Chaos déterministe et suite logistique

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Chaos déterministe et suite logistique

Message par Vanleers le Sam 1 Juil 2017 - 16:46

Je propose d’aborder le chaos déterministe à partir de la simple et classique « fonction logistique ».
On pourra se référer à John Gribbin (Le chaos, la complexité et l’émergence de la vie – Champs science 2010).
Nous observerons l’évolution, année après année, d’une colonie de pucerons sur un massif de rosiers. Ce massif est supposé pouvoir alimenter au maximum 10.000.000 (10 millions) pucerons (c’est un gros massif).
On désignera par P le nombre de pucerons divisé par 10.000.000. En conséquence, on aura toujours une valeur de P, appelée population renormalisée, comprise entre 0 et 1.

Vie et mœurs des pucerons

Au Printemps de l’année n naissent les pucerons des œufs pondus à la fin de l’année précédente. Pendant la belle saison, ils se nourrissent sur les rosiers et vont à leurs affaires. Certains mourront avant de pondre. On appliquera à la population renormalisée P un coefficient de survie avant ponte égal à 1 – P.
Si la population est peu nombreuse (P voisin de 0), le coefficient de survie sera proche de 1 alors que si elle est nombreuse, le coefficient sera voisin de 0 car une grande partie des pucerons mourra de faim ou succombera aux prédateurs.
Bref, au moment de la ponte, à la fin de l’année, la population sera réduite à P (1 – P)
Les pucerons pondront en moyenne B œufs qui écloront l’année n + 1 soit, au total, B P (1 – P) oeufs puis mourront.
En désignant par Pn+1 la population au début de l’année n + 1 et Pn la population au début de l’année n, la suite logistique s’écrit donc :

Pn+1 = B Pn (1 – Pn)

Premières simulations

Observons ce qui se passe en fonction du taux de fécondité B, supposé constant au cours des ans (il est facile de créer un tableau EXCEL pour suivre l’évolution).

Si le taux B est inférieur à 1, la population disparaît plus ou moins rapidement.
Pour B supérieur à 1 mais inférieur à 3, la population converge vers une valeur constante.
Par exemple, pour B = 2, la population devient rapidement égale à 5.000.000 (P = 0,5) et ne bouge plus, quelle que soit la population initiale.
Lorsque B se rapproche de 3 tout en lui restant inférieur, la population converge de plus en plus lentement vers une valeur constante.
Par exemple, pour B = 2,99 la population ne devient stable (6.555.518) que l’année 1000 !
On pressent que lorsque B dépassera 3, il va se passer quelque chose.

A suivre

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par Vanleers le Sam 1 Juil 2017 - 17:37

En effet, lorsque B est supérieur à 3, quelque chose de nouveau apparaît : la population se met à osciller très régulièrement entre 2 valeurs.
Par exemple, pour B = 3,2 la population se met à osciller entre 5.130.445 individus une année et 7.994.555 l’année suivante et ce indéfiniment.
Ce régime régulier d’oscillations se met en place à partir des années 30 à 40 (ça dépend de la valeur de P l’année 1).
On peut comprendre intuitivement le phénomène de la façon suivante. Les années où le nombre de pucerons au printemps est plutôt faible, le coefficient de survie sera plutôt élevé et, en définitive, le nombre d’œufs pondus sera relativement élevé ce qui conduira, l’année suivante à une population au printemps en augmentation. De même, les années où le nombre de pucerons au printemps est plutôt fort, le coefficient de survie sera plutôt faible et, en définitive, le nombre d’œufs pondus sera relativement faible ce qui conduira, l’année suivante à une population au printemps en diminution.

Mais ce n’est pas tout !

Nous comprenions encore intuitivement que la population puisse osciller périodiquement entre deux valeurs mais ce qui arrive en augmentant la valeur de B est surprenant.
Lorsque B dépasse la valeur 3,45 environ, la population évolue vers un régime régulier d’oscillations périodiques, non plus entre 2 valeurs mais entre 4 valeurs. Pour B = 3,5 par exemple, ces valeurs sont successivement :

3.828.197
8.269.407
5.008.842
8.749.973

Ce régime se stabilise à partir de l’année 50 environ.

Et ce n’est pas fini.

Quand B atteint la valeur 3,55 environ, P évolue vers un régime d’oscillations périodiques entre 8 valeurs !

Si B continue à augmenter, le nombre de valeurs périodiques ne cesse de doubler :
B = 3,565 : oscillations périodiques entre 16 valeurs
B = 3,569 : oscillations périodiques entre 32 valeurs
B = 3,5698 : oscillations périodiques entre 64 valeurs
B = 3,5699 : oscillations périodiques entre 128 valeurs
B = 3,56994 : oscillations périodiques entre 256 valeurs


Nous arrivons à la zone de chaos.

