité à partir de la répétition d’entités finies, d’unités de mesure ; mais ils n’en rendent pas moins possible la représentation mathématique du réel.
Ces auxiliaires abstraits n’élaborent pas la connaissance des lois éternelles par lesquelles la substance divine produit l’infinité des modes. Néanmoins, l’instauration de rapports constants entre les êtres d’imagination chargés de formaliser les phénomènes sensibles, assure le rattachement de l’essence des choses singulières aux lois éternelles de la Nature. […] Mais il est possible d’estimer que des êtres forgés par l’imagination puissent favoriser l’exercice de l’entendement. Tel est le cas du temps, de la mesure et du nombre qui, dès lors qu’ils ne sont pas naturalisés, considérés comme constitutifs du réel, organisent rationnellement les phénomènes sensibles.
[…]
On comprend ainsi en quel sens le temps est un auxiliaire de l’imagination : il est engendré par la puissance d'abstraction de l’imagination qui compare la durée de chaque chose à la durée d’un mouvement invariable ; il distingue et formalise les idées imaginatives, ce qui permet une meilleure orientation dans le monde sensible et rend possible l’élaboration d’une science de la Nature. (pp. 48-50)

[maraud]

On peut voir les choses très simplement en imaginant qu'il ne peut être question de temps que là où il y a  espace, autrement dit: les objets qui meublent cet espace.

Avec Aristote, on peut dire que l'espace est ce qui est mobile et qui se tient dans ce qui est immobile ( il parle du "moteur immobile"), ce qui est immobile étant de fait ce qui n'est pas espace ( on entre là de plain pied dans ma métaphysique ). Mais pour rester simple, on peut envisager que le propre du temps est le changement d'état des objets qui font l'espace: pour le vivant la chose est entendue: vivre c'est vieillir; pour les objets inertes le temps est le changement d'état souligné par l'homme . Pourquoi n'y a-t'il pas de temps dans la nature ? Parce que la nature/Dieu ( pour parler comme Spinoza) est éternité, or pour qu'il soit question d'un temps imaginaire ( que je dirais imaginal, en référence à Henry Corbin), il faut que cette notion repose sur la notion d'éternité qui en est nécessairement le principe. Et en cela, le temps humain est une portion d'éternité dans laquelle il distingue le "mouvement" des objets, lui compris. Mais il faut rester assez loin de cette éternité si l'on veut , très humainement, trop humainement continuer à distinguer les objets ( puisque si l'on veut voir les choses dans leur fondement, on ne pourra plus distinguer l'éternité de l'infini et donc de Dieu, ce qui nous installerait dans l’Éternel Présent qui nie l'imagination.)

Maintenant, en reprenant l'image présocratique du fleuve, je pense qu'on peut en dire que jamais le même homme ne s'y est baigné deux fois et que le fleuve ne peut que symboliser l'éternité et non le temps. Pourtant on se baigne bien deux fois dans le même fleuve...Il faut donc bien qu'il y ait en l"homme quelque chose de cette éternité et de l'impermanence. ( Je réponds à cela avec les notions de soi et de moi, mais nous revoilà dans la métaphysique...)

[Vanleers]

On peut faire un premier rapprochement entre les conceptions du temps pour la physique et pour Spinoza.
Selon Michel Lambert, les physiciens, afin de sortir d’un cercle vicieux à propos de la mesure du temps, ont été amenés à postuler l’exactitude parfaite des lois de la mécanique.
Or, selon Spinoza, les lois de la nature sont les lois de l’autoproduction de Dieu-Nature et, à ce titre, sont éternelles.
D’autre part, si le temps de la physique n’est pas autre chose que la variable t qui entre dans ses équations, c’est qu’il s’agit, comme le soutient Spinoza, d’un instrument qui, non seulement est utile pour « l’usage de la vie » mais qui entre dans l’élaboration d’une physique mathématisée.

A maraud

Selon Spinoza, l’éternité et la durée sont deux manières d’exister.
Dieu-Nature étant cause de soi, sa manière d’exister ne peut être autre que l’éternité.
Les hommes existent dans la durée mais, étant des expressions de Dieu-Nature, leurs essences existent dans l’éternité.
L’Ethique, précisément, se propose de nous faire prendre conscience que non seulement nous durons mais que nous sommes éternels.

[Vanleers]

Je cite un autre passage sur le temps du livre de Michel Lambert.