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par kercoz le Sam 1 Juil 2017 - 18:19

C'est l' attracteur bifurcation établi par R. May sur des populations de poissons en modélisation:
https://www.google.fr/search?q=bifurcation+chaos&client=firefox-b-ab&tbm=isch&imgil=0kd3WJdS36ns5M%253A%253BkCjZnpNRVIiPbM%253Bhttp%25253A%25252F%25252Fgeoffboeing.com%25252F2015%25252F03%25252Fchaos-theory-logistic-map%25252F&source=iu&pf=m&fir=0kd3WJdS36ns5M%253A%252CkCjZnpNRVIiPbM%252C_&usg=__A-0s8Ip3pHKE-RRO_s2Hqt0g3Ok%3D&biw=1366&bih=610&ved=0ahUKEwj36r7tuujUAhUJIcAKHTI6A8kQyjcIXw&ei=4cdXWbf2GonCgAay9IzIDA#imgrc=0kd3WJdS36ns5M:

Je parlais de ce diagramme. Il me semble que Prigogine l' a utilisé pour démontrer la flèche du temps et l' irréversibilité. Il pousse l' étude sur les 2 premières branches:
si tu prends B = 3, 123456 puis B= 3,123457 tu sautes de branche , tu as beau multiplier les décimales tu changes de branche sans cohérence décelable. C'est ce qui permet d'affirmer l' imprédictibilité ou le hasard et l' irréversibilité.

( Mode HS)Pour relativiser le concept de modélisation, je suis resté sur le cul en voyant ultérieurement une étude sur l'élevage des poissons qui montrait une tres forte variabilité de taille en fonction de la densité : la photo de 2 poissons de même espèce d' un an , dont l' un est 100 fois plus gros que l' autre!

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par Vanleers le Sam 1 Juil 2017 - 21:39

Reprenons

Nous étions au bord du chaos avec une population oscillant entre un nombre de valeurs qui doublait de plus en plus vite au fur et à mesure que B augmentait.
Après cette cascade de doublements, lorsque B atteint la valeur 3,57 environ, l’évolution devient chaotique et la population ne reprend plus jamais la même valeur au fil des ans.

Résumons : la même équation logistique nous a donné les résultats suivants.
- si B est compris entre 2 et 3, nous avons un régime stationnaire : après un certain nombre d’années, la population se stabilise à une valeur unique.
- si B est supérieur à 3 et inférieur à 3,57, le régime devient périodique : après un certain nombre d’années, la population se stabilise dans un cycle périodique à n valeurs (n = 2, 4, 8, 16, …).
- si B est supérieur ou égal à 3,57, le régime est chaotique : la population ne se stabilise pas et ne repasse jamais par la même valeur.

Sensibilité aux conditions initiales

En régime chaotique, les prévisions sont très sensibles aux conditions initiales. Montrons-le sur un exemple.
Supposons que B = 3,9 et imaginons qu’un jardinier-entomologiste très patient procède à un comptage soigné du nombre de pucerons nés au printemps de l’année 1. Il en dénombre 3.000.000.
Il programme l’équation logistique sur son ordinateur en entrant B = 3,9 et une population de 3.000.000 l’année 1.
L’ordinateur calcule qu’au printemps de l’année 28, il y aura exactement 1.713.177 pucerons. Ce nombre est en effet parfaitement déterminé par l’équation logistique et la prévision est rigoureusement exacte.
Seulement voilà, un puceron s’était bien caché et la population réelle n’était pas de 3.000.000 pucerons l’année 1 mais de 3.000.001, un de plus !
Quelle n’est donc pas la surprise de notre jardinier lorsque, l’année 28, il dénombre 9.709.752 pucerons ! Une erreur minime sur le comptage de l’année 1 a entraîné une erreur énorme sur la prévision de l’année 28.

Autre particularité

Au sein de la zone chaotique (B > 3,57) on trouve de petites zones où l’évolution redevient périodique.
Par exemple, pour B = 3,83 la population oscille indéfiniment, avec une période 3, entre :
1.561.493
5.046.665
9.574.166

Je n’en dirai pas davantage car le but était seulement de montrer qu’une équation très simple régissant de façon complètement déterministe l’évolution d’une variable, pouvait conduire à un comportement chaotique de cette variable.

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par aliochaverkiev le Sam 1 Juil 2017 - 23:18

La fonction associée à la suite logistique, f(x) = B x (1 - x) permet de construire la courbe représentative limitée à l'intervalle [0, 1].
Il s'agit d'une parabole, concave, dont le maximum est égal à B / 4 (il suffit de dériver la fonction pour trouver les caractéristiques de la courbe). Comme f(x ) doit rester dans l'intervalle [0,1], B/4 doit rester plus petit que 1, donc B doit être plus petit que 4.
On étudie donc la fonction et conséquemment la suite en limitant B à l'intervalle 0-4.
Après avoir tracé la parabole dans l'intervalle 0-1, il suffit de tracer la bissectrice y= x pour visualiser soi-même l'évolution de la suite. Les variations de B sont visualisés par la position relative de la courbe (dont le tracé dépend de la valeur de B) par rapport à la bissectrice.
La suite est convergente pour B compris entre 0 et 3, les deux points de convergence étant 0 (pour B plus petit ou égal à 1) et (B -1) / B pour les valeurs de B comprises entre 1 et 3. Pour les valeurs de B supérieures à 3 l'étude théorique de la suite est assez complexe.
On retiendra que c'est le modèle bien sûr qui est déterminé, pas la réalité observée, laquelle est approchée par un modèle déterminé mais non atteinte par le modèle. Le déterminisme est toujours le fait des modèles, non d'une réalité que nous n'avons en vérité jamais fini d'approcher.