Certains des effets relativistes qui viennent d’être décrits (notamment le vieillissement différent des deux jumeaux) contredisent violemment nos habitudes et donc les préjugés du bon sens. On peut alors être tenté de considérer le temps relativiste comme une simple fiction mathématique : la variable t qui figure dans la théorie et sans identité de nature avec le temps réel. […]
Toute la difficulté vient peut-être de ce que nous avons tendance à considérer le temps ou la durée comme une réalité objective, indépendante des choses qui durent et des événements qui se succèdent de la même manière que nous imaginons pouvoir concevoir l’espace entièrement vide. C’est ainsi que nous en venons même à former cette idée monstrueuse d’un espace vide qui durait en attendant la création du monde.
De même que les propriétés de l’espace ne peuvent être rien d’autre que les propriétés des objets concernant leurs positions relatives et leurs déplacements ; de même les propriétés du temps doivent être trouvées expérimentalement, en observant l’ordre et l’enchaînement des événements. Comme pour toutes les autres notions, la signification de la notion « temps » change d’ailleurs quand on change d’échelle d’observation ou le domaine de réalité.
Le temps est presque inexistant dans l’infiniment petit. Une particule élémentaire stable, telle qu’un électron, ne vieillit pas, ne change pas, ne dure pas. Considérons par exemple une particule susceptible de changement, un noyau radioactif par exemple. On sait qu’un tel noyau n’a pas une durée de vie bien déterminée mais seulement une durée de vie moyenne, c’est ainsi que par exemple sa probabilité d’existence au bout de 60 minutes est égale à 1/2 ou qu’il a une chance sur deux pour être encore en vie au bout de 60 minutes. Supposons qu’au bout de 50 minutes, le noyau soit toujours en vie, cela signifie-t-il que ce noyau a vieilli et est maintenant plus près de sa désintégration ? Absolument pas, ce noyau a toujours une chance sur deux d’être encore en vie 60 minutes plus tard. Ainsi, à tout instant, ce noyau a toujours devant lui les mêmes possibilités ou le même avenir. Le temps ne compte pas pour ce noyau. On peut dire que le temps ne mord pas sur lui. Ces exemples peuvent être aisément généralisés et révèlent que l’idée de temps n’a plus guère de signification à l’échelle microscopique.
On objectera que la variable temps apparaît bien dans les équations de la physique et notamment dans l’équation de Schrödinger, mais ce temps n’est rien d’autre que celui du physicien qui effectue ses mesures. Ce n’est d’ailleurs pas sans difficultés que cette idée de temps valable à l’échelle du physicien est ainsi imposée au domaine microscopique.
En effet, quand on dit qu’un noyau, par exemple, est dans tel état à tel instant t, comment peut-on le savoir sinon à l’occasion des transferts d’énergie qui accompagnent les changements d’état ? Or, il existe une relation d’indétermination due à Heisenberg qui nous apprend en mécanique quantique que si ce transfert d’énergie et par suite ce changement d’état sont bien déterminés, l’instant t de ce changement d’état en est d’autant plus mal connu et cela inévitablement. La détermination exacte d’un phénomène microscopique exclut donc celle de l’instant où il se produit.
Au contraire, dans le domaine macroscopique, lorsque le nombre de particules microscopiques mises en jeu devient très grand, des prévisions statistiques deviennent possibles. Grâce aux lois du calcul des probabilités, le déterminisme devient alors une notion vérifiée par l’expérience et donc vraie ; des lois physiques peuvent être établies et le temps scientifique peut alors être défini par ces lois comme nous l’avons déjà vu dans les chapitres précédents.
Ainsi la véritable nature du temps est peut-être statistique comme l’est par exemple la pression d’un gaz. C’est d’ailleurs sans doute à cette nature statistique que le temps doit son irréversibilité. Cette même raison qui fait croître l’entropie rend le temps irréversible.
Cette analyse très sommaire n’épuise évidemment pas l’idée de temps car la physique n’étudie que les aspects mesurables qui sont les plus élémentaires. L’idée de temps prend tout son sens pour les êtres vivants et réfléchis mais il s’agit alors de problèmes de biologie et de philosophie.
La théorie de la relativité, quant à elle, n’affirme rien quant à la nature du temps. La théorie de la relativité, comme toute grande théorie physique, est seulement une théorie de la mesure. L’intervalle de temps mesuré séparant deux événements, dépend du mouvement relatif de l’observateur et des référentiels liés à ces événements. C’est dire que le mouvement de l’observateur affecte sa mesure. Cette « interaction » entre l’observateur et ce qu’il mesure est caractéristique de la physique moderne et on la retrouve, mais sous une autre forme, en mécanique quantique. (op. cit. pp. 104-105)

[maraud]

Il est des choses, comme le temps, qu'on peut connaître mais qu'on ne peut comprendre; il nous faut alors inventer un modèle, une modélisation, c'est ainsi que l'on se représente la Terre sous forme de sphère, les ondes électromagnétiques sous forme de "vagues" dans l'espace etc. Seulement, il faut penser à apporter une correction à ces modélisations, sans quoi on finit par confondre le modèle et le réel, la flèche du temps et le temps, la chose observée et la mesure... Si on veut " fixer" une particule, il faut arrêter celle-ci et le milieu dans lequel elle se déplace, mais dans ce cas, il faut accepter de ne pas pouvoir dire où elle va; et si on veut dire où elle va, il faut accepter de ne pas pouvoir dire où elle se trouve.

[Vanleers]

Spinoza n’est pas un physicien et ne cherche pas à faire œuvre de science. Il conçoit le temps comme un auxiliaire de l’imagination ce qui a des conséquences éthiques.
En effet, l’Ethique vise à nous libérer de la servitude des passions et Spinoza démontre que celles-ci dépendent de la connaissance du premier genre, c’est-à-dire de l’imagination (Ethique III 3 et II 41).
Nicolas Israël écrit donc :

Le projet d’émancipation individuel et collectif proposé par Spinoza n’est rien de moins qu’une invitation à se libérer des aspects asservissants de l’imagination de la durée et du temps. La durée n’est pas une succession d’instants contingents, qui imposerait la finitude comme horizon indépassable de l’existence modale, mais la continuation indéfinie qui affecte la puissance d’agir. De même, si l’esprit ne peut éviter d’imaginer les choses dans le temps au point que celui-ci puisse être conçu comme une affection innée de la pensée imaginative dont personne ne saurait se départir, il est pourtant impératif de se libérer des formes temporelles engendrées par la fortune ou l’Etat, qui pourraient être assimilées à des « formes a priori de la sensibilité ». L’approfondissement du concept de servitude révèle que l’impuissance de l’homme à gouverner ses affects suppose la soumission à des formes temporelles imposées par le monde extérieur, même si elles semblent innées. (p. 327)

Mais l’originalité du livre est ailleurs, comme le souligne Ariel Suhamy dans sa brève présentation de l’ouvrage en :

http://www.cairn.info/revue-archives-de-philosophie-2002-4-page-727.htm

Parmi les illusions du temps, figure ainsi en premier lieu la contingence, à laquelle se rattachent certains affects : espoir, crainte, mais aussi vigilance, présence d’esprit dans les dangers. La libération consiste non à s’émanciper complètement de ces formes, car cela n’est pas possible, mais à en tirer des « occasions », des « moments opportuns », des « intervalles » où la singularisation est possible. Il ne faut donc pas opposer le plan de l’éternité à celui de la durée, ni même à celui du temps, mais au contraire montrer comment « la singularité d’une essence est indissociable des rencontres extérieures, qui permettent d’accueillir en elle une causalité absolue ». Telle est la grande originalité de cet ouvrage : considérer la singularisation non pas sous le seul angle du passage à l’éternité mais comme une sorte de mixte de temps et d’éternité, entre la puissance divine absolue et la subjectivité individuelle. « Dans le cadre d’une pensée strictement nominaliste, la difficulté n’est plus de savoir comment une causalité absolue assure l’individuation d’un mode fini à travers des lois générales, mais de découvrir les occasions finies sans lesquelles cette puissance absolue pourra s’investir en moi. L’occasion épuise la puissance divine, comme la souveraineté politique. L’individu comme l’État ne jouissent donc que d’une singularité occasionnelle ». Et c’est pourquoi la vigilance, ou saisie des occasions de singularisation, qu’elle soit politique ou individuelle, passe au premier plan de l’analyse.

[Vanleers]

Rappelons qu’Ariel Suhamy écrit que la grande originalité de l’ouvrage de Nicolas Israël est de « considérer la singularisation non pas sous le seul angle du passage à l’éternité mais comme une sorte de mixte de temps et d’éternité ».
Cette irruption de l’éternel dans le temporel fait signe vers l’idée que le temps selon Spinoza est un kairos et se distingue ainsi du temps de la physique qui est un chronos.
A propos du kairos, N. Israël écrit en :

http://journals.openedition.org/philosophique/265

Le kairos n’est pas offert par la fortune, assimilée à un temps contingent, mais il surgit dans l’esprit dont la durée est continue. Ce n’est donc pas le temps contingent qui détermine la nature des choses qui s’écoulent en lui, il n’est qu’un cadre extérieur forgé par l’imagination, mais bien les choses elles-mêmes qui produisent ou retrouvent la durée qui leur est propre. La durée est une affection de l’existence des choses même si elles en ont plus ou moins conscience.