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par Vanleers le Dim 2 Juil 2017 - 9:44

kercoz a écrit:
si tu prends B = 3, 123456 puis B= 3,123457 tu sautes de branche , tu as beau multiplier les décimales tu changes de branche sans cohérence décelable. C'est ce qui permet d'affirmer l' imprédictibilité ou le hasard et l' irréversibilité.

Je ne vois pas de quoi vous parlez.
Si c’est de la suite logistique, avec les valeurs de B que vous donnez, on est dans la zone d’une oscillation périodique de période 2.
A titre anecdotique, dans l’exemple de la colonie de pucerons que j’ai exposé, la population oscille :

Avec B = 3,123456, entre :
5.458.646 une année
7.742.936 l’année suivante

Avec B = 3,123457, entre :
5.458.641 une année
7.742.940 l’année suivante

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par kercoz le Dim 2 Juil 2017 - 11:03

aliochaverkiev a écrit: Comme f(x ) doit rester dans l'intervalle [0,1], B/4 doit rester plus petit que 1, donc B doit être plus petit que 4.
On étudie donc la fonction et conséquemment la suite en limitant B à l'intervalle 0-4.

J' ai de vagues souvenirs de tres lointains cours sur la stabilité des systèmes asservis. Un fameux diagramme ( pour nous ésotérique) de Boole ( je crois) ou il fallait forcer la courbe à passer entre 0 et 1 pour que le système s'amortisse. ( en clair rajouter un amortisseur à air a la suspension ressort de la 2 cv

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par Vanleers le Dim 2 Juil 2017 - 11:16

Bien que ça ne soit plus le sujet, on peut avoir une idée de la richesse et de la complexité de la suite logistique en :

https://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP2.pdf

Avec un tableau EXCEL (très facile à construire), on peut vérifier un certain nombre de choses.
On a déjà vu que dans la zone de chaos il y avait des plages où l’évolution redevenait périodique.
Par exemple, pour B = 3,83 la population oscille avec une période 3.
On peut vérifier que l’on a :
B = 3,847 : oscillations avec une période 6
B = 3,848 : oscillations avec une période 12
B = 3,849 : oscillations avec une période 24

Le document précité amène à vérifier que :
B = 3,9602 : oscillations avec une période 4
B = 3,99029 : oscillations avec une période 5
B = 3,92219 : oscillations avec une période 7

Etc.

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par Vanleers le Lun 3 Juil 2017 - 10:10

Une colonie de pucerons peut être considérée comme un individu constitué par de nombreux composants : des pucerons.
Cet individu se caractérise uniquement par le taux de fécondité moyen B de ses composants ; ce taux est fixe.
Par contre sa taille : le nombre de ses composants, peut varier.
Cet individu « persévère dans son être » au fil des ans.
Il est ouvert sur l’extérieur, caractérisé seulement par la capacité maximale du massif de rosiers à le nourrir. La taille de l’individu est adaptée à cette capacité.
Par exemple, un individu dont le taux de fécondité est B = 2 aura, en régime de croisière, une taille moitié de cette capacité.
Si la capacité maximale du massif de rosiers est 10.000.000, la taille de l’individu sera 5.000.000 pucerons, si c’est 15.000.000, sa taille sera 7.500.000.

Nous avons vu qu’à partir d’un taux de fécondité de 3,57 la taille de l’individu devenait chaotique, c’est-à-dire pratiquement imprédictible. On classera donc les individus en 2 classes :
- les individus de type A dont le taux de fécondité est inférieur à 3,57
- les individus de type B dont le taux de fécondité est supérieur à 3,57

Par rapport aux individus de type A, les individus de type B « bénéficient » d’une propriété émergente : leur taille est pratiquement imprédictible. Cette propriété est surprenante car on ne s’y attendait pas au vu de la loi de passage d’une génération à la suivante, loi parfaitement déterministe. Rappelons-la :
En désignant par Pn+1 la population au début de l’année n + 1 et Pn la population au début de l’année n :
Pn+1 = B Pn (1 – Pn)

Je parlerai ici de l’émergence déterministe d’une propriété nouvelle, déterministe au sens où elle ne fait aucunement appel au hasard.
J’ai déjà écrit que, dans la philosophie de Spinoza, on parlait d’émergence, d’auto-déploiement et d’auto-organisation dans un cadre strictement déterministe.

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Re: Chaos déterministe et suite logistique

Message par aliochaverkiev le Lun 3 Juil 2017 - 11:07

Je crois que, plutôt que de recopier des passages entiers de livres scientifiques, il serait plus judicieux de donner les références des livres à lire.

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