Dans Spinoza Le temps de la vigilance :

Le kairos s’apparenterait à ce que l’on ne peut totalement expliquer par la mémoire d’expériences passées – l’ordre de l’expérience étant assimilé à l’ordre de la Nature – ce qui surgit, à un moment donné, par le concours de la fortune. L’occasion résulterait donc d’un concours de circonstances dont on ignore l’explication. La contingence du moment opportun est strictement représentative, elle découle de la rupture que la nécessité naturelle impose à un ordre édifié par l’imagination. Il s’agit donc bien, à proprement parler, d’une nécessité fortuite. Passé le moment de l’étonnement, chacun est susceptible d’exploiter l’occasion, s’il en est encore temps. (p. 254)

[hks]

à Vanleers




Moi je veux bien qu'une chose qui dure soit éternelle (dans l'éternité il n'y a alors même pas lieu de dire "qu'elle ne cesse ").
bref

Mais il faut bien expliquer la différence de statut (fut -il éternel) entre ce qui dure  et ce qui ne dure pas .
Car dans l'éternité" ça dure "ou bien "ça ne dure pas" .

La question est celle de l'actualisation
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severac a écrit:
N’est-on pas clairement passé d’un mode d’existence éternel, latent, à un mode d’existence spatio-temporel patent ?

La question est mal posée .
L'existence des idées éternelles (objets éternels ), l idée de cercle par exemple, n'a pas de mode d 'existence latent . Son mode d'existence éternel c'est l'éternité de sa possible actualisation.

L'idée de cercle est tout a fait éternelle .
C'est son actualisation qui ne l'est pas .
Elle existe comme éternellement disponible.

Mais existe- t -elle en dehors de son actualisation?
La prise de forme par une chose singulière ne transforme pas l'idée de cercle (éternelle) en une idée qui dure (et même si la chose singulière qui dure est comprise comme éternelle ce que fait Séverac).

Son actualisation dure .

L' idée éternelle de cercle (les objets éternels) ne dure pas, son actualisation dure .

La chose singulière dure et est informée .
Pour ce faire il faut que de facto il y ait une possibilité d'information.
Je veux bien admette que le possible  soit un appel  de l’actualisation. Il faut qu'à  l'appel réponde une possibilité de répondre (de la part des  idées éternelles ) . Le potentiel est renvoyé aux idées éternelles .

Un point capital: dire que les idées éternelle existent sans actualisation, ce qui est peut- être   l' idée de Spinoza est néanmoins problématique.
Mais de quoi Spinoza parle- t -il ? il parle de l'Idée de Dieu (au singulier).
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Même si je suis d'accord avec la fin de Séverac

parce que les idées qui se distinguent dans la durée se distinguent justement pour l’esprit qui les conçoit, mais une telle distinction ne nous autorise pas à les imaginer se confondre dès lors qu’on ne les conçoit plus (car si être conçu par nous signifie être distingué, être distingué ne signifie pas nécessairement être conçu par nous.

je n'imagine pas se confondre ce qui dure et ce qui ne dure pas . Etre distingué là n'est pas seulement conçu par moi .

Spinoza ne dit jamais que la durée nous l'imaginons .
Mais il est loin d'être clairement intelligible  sur "la durée" .

......................................................

.Par ailleurs, Pautrat est un des rares traducteurs à avoir compris le sens de « rectangle » dans le scolie et à voir que Spinoza vise la notion géométrique de puissance d’un point par rapport à un cercle.

il faudrait m' expliquer ça .

oui bon! n'importe quel lecteur voit bien qu'il n'y a pas de rectangle de tracé mais un angle rectangle /droit

Si deux droites, passant par un point A, coupent un cercle (c),
l'une en B et C, l'autre en D et E, on a :
AB × AC = AD × AE.
Dans le cas où A est à l'intérieur du cercle, pour le démontrer,
il suffit de remarquer que les triangles ABE et ADC sont semblables


dans ce cas pourquoi avoir choisi un angle droit et parler de rectangle égaux (pas de triangles semblables)

[Vanleers]

1) Spinoza définit la durée au début de la partie II (définition 5) :

La durée est la continuation indéfinie de l’exister.

Cela me paraît « clairement intelligible ».

2) Au XVII° siècle, le rectangle de deux nombres, c’est leur produit (aujourd’hui encore, le carré d’un nombre, c’est le produit de ce nombre par lui-même).

Pautrat est le seul traducteur, à ma connaissance, à avoir vu l’essentiel : toutes les cordes dont parle Spinoza se coupent en un même point. Il traduit le scolie d’E II 8 :

Le cercle, on le sait, est de nature telle que, de toutes les lignes droites qui se coupent en un même point, les rectangles faits sous leurs segments sont égaux entre eux ; [...]

[hks]

ok ...c'est convainquant

votre "puissance d'un point" m'a un peu égaré
...................................................................
leçon pour ma mémoire
j'ai trouvé cette animation de bardamu "excellente" le 02 avr. 2012, 18:18
..........................................................
je vois sur [url= http://ethicadb.org/pars.php?parid=2&lanid=0&lg=fr ] http://ethicadb.org/pars.php?parid=2&lanid=0&lg=fr [/url] la figure avec un angle quelconque .
donc acte mais Misrahi traduit comme Pautrat sauf que ce dernier écrit "toutes les lignes droites"

Un cercle, par exemple, est de nature telle que les rectangles construits à partir des segments formés par les droites qui se coupent en lui sont égaux entre eux; c'est pourquoi dans le cercle est contenue une infinité de rectangles égaux entre eux; cependant,

....................................................................
quant à la durée vous me dites que Cela me paraît « clairement intelligible ».

Tout dépend de l'exigence d'intelligibilté .

Par exemple, moi, je n'ai pas été exigeant sur les rectangles , j'ai laissé filé parce que l'un dans l'autre le mathématique, là placé, était pour moi secondaire. Spinoza aurait ou prendre d'autres exemples géométriques. Comme les produits que j'ai cité plus haut.

mais sur la durée je suis très exigeant.

[Vanleers]

 mais Misrahi traduit comme Pautrat sauf que ce dernier écrit "toutes les lignes droites"

Un cercle, par exemple, est de nature telle que les rectangles construits à partir des segments formés par les droites qui se coupent en lui sont égaux entre eux; c'est pourquoi dans le cercle est contenue une infinité de rectangles égaux entre eux; cependant,

Spinoza aurait ou prendre d'autres exemples géométriques.  Comme les produits que j'ai cité plus haut.

1) Non. Misrahi oublie l’essentiel : les droites se coupent en un même point.

2) C’est précisément l’exemple géométrique que Spinoza a pris.
Il a pris l’exemple de la puissance d’un point par rapport à un cercle, c’est-à-dire le produit AB x AC ou AE x AD que vous avez vous-même cité dans un post antérieur.

[hks]

je ne veux pas vous contredire plus que de raison mais Appunh traduisait
ainsi:

un cercle est, on le sait, d'une nature telle que les segments formés par toutes les lignes droites se coupant en un même point à l'intérieur donnent des rectangles équivalents ; dans le cercle sont donc contenues une infinité de paires de segments d'égal produit ; toutefois, aucune d'elles ne peut être dite exister si ce n'est en tant que le cercle existe, et, de même, l'idée d'aucune de ces paires ne peut être dite existe

et je ne veux surtout pas dénigrer Pautrat  c'est sa sa traduction que  je lis.  De plus l’édition est bilingue.

Mais je vois que Appunh ce n'est peut être pas si mal .
.......................................................................................
Sur le fond mathématique,
si au  Au XVII° siècle, le rectangle de deux nombres, c'est leur produit on va en rester avec le produit
AB × AC = AD × AE.
au moins c'est clair

 Pourquoi alors présenter dans les éditions canoniques 2 sécantes orthogonales ? Ce qui ne fait que troubler le sens général
on se le demande .
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Spinoza dit bien:  

des rectangles à l'intérieur  du cercle

L' animation de bardamu est certes alléchante mais l'un des 2 rectangles n'est pas dans le cercle.

[Vanleers]

Oui, vous avez raison, la traduction d’Appuhn, comme celle de Pautrat, est correcte elle aussi.
Ne le sont pas celles de Saisset, Guérinot et Misrahi.

Je concède volontiers que la figure qui accompagne le scolie égare plutôt le lecteur, surtout à notre époque ou l’expression « rectangle de deux nombres » n’est plus usitée.
Cette figure montre, en effet, deux cordes de même longueur se coupant à angle droit.
Il y a de quoi être perplexe.

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